新教材高中数学人教a版必修第一册学案453函数模型的应用

4.5.3函数模型的应用

［目标］会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合.

［重点］根据给定的函数模型解决实际问题.

［难点］建立数学模型解答实际问题.

知识点一应用所给函数模型解决实际问题

［填一填］

解决应用问题的基本步骤

(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，

把握其中的数学本质.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语

言，利用数学知识，建立相应的数学模型.

(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题.

(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论.

［答一答］

1.我们已学过的函数有哪些？

提示：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及氟函数.

2.建立函数模型解决问题的基本过程是什么？

提示：①收集数据；②根据收集到的数据，在平面直角坐标系内

画出散点图；③根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函

数模型；④选择其中的几组数据求出函数模型；⑤将已知数据代入所

求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则

重复步骤③④⑤；若符合实际，则进入下一步；⑥用所得函数模型解

释实际问题.

知识点二构建函数模型解决实际问题

［填一填］

（1）常见的8种函数模型

①一次函数模型：式淄=kx+b（k,。为常数，左W0）；

k

②反比例函数模型：“¥）=：+/?（左，8为常数，左W0）；

③二次函数模型：/（X）=or2+Z?x+c（a,b,c为常数，aWO）；

④指数函数模型：於）=Q〃+C（Q,b,c为常数，QWO,b>0,bWl）；

⑤对数函数模型：fix）=mlogflx+n（m,n,。为常数，a>Q,a字1,

m#0）；

⑥幕函数模型：f（x）=axn+b（a,b,〃为常数，aWO）；

⑦“对勾”函数模型：危）=依+，3,8为常数，且。〉0,。>0）；

⑧分段函数模型.

（2）几类函数模型的增长差异

>n

在区间（0,+8）上，函数丁=炉3>1）,y=logax（«l）^ny=x（n>0）

都是增函数，随着％的增大，>=〃3>1）的增长速度越来越快，会超过

并远远大于y=xn的增长速度，而y=log/（a>l）的增长速度则会越来越

慢.因此，总会存在一个％o,当X>%o时，就有logoxaVa”.

［答一答］

3.哪些实际问题可以用指数函数模型来表示？

提示：人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题.

4.哪些实际问题可以用对数函数模型来表示？

提示：地震震级的变化规律、溶液pH的变化规律、航天问题等.

用函数图象刻画实际问题中两个变量

类型一的变化过程

［解析］观察函数图象可得函数y=/⑺在［0,上是增函数，即说明

随着直线/的右移，扫过图形的面积不断增大.再对图象作进一步分析,

图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然

后是向上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢.根据这一

点很容易判定C项不符合.这是因为在C项中直线/扫到矩形部分时，

面积会呈直线上升.

［答案］C

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数

模型，再结合模型选图象.

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中

两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从

中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

［变式训练1］已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始

沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,AABP的面积为S,

则函数5=火%)的图象是(D)

解析：①当点尸在线段5。上运动时，点尸到A5的距离为X,则

S=；X4X%=2%(0W%W4),其函数图象为过原点的一线段；②点尸在

边CZ)上时，点尸到的距离不变，为4,则S=；X4X4=8(4W%W8),

其函数图象是平行于％轴的一线段；③点尸在边上时，点尸到A5

的距离为(12—%),则S=；X4X(12—x)=24—2%(8W%W12),其图象是

一线段.纵观各选项，只有D选项图象符合.故选D.

类型二应用所给函数模型解决实际问题

［例2］某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年

利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来

利润y(百万元)与年投资成本%(百万元)变化的一组数据：

年份2008200920102011•••

投资成本工35917・・・

年利润y1234・・・

给出以下3个函数模型：①/=丘+/?(左W0)；②y=a"(aWO,b>0,

且5W1)；③y=loga(%+Z?)(a>0,且aWl).

(1)选择一个恰当的函数模型来描述X,y之间的关系；

(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型.

［解］⑴将(3,1),(5,2)代入〉=丘+WW0),

1=3左+8,

得《解得《x

2=5k+b,-y=2~2-

b=-r

当％=9时，y=4,不符合题意；

将(3,1),(5⑵代入y=a〃(aWO,b>0,且〃Wl),

l=ab3,%内=2三

得[2=加,••尸

、历^2^

当％=9时，y=4,(也)=1,不符合题意;

将(3,1),(5,2)代入丁=108.(%+份3〉0,且21),

”=loga(3+b),]。=2,

得0—1zc_1_解得—1•••y=log2(x—l).

[2—log〃(5+ZM?),[b——l,

当％=9时，y=log28=3;

当％=17时，y=log216=4.

故可用③来描述X,y之间的关系.

(2)令log2(X—1)26,则％265.

二,年利润*10%,J该企业要考虑转型.

求解已给函数模型，解决实际问题的关注点

⑴认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

⑵根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

⑶利用该模型求解实际问题.

提醒：解决实际问题时要注意自变量的取值范围.

［变式训练2］据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最

近50年内减少了5%,如果按此速度，设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖

面积为阴，则从2018年起，％年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与％的

函数关系式是(A)

_x__x_

5050

A.y=0.95-mB.y=(l—0.05>m

C.y=Q.9550~x-mD.y=(l-O.O550~x)-m

解析：设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知

1

0%产=0.95,所以q%=0.95°,所以从2018年起，入年后北冰洋冬季

冰雪覆盖面积y与％的函数关系式为y=0.955°-m.

类型三构建指数、对数函数模型解决实际问题

［例3］某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公

司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发

资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200

万元的年份是(参考数据：lgl.12po.05,Igl.3yo.11,lg2po.30)()

A.2018年B.2019年

C.2020年D.2021年

［分析］写出第〃(“£N*)年该公司全年投入的研发资金与〃的关系

式，解不等式即可.

［解析］设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200

20

万元.由130(1+12%)〃〉200,得1.12"〉石，两边取常用对数，得

心与需笔詈."24,.•.从2019年开始，该公司投

■其-L•J-V/•J

入的研发资金开始超过200万元，故选B.

［答案］B

(1)求解与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题时，

要学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来

越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都

属于指数函数模型.

(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定

系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可

借助导数.

［变式训练3］(1)世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口

平均增长率是(参考数据坨2七0.3010,1000°75七1.017)(C)

A.1.5%B.1.6%

C.1.7%D.1.8%

(2)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的

数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间*单位：小时)满足

t

一而

=po2,其中po为t=0时的污染物数量.又测得当/=30时，污

染物数量的平均变化率是一101n2,则p(60)=(C)

A.150毫克/升B.300毫克/升

C.1501n2毫克/升D.3001n2毫克/升

解析：(1)设每年世界人口平均增长率为X,则(1+%严=2,两边取

i2

以10为底的对数，则401g(l+x)=lg2,所以联1+%)=家e「0.0075,

所以100.0075=1+%,得1+工=1.017,所以％=1.7%.故选C.

(2)因为当1=30时，污染物数量的平均变化率是一101n2,所以一

1t

要of~死

101n2=30_0，所以po=6OOln2.因为p(f)=po2,所以p(60)=

6001n2X2-2=1501n2(毫克/升).故选C.

类型四构建分段函数模型解决实际问题

［例4］今年春节期间某自驾游车队，组织车友前往某地游玩.该

车队是由31辆车身长都约为5m(以5m计算)的同一车型组成的，行

程中经过一个长为2725m的隧道(通过该隧道的车速不能超过25

m/s).匀速通过该隧道时，设车队的速度为％m/s.根据安全和车流的需

要，当0<%W12时，相邻两车之间保持20m的距离；当124W25时,

相邻两车之间保持'好十；3m的距离.自第1辆车车头进入隧道至第

31辆车车尾离开隧道所用的时间为y(s).

(1)将y表示为％的函数；

(2)求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度.

［解］由于不同路段，保持的距离不同，因此可用分段函数表示，分

段函数的有关最值问题要分段求解.

(1)当0"12时,

2725+5X31+20X(31-1)3480

y==;

JXX

当12aW25时，

2725+5X31+(31-1)

5X2+10X+2880,2880,

=5xi।10

¥(0<XW12),

所以y=<2QQQ

5x++10(12<%W25).

(2)当0aW12时，在％=12(m/s)时，ymin=-^-=290(s);

,),,2880,、I―2880,

当时，+10^2A

12<%W25y=5%+---X---\/5x----J-C---+10=250(s),

2QQQ

当且仅当5%=------,即％=24(m/s)时取等号.

因为％=24£(12,25],所以当％=24(m/s)时，ymin=250(s).

因为290〉250,所以当％=24(m/s)时，ymin=250(s).

即该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为

24m/s.

分段函数模型问题的解答方法：实际问题中有些变量间的关系不

能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票

价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.构造分段函数时，要

力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏.

［变式训练4］首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10

日在国家会展中心(上海)举办.一个更加开放和自信的中国，正用实际

行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方

案.某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并

决定大量投放中国市场.已知该产品年固定研发成本30万美元，每生

产一台需另投入90美元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售

完，每万台的销售收入为G(x)万美元，G(x)=

1240—3%,0<x<20,

<30006000

x>20.

、%+1%(%+1)

(1)写出年利润S(万美元)关于年产量％(万台)的函数解析式；(利润

=销售收入一成本)

(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大

利润.

解：(1)当0<%W20时，S=xG(x)~(90x+30)=-3x2+150x-30;

3000(x—2)

当x>20时，S=xG(x)~(90%+30)=-10x430.

%+1

—3^+150A：—30,0<%W20,

则S=<,3000(%-2)

T°X+F^—3。，x〉20.

(2)由(1)知，当0<%W20时，5=—3%2+150%—30=—3(%—25)2+1

845.

因为5=—3(%—25)2+1845在(0,20］上单调递增，所以当％=20时,

Smax=8(20)=1770.

,L,3000Q—2)9000,

当,>20时,5=—1。%+「^—3。=—1。％—市+297。=

,9000.八.当，当且

—10(x+1)—।+2980W—2()(%+1)+2980=2380,

人I_1L人I_L

仅当雷=IO（x+l）,即％=29时等号成立.

因为2380〉1770,所以％=29时，S取得最大值，最大值为2380

万美元.

故当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最

大利润为2380万美元.

1.“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间*月）

与枝数y（枝）的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函

数模型拟合最好（C）

A.y=t3B.y=log2t

C.y=2tD.y=2户

解析：符合指数函数模型.

2.某食品的保鲜时长y（单位：小时）与储藏温度工（单位：。C）满足

函数关系y=*+"（e=2.718…为自然对数的底数，k,。为常数）.若该

食品在0℃的保鲜时长是192小时，在22℃的保鲜时长是48小时，

则该食品在33℃的保鲜时长是（C）

A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时

解析：由已知条件得，192=e",所以b=lnl92.又因为48=^2k+b

1

=e22*+ini92=]92e?2尢=192©1千，所以=；.设该食品在33℃

33klu3

的保鲜时长是1小时，则^=e33Him92—ig2e=192（e）=192X=

24.故选C.

3.将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100

个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最

大利润，此商品的销售单价应定为14元.

解析：设销售单价应涨入元，则实际销售单价为(10+%)元，

此时日销售量为(100—10%)个，

每个商品的利润为(10+%)—8=2+%(元)，

.•.总利润y=(2+x)(100-10x)=~10^+80x+200=-10(^-4)2

+360(0<x<10,且％£N*).

.,.当％=4时y有最大值，此时单价为14元.

4.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度。米/秒和燃料的

质量M