第02讲 有理数加减法（6大考点）（解析版）

第02讲有理数加减法（6大考点）考点考点考向一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．要点：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)要点：交换加数的位置时，不要忘记符号．二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．要点：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．要点：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.考点考点精讲考点一：有理数的加法运算 1．计算：(1)(+20)+(+12)；(2)；(3)(+2)+(-11)；(4)(-3.4)+(+4.3)；(5)(-2.9)+(+2.9)；(6)(-5)+0．【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；(2)(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；(6)(-5)+0＝-5．【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．2.计算：【答案】3.计算：（1）(+10)+(-11)；（2）【答案】（1）(+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；（2）考点二：有理数的减法运算1．计算：(1)(-32)-(+5)；(2)(+2)-(-25)．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】法一：法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.2.若（）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（）A． ﹣1 B． 1 C． 5 D． ﹣5【答案】B．根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3.考点三：有理数的加减混合运算1．计算，能用简便方法的用简便方法计算.（1）26-18+5-16；（2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）(3)(4)（5）（6）【答案与解析】（1）26-18+5-16=(+26)+(-18)+5+(-16)→统一成加法=(26+5)+[(-18)+(-16)]→符号相同的数先加=31+(-34)=-3（2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）=[(+7)+(-7)]+[(-21)+(+21)]→互为相反数的两数先加=0（3）→同分母的数先加（4）→统一成加法→整数、小数、分数分别加（5）→统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起（6）→整数，分数分别加【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换．2.用简便方法计算：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7)(2)2【答案】(1)原式=[(-3.8)+(-4.2)]+[(-2.4)+(-0.7)+(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2(2)原式=（2-1-4）+（--+-）=-3+[-++(--)]=-3-1=-4考点四：有理数的加减混合运算在实际中的应用1．邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km到达A村，继续向南骑行3km到达B村，然后向北骑行9km到C村，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；（2）C村离A村有多远？（3）邮递员一共骑了多少千米？【思路点拨】（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm表示1km，按此画出数轴即可；（2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；（3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和．【答案与解析】解：（1）依题意得，数轴为：；（2）依题意得：C点与A点的距离为：2+4=6（千米）；（3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）．【总结升华】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可．2.华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束后各组的得分如下表：第1组第2组第3组第4组第5组100150350-400-100(1)第一名超过第二名多少分?(2)第一名超过第五名多少分?【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．(1)350-150＝200(分)(2)350-(-400)＝350+400＝750(分)答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．3.某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．考点五：数学思想在本章中的应用1．（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系．A．-a＜a＜1B．1＜-a＜aC．1＜-a＜aD．a＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．【答案与解析】解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a．所以正确选项为：D．（2）因为|x|＝5，所以x为-5或5因为|y|＝3，所以y为3或-3．当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2故（x-y）的值为±2或±82.若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】解：当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．考点六：规律探索1．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·贵州七年级期末）如图，、是数轴上的两个数，则一定是（）A．负数 B．0 C．整数 D．正数【答案】D【分析】由图可知b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，再根据有理数的加减法法则进行判断．【详解】解：由数轴得：b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，∴b-a＞0，故选：D．【点睛】本题主要考查正数和负数，数轴等知识点，解答此题，需要用到绝对值不相等的异号两数相加的法则：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．2．（2021·全国七年级期中）下列关于有理数的加法说法错误的是（）A．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加B．异号两数相加，绝对值相等时和为0C．互为相反数的两数相加得0D．绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号【答案】D【分析】直接利用有理数的加法法则逐一判断即可；【详解】解：A、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，正确，不合题意；B、异号两数相加，绝对值相等时和为0，正确，不合题意；C、互为相反数的两数相加得0，正确，不合题意；D、绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号，不正确，符合题意，应该改为：绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号作为和的符号．故选择：D．【点睛】本题主要考查有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号作为和的符号，并用较大的数的绝对值减去较小数的绝对值，互为相反数的两数相加得0．熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．3．（2021·湖北七年级期中）在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，1斤葡萄，共付27.6元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，2斤葡萄，共付32.2元．则买1斤西瓜和1斤橙子需付（）A．16元 B．14.8元 C．11.5元 D．10.7元【答案】C【分析】先用小惠买水果的钱减去小明买水果的钱得到1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱，再用小明买水果的钱减去1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱得到2斤西瓜和2斤橙子的钱，最后除以2即可得出答案.【详解】由题意可得：（元）．故买1斤西瓜和1斤橙子需付11.5元．故选：C．【点睛】本题考查了有理数的加减，解题的关键是求出1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱.4．（2021·陕西七年级期中）某水库的水位将80米作为标准水位，水位为85.3米记为米，则水位为76.8米应记为（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】根据有理数的减法计算，互为相反意义的量的表示方法和正负数的表示方法即可求得【详解】水位为76.8米应记为米故选D【点睛】本题考查了有理数的减法运算，互为相反意义的量的表示方法和正负数的表示方法，理解题意是解题的关键．5．（2021·重庆酉阳·七年级期末）我县某山区学校去年秋季期末考试时最高气温为，最低气温为，那么这天的最高气温比最低气温高（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据题意列出算式，然后根据减法法则计算即可．【详解】解：℃.

故选C．【点睛】本题主要考查了有理数的减法在实际生活中的应用，掌握有理数的减法法则是解题的关键．6．（2021·北京市昌平区第二中学七年级月考）如果，那么的值为（）A．1 B．-1 C．5 D．-5【答案】C【分析】根据非负数的性质求出的值，再计算即可．【详解】解：∵，∴，即，；，故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题关键是利用非负数的性质求出的值．二、填空题7．（2021·河北石家庄·七年级期中）黄河铁路大桥是一座钢架结构，0℃时，此桥长400米，气温每升高或降低1℃，钢桥伸长或缩短0.011米，某天，技术人员对桥进行实际测量，发现桥短了0.088米，据此可知当天的气温是_____℃．【答案】﹣8【分析】先计算钢桥缩短了多少个0.011米，再根据其对应关系进行计算即可．【详解】解：∵气温每升高或降低1℃，钢桥伸长或缩短0.011米，又∵桥短了0.088米，∴气温降低了8℃，∴当天的气温是0-8=-8（℃）故答案为：-8．【点睛】本题考查了正负数的应用，解决本题的关键是读懂题意，理解桥长与温度之间的变化关系，抓住其中的关键词，其中气温升高对应钢桥伸长，气温降低对应钢桥缩短，数量上是1℃对应0.011，本题较基础，考查了学生审题以及对有理数的应用的基本功．8．（2021·全国）绝对值不相等的异号两数相加，取____________数的符号，并用___________减去____________．【答案】绝对值较大较大的绝对值较小的绝对值9．（2021·黑龙江七年级期末）我县12月份某天早晨，气温为-23℃，中午上升了5℃，晚上又下降了6℃，则晚上气温为________℃【答案】-24【分析】根据题意列式计算即可求解．【详解】依题意可得-23+5-6=-24故答案为：-24．【点睛】此题主要考查有理数的加减运算，解题的关键是根据题意列式求解．10．（2021·辽宁）计算：____________．【答案】1【分析】根据有理数的加减运算法则计算即可．【详解】解：==3﹣2=1．故答案为：1．【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和运算顺序是解答的关键．11．（2020·河南洛阳·）绝对值大于1.5并且小于3的整数之和是_________．【答案】0【分析】绝对值大于1.5并且小于3的整数的绝对值等于2，据此求出满足题意的整数有哪些，再相加即可．【详解】解：∵绝对值大于1.5并且小于3的整数的绝对值等于2，∴绝对值大于1.5并且小于3的整数是-2，2．∴-2+2=0，故答案为：0．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法和有理数的加法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．12．（2021·浙江）计算：______．【答案】0【分析】原式四项四项结合，计算即可得到结果．【详解】解：1-2-3+4+5-6-7+8+…+2013-2014-2015+2016=（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+…+（2009-2010-2011+2012）+（2013-2014-2015+2016）=0．故答案为：0．【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2021·江苏南京一中七年级月考）阅读材料：我们在求1+2+3+…+99+100的值时可以用如下方法：我们设S＝1+2+3+…+99+100①，那么S＝100+99+…+3+2+1②．然后，我们由①+②，得2S＝（100+1）+（99+2）+…+（98+3）+（99+2）+（100+1）＝100×101．得S＝100×101÷2＝5050．依据上述方法，求5+10+15+…+195+200的值为_______．【答案】4100【分析】根据阅读材料的求和方法，即可求解．【详解】解：设S＝5+10+15+…+195+200，那么S＝200+195+190+…+10+5，则2S＝（5+200）+（10+195）+（15+190）+…+（195+10）+（200+5）＝205×40，∴S＝205×40÷2＝4100，故答案为：4100．【点睛】本题主要考查有理数求和，理解倒序相加求和法，是解题的关键．14．（2021·辽宁大连·七年级期末）我市一月某天早上气温为-6℃，中午上升了9℃，这天中午的温度是_______℃．【答案】3【分析】根据题意，将早上的气温加上上升了的温度即可求得答案．【详解】依题意，．故答案为3【点睛】本题考查了有理数的加减运算的实际应用，掌握有理数的加减是解题的关键．15．（2021·全国七年级专题练习）计算：1－（＋2）＋3－（＋4）＋5－（＋6）＋…－（＋2014）＝_________．【答案】﹣1007．【分析】按照数字的顺序，两个分为一组，共1007组，计算后进一步合并即可．【详解】解：原式＝[1﹣（+2）]+[3﹣（+4）]+[5﹣（+6）]+…+[2013﹣（+2014）]＝﹣1﹣1﹣1﹣…﹣1＝﹣1007．故答案为：﹣1007．【点睛】此题考查有理数的加减混合运算，掌握运算方法，适当分组是解决问题的关键．16．（2021·北京市昌平区第二中学七年级月考）已知，则__________．【答案】±3或±1【分析】根据题意可分情况进行求解，即当a、b、c同为正和同为负时，当a、b、c有两正一负和两负一正时，然后进行求解即可．【详解】解：∵，∴当a、b、c同为正时，则有，当a、b、c同为负时，则有，当a、b、c有两正一负，则有；当a、b、c有两负一正，则有；故答案为：或．【点睛】本题主要考查绝对值的意义、正负数及有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义、正负数及有理数的加法是解题的关键．三、解答题17．（2021·全国七年级专题练习）计算下列各式：（1）（﹣1.25）+（+5.25）（2）（﹣7）+（﹣2）【答案】（1）4；（2）-9【分析】（1）根据有理数的加法法则计算，即可解答；（2）根据有理数的加法法则计算，即可解答；【详解】解：（1）（﹣1.25）+（+5.25）=5.25﹣1.25=4；（2）（﹣7）+（﹣2）=﹣（7+2）=﹣9【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．（2021·全国七年级专题练习）计算：．【答案】【分析】方法1：直接根据四则运算法则，先通分算小括号里面的，然后算中括号，最后去括号求解即可；方法2：运用去括号法则，先去掉括号，再根据加法的交换律，将同分母的数相加减，得出结果．【详解】方法1：原式．方法2：．【点睛】算式有多重括号，如果按照方法一计算需要进行多次通分，完成括号内的运算从而得出结果；方法二通过观察算式的结构，括号内和括号外的数有分母相同的情况，如果去掉括号，就可以通过加法交换律让同分母的数相加减，从而减少通分，达到简算的目的．因此，在进行计算前要先观察算式的结构，不要盲目地去进行运算，但无论哪种方法都需要同学们正确运用有理数加减法运算法则．19．（2021·全国七年级专题练习）用较为简便的方法计算下列各题：（1）；（2）－8721＋53－1279＋4；（3）．【答案】（1）；（2）-9942；（3）【分析】（1）根据有理数的加法和减法可以解答本题；（2）根据有理数的加法和减法可以解答本题；（3）根据有理数的加法、减法和绝对值的性质可以解答本题；【详解】解：（1）===；（2）－8721＋53－1279＋4＝(－8721－1279)＋＝－10000＋58＝－9942；（3）===【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．20．（2021·河南七年级期中）有10筐白菜，称重后记录如下（单位：）：26.5，22，27，24.5，26，23，23，22.5，24，23.5．（1）如果以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，这10筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？（2）10筐白菜一共多少千克？【答案】（1）不足8千克；（2）242千克【分析】（1）根据题意，以为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，将10个数据按要求表示出来，并求和即可；（2）根据（1）的结论即可求得．【详解】（1），答：总计不足8千克．（2）由（1）可知总计不足8千克则10筐白菜一共：（千克），答：10筐白菜一共242千克．【点睛】本题考查了正负数的实际意义，有理数加减的应用，正确的计算是解题的关键．21．（2021·陕西七年级期中）股民王先生上周星期五买进某公司股票1000股，每股18元，本周该股票的涨跌情况如表（正数表示价格比前一天上涨，负数表示价格比前一天下跌，单位：元，注：股票周末休市）：星期一二三四五每股涨跌+2.8+2.94.1+21.5（1）星期三收盘时，该股票每股多少元？（2）该股票本周内每股的最高价和最低价分别是多少元？（3）到周五收盘，王先生那1000股在这一周的盈亏情况如何？【答案】（1）19.6元；（2）股票星期二价格最高为23.7元，星期三价格