第02讲 实数的运算（核心考点讲与练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）（解析版）

第02讲实数的运算（核心考点讲与练）一、用数轴上的点表示实数1.实数的绝对值、相反数（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．实数的绝对值记作．（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．非零实数的相反数是．2、两个实数的大小比较两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样．负数小于零；零小于正数．两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．比较两数大小是中学数学中的基本类型和基本技能，以下介绍几种常用的方法：1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；2．平方法：将两个数平方，再来判定两个数大小的方法；3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法．4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法．5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的，两数，若，则；若，则．3、数轴上两点之间的距离在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为a、b，那么A、B两点之间的距离为．实数的运算在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：第一组：；；第二组：；．考点一：实数与数轴【例题1】（2021春•奉贤区期中）已知实数x、y满足（x﹣2）2+＝0．（1）x＝2，y＝﹣2；（2）在数轴上，若点A、点B分别表示实数x，y，①在数轴上标出点A、点B的大致位置；②数轴上，若点C到点B的距离为1.5，则点C所对应的实数为：﹣0.5或﹣3.5．【分析】（1）根据若干个非负数的和为0，则这些非负数均为0，即可求得答案；（2）①在数轴上描出点A，B即可；②根据数轴上两点之间的距离等于对应的两个实数差的绝对值，列方程求解即可．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2+＝0，（x﹣2）2≥0，≥0，∴（x﹣2）2＝0，＝0，∴x＝2，y＝﹣2，故答案为：2，﹣2；（2）①点A、点B的大致位置如图所示：②设点C对应的实数为m，由题意得：|m﹣（﹣2）|＝1.5，解得：m＝﹣0.5或﹣3.5；故答案为：﹣0.5或﹣3.5．【点评】本题考查了数轴和数轴上的点与实数的关系，非负数的性质，算术平方根的性质，数轴上两点之间的距离，绝对值方程等知识，解题关键是熟练掌握非负数的性质和数轴上两点之间距离等相关知识．【变式训练1】（2021春•青浦区期中）数轴上A、B、C、D依次表示四个实数：、、、0．（1）在数轴上描出点A、B、C、D的大致位置；（2）求AD两点之间的距离．【分析】（1）根据A、B、C、D表示的数描出大致位置即可；（2）AD两点之间的距离即是A、D表示的数的差之绝对值．【解答】解：（1）数轴上描出点A、B、C、D的大致位置如图：（2）AD两点之间的距离为：|0﹣（﹣）|＝．【点评】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是根据各数的近似值描出其在数轴上的大致位置．【变式训练2】．（2021春•闵行区期末）点A和点B是数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为1，那么A、B两点间的距离为﹣1．【分析】如图，根据数轴的上的点表示的数的意义，由A表示的数为，点B表示的数为1，得OA＝，OB＝1，那么AB＝OA﹣OB＝．【解答】解：如图，∵A表示的数为，点B表示的数为1，∴OA＝，OB＝1．∴AB＝OA﹣OB＝．故答案为：．【点评】本题主要考查数轴的上的点表示的数的意义，熟练掌握数轴的上的点表示的数的意义是解决本题的关键．【变式训练3】．（2019•宝山区校级自主招生）如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，它们对应的实数分别为a，b，c，d，如果存在实数λ，满足：对线段AB和CD上的任意一点，其对应的数为x，实数对应的点N仍然在线段AB或CD上，则称（a，b，c，d，λ）为“完美数组”．例如：（1，2，3，6，6）就是一组“完美数组”，已知|AB|＝1，|BC|＝5，|CD|＝4，求此时所有的“完美数组”，写出你的结论和推算过程．【分析】设A表示的数是x，则B表示x+1，C表示x+6，D表示x+10，分三种情况讨论：①x（x+10）＝（x+1）（x+6）；②x（x+6）＝（x+1）（x+10）；③x（x+1）＝（x+6）（x+10）；【解答】解：设A表示的数是x，则B表示x+1，C表示x+6，D表示x+10，由“完美数组”的定义，可知有如下情况：①x（x+10）＝（x+1）（x+6）；∴x＝2，∴“完美数组”是（2，3，8，12，24）；②x（x+6）＝（x+1）（x+10）；∴x＝﹣2∴“完美数组”是（﹣2，﹣1，4，8，﹣8）；③x（x+1）＝（x+6）（x+10）；∴x＝﹣4，∴“完美数组”是（﹣4，﹣3，2，6，12）；【点评】本题考查新定义，数轴与整式的运算；熟练掌握多项式乘多项式，单项式与多项式的运算法则，能够通过题意将点与“完美数组”的关系转化为整式的运算是解题的关键．【变式训练4】．（2018春•青浦区期中）已知点A是6的算术平方根，点B的立方是，在数轴上描出点A和点B，并求出A与B两点的距离．【分析】求出A点、B点表示的数，再求出AB的距离即可．【解答】解：∵点A是6的算术平方根∴点A所对应的数为，∵点B的立方是，∴点B所对应的数为﹣，因此AB之间的距离为：||+|﹣|＝．答：A与B两点的距离为．【点评】考查算术平方根，有理数的计算等知识，正确的理解和掌握算术平方根和有理数的计算是正确解答的关键．【变式训练5】．（2017春•浦东新区校级月考）数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B，点A的距离与点A，点C（点C在点B的左侧）之间的距离相等，设点C表示的数为x，求代数式|x﹣2|的值．【分析】由AB＝AC，求出x的值，再代入|x﹣2|，计算即可．【解答】解：∵AB＝AC，∴﹣1＝1﹣x，∴x＝2﹣，∴|x﹣2|＝|2﹣﹣2|＝．【点评】本题考查了实数与数轴，两点间的距离公式，绝对值，正确求出x的值是解题的关键．考点二：实数大小比较【例题2】（2021•陕西模拟）比较大小：＜．【分析】将两数进行平方，然后比较大小即可．【解答】解：（3）2＝18，（2）2＝20，∵18＜20，∴3＜2．故答案为：＜．【点评】本题考查了实数的大小比较，注意运用平方法比较两个正数的大小．属于基础题．【变式训练1】（2019秋•松江区期末）从甲地到乙地有A，B两条路线，这两条路线经过的路程相比较（）A．路线A远 B．路线B远 C．同样远 D．无法确定【分析】根据图示，设甲地到乙地的直线距离是d，根据圆的周长的求法，分别求出A，B两条路线的长度各是多少，判断出这两条路线经过的路程的远近即可．【解答】解：设甲地到乙地的直线距离是d，则A路线经过的路程是，∵B路线经过的三个半圆的直径之和是d，∴B路线经过的路程是，∴这两条路线经过的路程相比较：同样远．故选：C．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确圆的周长的求法．【变式训练2】（2021秋•浦东新区校级月考）比较大小：＜．（填“＞”“＝”“＜”）【分析】首先利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算，然后通过比较它们的倒数进行比较大小即可．【解答】解：＝＝﹣，＝＝﹣，∵﹣＞﹣，∴＜．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是通过比较它们的倒数进行比较大小．【变式训练3】（2021•雁塔区校级模拟）比较大小：﹣2＞﹣3（填“＜”或“＝”或“＞”）【分析】根据负数比较大小的法则进行解答即可．【解答】解：因为|﹣2|＝2≈2.828＜|﹣3|＝3，所以：﹣2＞﹣3，故答案为：＞．【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键．考点三：估算无理数的大小【例题3】（2021春•黄浦区期末）已知面积为10的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（）A．1＜x＜3 B．2＜x＜3 C．3＜x＜4 D．4＜x＜5【分析】根据正方形的面积公式，求得正方形的边长，再进一步根据数的平方进行估算．【解答】解：根据题意，得正方形的边长是．∵9＜10＜16，∴3＜＜4．故选：C．【点评】此题考查了正方形的面积公式和无理数的估算方法，熟悉1﹣20的整数的平方．【变式训练1】（2021春•涪城区校级期中）已知a，b分别是6﹣的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值是（）A．3﹣ B．4﹣ C． D．2【分析】根据3＜＜4，可得﹣的大小，根据6﹣，可得a、b的值，根据实数的减法，可得答案．【解答】解：3＜＜4，﹣4＜﹣3，6﹣4，a＝2，b＝6﹣﹣2＝4﹣，2a﹣b＝2×2﹣（4﹣）＝，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，根据3＜＜4，可得﹣的大小是解题关键．【变式训练2】（2020•安徽模拟）设a为正整数，且a＜＜a+1，则a的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据题意得出接近的有理数，即可得出答案．【解答】解：∵，∴，∵a为正整数，且a＜＜a+1，∴a＝6．故选：B．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的整数是解题关键．【变式训练3】（2021春•静安区期末）如图，数轴上点P表示的数可能是（）A．﹣ B． C．﹣3.7 D．﹣【分析】根据数轴上点的位置及无理数的估算进行判断．【解答】解：设点P表示的数为a，由题意可得：﹣3＜a＜﹣2，∵﹣3.7＜﹣3＜﹣＜﹣2＜﹣＜，∴选项A符合题意，故选：A．【点评】本题考查实数与数轴，理解实数的大小比较，利用数形结合思想解题是关键．【变式训练4】（2021•浦东新区模拟）无理数的值在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【分析】先计算出（2）2的值为24，把24夹逼在两个相邻正整数的平方之间，再写出2的范围即可．【解答】解：（2）2＝22×（）2＝4×6＝24，∵16＜24＜25，∴4＜2＜5．故选：C．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，求出（2）2是解题的关键．【变式训练5】（2021春•浦东新区校级期末）数轴上表示数和的两点之间的距离为．【分析】数轴上，两个点表示的数的差的绝对值，即为两点之间的距离．【解答】解：﹣（﹣5）＝+5＝，故答案为：．【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离，无理数的加减法，表示出两点间的距离是解题的关键．【变式训练6】（2021春•上海期中）对于实数a，我们规定用{}表示不小于的最小整数，称{}为a的根整数，如{}＝4．（1）计算：{}＝3．（2）现对a进行连续求根整数，直到结果是2为止，例如对12进行连续求根整数，第一次{}＝4，再进行第二次求根整数{}＝2，表示对12连续求根整数2次可得结果为2，请问对100进行连续求根整数，3次后结果为2．（3）若{}＝2，写出满足题意的m的整数值：2，3，4．【分析】（1）新定义可得结果；（2）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为2；（3）根据定义可知x≤4，可得满足题意的x的整数值；【解答】解：（1），所以不小于的最小整数是3；（2），，，所以为3次；（3），则，所以满足题意的m的整数值有2，3，4．故答案为：（1）3；（2）3；（3）2，3，4．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．【变式训练7】（2020秋•浦东新区期中）已知：a＝，b＝．（1）求a+b和ab的值；（2）求a2+b2和a4+b4的值；（3）求a8的整数部分．【分析】（1）根据实数的加减运算法则以及平方差公式计算即可；（2）根据（1）的结论以及完全平方公式计算即可；（3）根据（2）的结论以及完全平方公式求出a8+b8的值，再根据无理数的估算求出b的取值范围，即可得出a8的整数部分．【解答】解：（1）a+b＝；；（2）∵a+b＝，ab＝1，∴；a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝32﹣2＝7；（3）a8+b8＝（a4+b4）2﹣2a4b4＝72﹣2＝47，∵，∴，即＜b＜1，∴0＜b8＜1，∴a8的整数部分是46．【点评】本题主要考查了实数的运算以及无理数的估算，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．【变式训练8】（2019秋•宝山区校级月考）已知的整数部分为a，小数部分为b，求﹣2a的值．【分析】先由3＜＜4知a＝3，b＝﹣3，再代入计算可得．【解答】解：∵＜＜，∴3＜＜4，则a＝3，b＝﹣3，∴原式＝﹣2×3＝﹣6＝2（+3）﹣6＝2．【点评】本题主要考查估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法，也考查了分式的加减法与分母有理化．【变式训练9】（2019秋•徐汇区校级月考）已知a、b为有理数，x、y分别表示的整数部分和小数部分，且满足axy+by2＝1，求a+b的值．【分析】运用估算的方法，先确定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值．【解答】解：∵2＜5﹣＜3，∴x＝2，y＝3﹣；∵axy+by2＝1，∴a•2•（3﹣）+b（3﹣）2＝1，即（﹣2a﹣6b）+（6a+16b﹣1）＝0．∵a、b为有理数，∴，解得：，∴a+b＝1．【点评】本题考查了无理数的大小的估算．解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．考点四：实数的运算【例题4】（2021•沙坪坝区校级模拟）计算：﹣|﹣3|＝﹣5．【分析】首先计算开方和绝对值，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣|﹣3|＝﹣2﹣3＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【变式训练1】（2021春•闵行区校级月考）计算：+（）﹣1﹣﹣（﹣2）0．【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：+（）﹣1﹣﹣（﹣2）0＝4+2﹣3﹣1＝2．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【变式训练2】（2021春•静安区校级期末）计算：．【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质、分母有理化、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+2+2+﹣×2＝1+2+2+﹣＝5．【点评】此题主要考查了立方根以及二次根式的性质、分母有理化、零指数幂的性质，正确分母有理化是解题关键．【变式训练3】（2021春•普陀区期中）计算：．【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣3+1＝﹣2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【变式训练4】（2019春•温江区期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．（1）填空：i3＝﹣i，i4＝1．（2）计算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题：已知：（x+y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值．【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出值；（2）各式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值；（3）根据实数部分与虚数部分相等列出方程，求出方程的解即可得到x与y的值．【解答】解：（1）i3＝﹣i，i4＝1；故答案为：﹣i；1；（2）①原式＝4﹣i2＝4+1＝5；②原式＝4+4i+i2＝3+4i；（3）由已知等式得：x+y＝1﹣x，﹣y＝3，解得：x＝2，y＝﹣3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．如图，一辆小车从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m（1）求的值；（2）求的值.【难度】★★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）点B表示的数比点A表示的数大2，所以点B表示的数是；（2）原式．【总结】本题主要考察实数运算以及实数与数轴，根据已知得出m的值是解题关键．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值．【难度】★★★【答案】5或．【解析】由题意值：a+b=0，cd=1，m=2或-2，所以原式或原式．【总结】本题主要考查倒数，相反数和绝对值的概念及性质，注意分类讨论．计算：（1）；（2）．【难度】★★★【答案】（1）；（2）0．【解析】（1）原式；（2）原式=．【总结】本题考察实数的运算，数值绝对值的性质及数的开方法则，0指数幂的运算法则是本题关键．计算：（1）；（2）；（3）．【难度】★★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=．【总结】本题考查实数计算，熟练运用公式和简便方法是本题关键．已知，求的算术平方根．【难度】★★★【答案】．【解析】由已知得，所以，所以的算术平方根为．【总结】由已知条件求代数的值，一定要找到已知条件与要求结果之间的联系．已知，求的值．【难度】★★★【答案】．【解析】原式=，原式=．【总结】有关代数式求值的问题，解题技巧一般有以下几种，利用有关概念，利用整体思想方法，利用分类讨论方法，利用数形结合的思想方法，利用非负数的性质，利用新定义等．分层提分分层提分题组A基础过关练一．选择题（共6小题）1．（2021春•静安区期末）如图，数轴上点P表示的数可能是（）A．﹣ B． C．﹣3.7 D．﹣【分析】根据数轴上点的位置及无理数的估算进行判断．【解答】解：设点P表示的数为a，由题意可得：﹣3＜a＜﹣2，∵﹣3.7＜﹣3＜﹣＜﹣2＜﹣＜，∴选项A符合题意，故选：A．【点评】本题考查实数与数轴，理解实数的大小比较，利用数形结合思想解题是关键．2．（2021•奉贤区三模）点A是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（）A．点A表示的数一定是整数 B．点A表示的数一定是分数 C．点A表示的数一定是有理数 D．点A表示的数可能是无理数【分析】根据数轴上的点与实数一一对应，可得答案．【解答】解：数轴上的点与实数一一对性应，故A错误；数轴上的点与实数一一对应，故B错误；根据互为相反数的两个数的绝对值相等，故C错误；数轴上的点与实数一一对应，所以点A有可能是无理数，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了数轴，注意数轴上的点与实数一一对应．3．（2021•浦东新区模拟）无理数的值在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【分析】先计算出（2）2的值为24，把24夹逼在两个相邻正整数的平方之间，再写出2的范围即可．【解答】解：（2）2＝22×（）2＝4×6＝24，∵16＜24＜25，∴4＜2＜5．故选：C．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，求出（2）2是解题的关键．4．（2021春•涪城区校级期中）已知a，b分别是6﹣的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值是（）A．3﹣ B．4﹣ C． D．2【分析】根据3＜＜4，可得﹣的大小，根据6﹣，可得a、b的值，根据实数的减法，可得答案．【解答】解：3＜＜4，﹣4＜﹣3，6﹣4，a＝2，b＝6﹣﹣2＝4﹣，2a﹣b＝2×2﹣（4﹣）＝，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，根据3＜＜4，可得﹣的大小是解题关键．5．（2020秋•泰兴市期末）下列整数中，与最接近的是（）A．2 B．3 C．6 D．8【分析】求出2＜＜3，再得出选项即可．【解答】解：∵＜＜，∴2＜＜3，∵22＝4，32＝9，∴与最接近的是3，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．6．（2021春•定州市期末）已知面积为8的正方形的边长为x，那么下列对x的大小的估计正确的是（）A．1＜x＜3 B．2＜x＜3 C．3＜x＜4 D．4＜x＜5【分析】根据正方形的面积公式，求得正方形的边长，再进一步根据数的平方进行估算．【解答】解：根据题意，得正方形的边长是，∵4＜8＜9，∴2＜＜3，∴2＜x＜3．故选：B．【点评】此题考查了正方形的面积公式和无理数的估算方法，熟悉1﹣20的整数的平方．二．填空题（共7小题）7．（2021秋•大埔县期末）的整数部分是a，小数部分是b，计算a﹣2b的值是3﹣2．【分析】先估算的范围，求出a、b的值，代入求出即可．【解答】解：∵1＜＜2，∴a＝1，b＝﹣1，∴a﹣2b＝1﹣2（﹣1）＝3﹣2．故答案为：3﹣2．【点评】本题考查了估算无理数的大小，能根据的范围求出a、b的值是解此题的关键．8．（2021春•普陀区校级月考）若a表示任意实数，则＝2．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而化简得出答案．【解答】解：∵有意义，∴a＝0，∴原式＝+＝0+2＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的化简，正确得出a的值是解题关键．9．（2021春•浦东新区期末）比较大小：﹣4＞（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】先比较出4与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小来比较大小．【解答】解：∵16＜17，∴4＜，∴﹣4＞﹣，故答案为：＞．【点评】本题考查了实数的比较大小，利用平方法比较大小是解题的关键．10．（2021春•静安区期末）已知实数a≤0≤b，化简：＝b﹣a．【分析】直接利用a，b的符号得出a﹣b＜0，再利用二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵a≤0≤b，∴a﹣b＜0，∴＝|a﹣b|＝b﹣a．故答案为：b﹣a．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．11．（2021春•杨浦区期末）在数轴上，如果点A、点B所对应的实数分别是﹣1、，那么线段AB的长度是+1．【分析】在数轴上，两点之间的距离等于这两个数的差的绝对值．【解答】解：线段AB的长度＝﹣（﹣1）＝+1，故答案为：+1．【点评】本题考查了实数与数轴，两点之间的距离，解题的关键是根据在数轴上，两点之间的距离等于这两个数的差的绝对值列出式子．12．（2021春•浦东新区月考）计算：（﹣3）﹣1+×＝．【分析】先算负整数指数幂，二次根式的乘法，再算加法即可求解．【解答】解：（﹣3）﹣1+×＝﹣+4＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式等知识点的运算．13．（2021春•青浦区期中）点A到原点的距离为，则点A所表示的数为．【分析】到原点距离为的点，一个在原点左侧，一个在原点右侧．【解答】解：点A到原点的距离为，则A表示或﹣，故答案为：±．【点评】本题考查数轴上点表示的数，题目较容易，但容易漏掉﹣．三．解答题（共6小题）14．（2021•曲阜市模拟）计算：（）﹣1+﹣|﹣2|﹣（π﹣2021）0．【分析】直接利用负整数指数幂的性质和绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3+2﹣（2﹣）﹣1＝3+2﹣2+﹣1＝3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．15．（2021春•浦东新区期末）计算：（2+）0+（﹣1）2021﹣（）﹣2．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣1﹣4＝﹣4．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．16．（2021春•浦东新区月考）计算：﹣12021﹣+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣2．【分析】本题涉及乘方、零指数幂、负整数指数幂、三次根式化简4个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：﹣12021﹣+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣2．＝﹣1﹣2+1﹣4＝﹣6．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握乘方、零指数幂、负整数指数幂、三次根式等知识点的运算．17．（2021春•青浦区期中）数轴上A、B、C、D依次表示四个实数：、、、0．（1）在数轴上描出点A、B、C、D的大致位置；（2）求AD两点之间的距离．【分析】（1）根据A、B、C、D表示的数描出大致位置即可；（2）AD两点之间的距离即是A、D表示的数的差之绝对值．【解答】解：（1）数轴上描出点A、B、C、D的大致位置如图：（2）AD两点之间的距离为：|0﹣（﹣）|＝．【点评】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是根据各数的近似值描出其在数轴上的大致位置．18．（2021春•上海期中）计算：．【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19．（2021春•奉贤区期中）已知实数x、y满足（x﹣2）2+＝0．（1）x＝2，y＝﹣2；（2）在数轴上，若点A、点B分别表示实数x，y，①在数轴上标出点A、点B的大致位置；②数轴上，若点C到点B的距离为1.5，则点C所对应的实数为：﹣0.5或﹣3.5．【分析】（1）根据若干个非负数的和为0，则这些非负数均为0，即可求得答案；（2）①在数轴上描出点A，B即可；②根据数轴上两点之间的距离等于对应的两个实数差的绝对值，列方程求解即可．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2+＝0，（x﹣2）2≥0，≥0，∴（x﹣2）2＝0，＝0，∴x＝2，y＝﹣2，故答案为：2，﹣2；（2）①点A、点B的大致位置如图所示：②设点C对应的实数为m，由题意得：|m﹣（﹣2）|＝1.5，解得：m＝﹣0.5或﹣3.5；故答案为：﹣0.5或﹣3.5．【点评】本题考查了数轴和数轴上的点与实数的关系，非负数的性质，算术平方根的性质，数轴上两点之间的距离，绝对值方程等知识，解题关键是熟练掌握非负数的性质和数轴上两点之间距离等相关知识．题组B能力提升练一．选择题（共6小题）1．（2021春•浦东新区期末）估计的值在（）A．3和4之间 B．5和6之间 C．7和8之间 D．14和15之间【分析】根据无理数的估算进行计算求值．【解答】解：∵25＜29＜36，∴，∴5＜＜6，故选：B．【点评】本题考查无理数的估算，掌握算术平方根的概念准确进行计算是解题关键．2．（2019秋•虹口区期末）如图1和2，两个圆的半径相等，O1、O2分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为S1，图2中的阴影部分面积为S2，那么S1与S2之间的大小关系是（）A．S1＜S2 B．S1＝S2 C．S1＞S2 D．不能确定【分析】首先根据图示，设两个圆的半径都是r，则图1中正方形的边长是2r，图2中正方形的边长是：＝r；然后根据：S1＝边长是2r的正方形的面积﹣半径是r的圆的面积，S2＝半径是r的圆的面积﹣边长是r的正方形的面积，比较出S1与S2之间的大小关系即可．【解答】解：设两个圆的半径都是r，则图1中正方形的边长是2r，图2中正方形的边长是：＝r，则S1＝2r×2r﹣πr2＝4r2﹣πr2，S2＝πr2﹣r×r＝πr2﹣2r2，S1﹣S2＝（4r2﹣πr2）﹣（πr2﹣2r2）＝6r2﹣2πr2＝（6﹣2π）r2，∵6﹣2π＜0，∴S1﹣S2＜0，∴S1＜S2．故选：A．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正方形和圆的面积的求法．3．（2019春•普陀区期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是30平方米，请你估计这个正方形的边长约为（）A．3米和4米之间 B．4米和5米之间 C．5米和6米之间 D．6米和7米之间【分析】设这个正方形的边长为a，根据正方形的面积公式列出算式，得出a的值，然后用“夹逼法”求出答案即可．【解答】解：设这个正方形的边长为a，根据题意得：a2＝30，则a＝，∵25＜30＜36∴5＜＜6，∴这个正方形的边长约在5米和6米之间；故选：C．【点评】此题考查了无理数的估算大小，解题关键是确定无理数的整数部分．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．4．（2018春•嘉定区期中）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣1|+1的结果为（）A．1.5 B．a C．2+a D．2﹣a【分析】根据数轴确定a的范围，根据绝对值的意义化简即可．【解答】解：由数轴可知，0＜a＜1，则|a﹣1|+1＝1﹣a+1＝2﹣a，故选：D．【点评】本题考查的是绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键．5．（2016秋•鄞州区期末）我们规定：a*b＝，则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（）①a+（b*c）＝（a+b）*（a+c）②a*（b+c）＝（a+b）*c③a*（b+c）＝（a*b）+（a*c）④（a*b）+c＝+（b*2c）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④【分析】根据*的含义，以及实数的运算方法，判断出对于任意实数a、b、c都成立的是哪个等式即可．【解答】解：∵a+（b*c）＝a+，（a+b）*（a+c）＝＝a+，∴选项①符合题意；∵a*（b+c）＝，（a+b）*c＝，∴选项②符合题意；∵a*（b+c）＝，（a*b）+（a*c）＝+＝a+，∴选项③不符合题意；∵（a*b）+c＝+c，+（b*2c）＝+＝+c，∴选项④符合题意，∴等式中对于任意实数a、b、c都成立的是：①②④．故选：B．【点评】此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．6．（2019•佛山模拟）如图，已知数轴上的点A、B表示的实数分别为a，b，那么下列等式成立的是（）A．|a+b|＝a﹣b B．|a+b|＝﹣a﹣b C．|a+b|＝b﹣a D．|a+b|＝a+b【分析】根据图示，可得：b＜0＜a，|b|＞|a|，据此判断即可．【解答】解：∵b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a+b＜0，∴|a+b|＝﹣a﹣b．故选：B．【点评】此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．二．填空题（共5小题）7．（2021•榆阳区模拟）比较大小：＞π（填“＜”“＞”或“＝”）．【分析】判断出、π与4的大小关系，即可判断出、π的大小关系．【解答】解：∵＞＝4，π＜4，∴＞π．故答案为：＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出、π与4的大小关系．8．（2021春•红谷滩区校级期中）﹣2的小数部分是．【分析】由可知，根据和小数部分相同即可得到答案．【解答】解：∵，∴，∴的小数部分为，∵和小数部分相同，∴的小数部分为，故答案为：．【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握“无理数的小数部分等于无理数减去自己的整数部分”是解决问题的关键．9．（2021春•封开县期末）比较大小：＜．【分析】可以都同2作比较可得结论．【解答】解：∵＜2，＞2，∴．故答案为：＜．【点评】本题主要考查了算术平方根，实数大小比较．两个数都与2比大小是解题的关键．10．（2021春•上海期中）已知a，b是有理数，且2（a+1）+b＝3﹣2，则ab＝﹣1．【分析】直接利用已知去括号分别得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵a，b是有理数，且2（a+1）+b＝3﹣2，∴2a+2+b＝3﹣2，故2a＝﹣2，2+b＝3，解得：a＝﹣1，b＝1，故ab＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．11．（2021春•松江区期中）数轴上点A、B所对应的实数分别是