第02讲 平行线的判定（原卷版）

第02讲平行线的判定1.3【学习目标】1.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.2.掌握平行公理及其推论；3.掌握“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行.”【基础知识】一、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.二、平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．(3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.三、平行线判定的其他方法：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行.【考点剖析】例1．已知如图直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是(

)A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠2+∠5＝180°例2．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（

）A． B． C． D．例3．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（

）A．同旁内角互补，两直线平行B．两直线平行，同位角相等C．同位角相等，两直线平行D．内错角相等，两直线平行例4．如图，不能判断//的条件是（

）A．∠1=∠3 B．∠2+∠4=180° C．∠4=∠5 D．∠2=∠3例5．如图下列推断错误的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得例6．如图所示，下列判断不正确的是()A．因为∠1=∠2，所以AE∥BD B．因为∠3=∠4，所以AB∥CDC．因为∠1=∠2，所以AB∥ED D．因为∠5=∠BDC，所以AE∥BD例7．如图所示，下列说法正确的是（

）A．若∠3＝∠5，则CD∥EF B．若∠2＝∠6，则CD∥EFC．若∠4＝∠3，则CD∥EF D．若∠1＝∠6，则GH∥AB例8．如图有下列条件：①；②；③；④；⑤.其中能判定直线的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个例9．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（）A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°例10．a，b，c为平面内不同的三条直线，若要a∥b，条件不符合的是（

）A．a∥c，b∥c B．a⊥c，b⊥c

C．a⊥c，b∥c

D．c截a，b所得的内错角的邻补角相等例11．在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（）A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图④中，展开后测得∠1+∠2=180°例12．如图，∠EFB＝∠GHD＝53°，∠IGA＝127°，由这些条件，能找到_____对平行线．例13．如图，填空:(1)若∠A=∠3，则____∥_____，理由是______；(2)若∠2=∠E，则____∥___，理由是____；(3)若∠A+∠ABE=180°，则____∥___，理由是____；(4)若∠2=∠____，则DA∥EB，理由是____；(5)若∠DBC+∠_____=180°，则DB∥EC，理由是____；例14．如图，∠1＝2x＋10°，∠2＝40°－x，当∠1＝____度时，DE∥BC．例15．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是_____．例16．如图所示，给出如下条件：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不能判定直线的是___．例17．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b//a，c//a，那么b//c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c．其中真命题的是__________．（填写所有真命题的序号）例18．在同一平面内有2022条直线，如果，，，……那么与的位置关系是_____________．例19．如图，是上一点，是上一点，是延长线上一点．（1）如果，可以判断哪两条直线平行？为什么？（2）如果，可以判断哪两条直线平行？为什么？（3）如果，可以判断哪两条直线平行？为什么？例20．已知：如图，．求证：．分析：如图，欲证，只要证______．证明：，（已知）又，（

）__________．（

）．（__________，____________）例21．已知：如图，直线被所截，，求证：．证法1：如图，与交于（

）又（

）（

）（

）证法2：如图，（

）又（

）（

）（

）证法3：如图，（

）（

）又（

）（

）（

）例22．如图所示，平分，平分，且，求证：．例23．如图，直线、交于点，，分别平分和，已知，且．(1)求的度数；(2)试说明的理由．【真题演练】一、单选题1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江台州·中考真题）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（

）A． B． C． D．3．（2020·浙江衢州·中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A． B．C． D．4．（2020·浙江金华·中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到，理由是（

）A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线C．连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行5．（2021·甘肃兰州·中考真题）将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______．6．（2018·湖南湘潭·中考真题）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）【过关检测】一、单选题1．如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是（

）A． B．C． D．2．如图，下列推论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，3．如图，直线，被所截得的同旁内角为，，要使，只要使（）A． B．C． D．，4．如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等5．如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，下列能判定的条件有（

）①；②；③；④；⑤．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，已知直线，，直线交直线于点A，交直线于点B，过点B的直线交于点C，下列条件能判断的是（）A． B． C． D．8．如图，在三角形中，，点是上的点，于点，则下列结论中，不正确的是（

）A． B．C． D．9．下列图形中，由能得到AB//CD的图形有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．数学课上，老师要求同学们利用三角板画出两条平行线，老师展示了甲、乙两位同学的画法如下：甲的画法：乙的画法：请你判断两人的作图的正确性()A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确C．两人都正确 D．两人都错误二、填空题11．平行线的判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果__________________，那么___________________________；（2）两条直线被第三条直线所截，如果____________________，那么______________________；（3）两条直线被第三条直线所截，如果____________________，那么______________________．12．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是______．13．如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1=50°，则当∠2=____时，ab．14．如图所示，下列说法中正确的编号是______．①若∠2=∠4，则ADBC；②若∠1=∠3，则ADBC；③若∠3+∠ABC=180°，则ABCD；④若∠2=∠4，则ABCD；⑤若∠4+∠ABC=180°，则ABCD；⑥若∠1=∠3，则ABCD．15．如图，直角三角形的顶点A在直线m上，分别度量：①；②；③；④，可判断直线m与直线n是否平行的是__________．16．将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）17．李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法：①以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；②作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1：李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2．（1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？______（填“能”或“不能”）.（2）如果能，请在图2中作出直线a,保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由：________________．18．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行．三、解答题19．如图，直线a，b直线c所截．(1)当∠1＝∠3时，直线a，b平行吗？请说明理由．(2)当∠2+∠3＝180°时，直线a，b平行吗？请说明理由．20．如图，，求证：，请将证明过程填写完整.证明：∵（已知）又∵（

）∴________，∴____________（

）∴______________（

）又∵（已知）∴________________，∴（

）21．如图，(1)等于多少度？(2)AD与BC平行吗？请说明理由．22．如图，已知，平分，平分，且，请填写说明DE∥BF的理由的依据．解：因为平分，平分（已知）所以，（______）因为（已知）所以（______）因为（______）所以（______）所以DEBF（______）23．如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作，G为射线EC上一点，连接BG、AB，且．(1)试说明；(2)若试判断AB与EF平行吗？并说明理由．24．如图，已知点在上，平分平分．(1)试说明∶；(2)若，试判断与平行吗？为什么？25．（1）在学习“平行线的判定”时，课本首先通过以下的“思考”栏目，得到了平行线的判定方法1，即______．思考我们以前已学过用直尺和三角尺画平行线（如图）．在这一过程中，三角尺起着什么样的作用？（2）平行线的另外两个判定方法都可以根据平行线