人教版高中数学选修2-2教案　全册

返修2-2―导致及其应用目泰

变化率问题（新授课）

§1.1.2导数的概念（新授课）

§1.1.3导数的几何意义（新授课）

§1.2.1儿个常用函数的导数（新授课）

§1.2.2第一课时：基本初等函数的导数公式及

导数的运算法则（新授课）

§1.2.2第二课时：复合函数的求导法则（新授课）

§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）（新授课）

§3.3.2函数的极值与导数（2课时）（新授课）

§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）（新授课）

§1.4生活中的优化问题举例（2课时）（新授课）

§1.5.1曲边梯形的面积（新授课）

§1.5.2汽车行驶的路程（新授课）

§L5.3定积分的概念（新授课）

§L6微积分基本定理（新授课）

§1.7定积分的简单应用（两课时）（新授课）

第一章导数及其应用

一、课程目标：

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了详尽代数学过渡的新时期，

为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数、定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰

富的实际背景和广泛应用。在本章中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画

现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。学生还将

经历求曲边梯形的面积、汽车行驶路程等实际问题的过程，初步了解定积分的概念，为以后进一步

学习微积分打下基础。通过本章的学习，学生将体会导数的思想极其丰富内涵，感受导数在解决实

际问题中的作用，了解微积分的文化价值。

二、学习目标：

1、变化率与导数

（1）、通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知

道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。

（2）、通过函数图像直观地理解导数的几何意义。

2、导数的计算

（1）、能根据导数的定义，求函数y=c,y==x2,y=X：＞==五的导数。

x

（2）、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单

的复合函数的导数。

（3）、会使用导数公式表。

3、导数在研究函数中的应用

（1）、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单

调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

（2）、结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数球不超过三次

的多项函数的极大值、极小值。

4、生活中的优化问题举例

通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

5、定积分与微积分基本定理

（1）、通过实例，从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想，初

步了解定积分的概念。

（2）、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义。

（3）、应用定积分解决一些简单的儿何和物理问题。

6、数学文化

收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文

化发展中的意义和价值。

三、本章知识结构

平均速度平均变化率割线斜率

瞬时速度瞬时变化率一切线斜率

导数

1t、

A

基本初等函数导数导数与函数单调性的关

公式导数运算法则*系与极（最）值的关系

微积分基本定理

曲边梯形的面积变速直线运动的路程

/

、1/

定积分

定积分在几何、物

理中的简单应用

四、课时安排：

1.1变化率与导数约4课时

1.2导数的计算约3课时

1.3导数在研究函数中的应用约4课时

1.4生活中的优化问题举例约3课时

1.5定积分的概念约4课时

1.6微积分基本定理约2课时

1.7定积分的简单应用约2课时

§1.1.1变化率问题（新授课）

一、教学目标：

知识与技能：了解函数的平均变化率的概念，会求函数的平均变化率。

过程与方法：体会有特殊到一般的思维方法

情感、态度与价值观：感受由平均变化率刻画现实问题的过程。

二、教学重点与难点：

重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

难点：平均变化率的概念.

三、教学过程：

（一）.创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，

产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

1、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；

2、求曲线的切线；

3、求己知函数的最大值与最小值；

4、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最

有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

（二）.讲授新课

1、提出问题

问题1:气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现,随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加

越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？

气球的体枳■（单位:£）与半径厂（单位:而t）之间的函数关系是忆（r）=

如果将半径r表示为体枳V的函数，那么r（K）=

分析:《）=将,

（1）当V从0增加到1忖，气球半径增加了厂⑴一r（0）h0.62（力《）

气球的平均膨胀率为*—,）«0.62（^ZZ）

（2）当V从1增加到2时，气球半径增加了"2）-尸⑴«0.16（而）

气球的平均膨胀率为“2)T⑴«0.16(dmIL)

2—1

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考：当空气容量从匕增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

/一匕

问题2高台跳水

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度〃(单位：⑼与起跳后的

时间，(单位：s)存在函数关系〃(/)=-4.9f+6.5f+10.如何用运动员在某

些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态？

思考计算：04/«0.5和14/«2的平均速度3

在0W，40.5这段时间里，v="(°")一"⑼.=4.05(掰/5)；

0.5-0

在14/42这段时间里，v="[⑴=-8,2(W/5)

探究：计算运动员在0M/K上■这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数g)=-4.9』+6.5什10的图像，结合图形可知，//(—)=A(0),

49

_/?(.Q)-/2(0)

所以v=———------=0(5/m),

奂-0

49

虽然运动员在OWf4墨这段时间里的平均速度为0(s/加)，但实际情况是运动员仍然运动，并非

静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

2、平均变化率概念：

(1).上述问题中的变化率可用式子」(?2)一”：人表示,称为函数/(x)从占到叼的平均变化

率

(2).若设Ar=X2-X],V=/(X2)-/(阳)(这里Ax看作是对于X1的一个“增量”可用片+AX代

替也,同样V=»=/(%2)一/(再))

(3)。则平均变化率为包=笠=/区)-/(项)=/5+.)一/区)

AxAxx2-x{Ax

思考：观察函数/(x)的图象

平均变化率竺=〃土匕”土)表示什么？

Axx2-x1

包

Ar

解：-2+Ay=—(―1+Ax)~+(―1+Ax),

.Ay_-(-1+Ax)2+(-1+Ax)-2

>•—―--------------------------=3—Ax

AxAx

例2.求y=》2在x=x0附近的平均变化率。

22

22

解：Ay=(x0+Ax)-x0,所以9=(x°+A.一%

AxAx

=宜*竺±因二二2x0+Ax

Ax

所以歹=，在x=x0附近的平均变化率为2%+Ax

(四).课堂练习

1.质点运动规律为5=产+3,则在时间(3,3+△/)中相应的平均速度为

2.物体按照6(。=3/+/+4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率.

3.过曲线刑x)=f上两点/(1,1)和0(1+Ax,l+Ay)作曲线的割线,求出当零x=0.1时割线的斜

(五).课时小结

1.平均变化率的概念2.函数在某点处附近的平均变化率

§1.1.2导数的概念（新授课）

一、教学目标：

知识与技能：

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2.理解导数的概念，会求函数在某点的导数

过程与方法：经历由实例抽象出导数概念的过程，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其

内涵。

情感、态度与价值观：经历山平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题问题的过程，感受导数在现实

问题中的应用，初步认识导数的应用价值。

二、教学重点与难点：

重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

难点：导数的概念.

三、教学过程：

（一）.创设情景

1、复习提问：平均变化率

2、探究：计算运动员在04,4负这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数〃⑺=-4.9f+6.5什10的图像，结合图形可知，/?（竺）=/0）,

49

_〃（条（0）\h

所以v=——与------=0（s/加），

65八

虽然运动员在0Wf4j这段时间里的平均速度为0（s/m）,但实际情况

是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动

员的运动状态.

（二）.新课讲授4~'----------------►

1.瞬时速度

我们把物体在某时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某•时刻的

瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，/=2时的瞬时速度是多少？考察z=2附

近的情况：

（引导学生观察课本第4页表格）

思考：当，趋近于0时，平均速度工有什么样的变化趋势？

结艺：当4趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速

度S都趋近于一个确定的值-13.1.

从物理的角度看，时间|加|间隔无限变小时，平均速度;就无限趋近于史的瞬时速度，因此，

运动员在/=2时的瞬时速度是-

为了表述方便，我们用lim"2+加)-"2)=-13.1

A，fOAz

表示“当/=2,。趋近于。时，平均速度u趋近于定值

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似

值过渡到瞬时速度的精确值。

2.导数的概念

从函数产次X)在X-Xo处的瞬时变化率是：

lim/U+Ax)-2u)=limv

Ax->oAx-Ax

我们称它为函数歹=/(x)在x=x()出的导数，记作/(%)或1,即

八%)=lim+―

心—°Ax

说明：(1)导数即为函数在广沏处的瞬时变化率

(2)Ax=x-x,当Axf0时，x—>x,所以/'(工0)=lim"-"飞’

00Ar—>0%—%

(三).典例分析

例1.(1)求函数户37在x=l处的导数.

分析：先求△户+Ax)3(l)=6AX+(AX)2

再求AL=6+Ar再求lim^=6

Ax.f0Ax

解：法一定义法(略)

3x2-3-123(x2-I2)

法二：y'\,=lim—~=~—=lim3(x+l)=6

—x-1x-\i

(2)求函数/(x)=-i+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

解：包=-(-…+C=3…

ArAr

"/r—(-1+Ax)~+(-1+Ax)-2「人人、2

/(-1)=lim—=-----------------------=hm(3-Ax)=3

©T0AYAr'一。

例2.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x/z

时,原油的温度(单位：°C)为/(x)=x2—7X+15(04XK8),计算第2/z时和第6。时，原油

温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

解：在第2〃时和第6/?n寸，原油温度的瞬时变化率就是/(2)和/'(6)

根据导数定义，V^/(2+Ax)-/(x0)

AxAx

(2+Ax)2-7(2+Ar)+15-(22-7x2+15),.

Ax

所以八2)=lim"=lim(Ax-3)=-3

同理可得：/'(6)=5

在第2〃时和第6〃时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,说明在2。附近，原油温度大约

以3X7%的速率下降，在第6/z附近，原油温度大约以50的速率上升.

§1.1.3导数的几何意义(新授课)

一、教学目标：

知识与技能：理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程。

过程与方法：经历导数几何意义的学习过程，感受极限思想，体会用导数的几何意义求曲线的切线

方程的方法，体会用导数的几何意义分析图像上点的变化情况的方法。

情感、态度与价值观：通过本节的学习，体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展

理性思维能力。

二、教学重点与难点

重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

难点：导数的几何意义.

三、教学过程：

(-).创设情景

复习提问：1、平均变化率、割线的斜率

2、瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数y=/(x)在x=x()处的瞬时变化率，反映了函数利x)在AXO附近的变化

情况，导数/'(%)的儿何意义是什么呢？

(二).新课讲授

1、曲线的切线及切线的斜率:观察课本第7页图1.1-2,当P“(x”,/(%„))(«=1,2,3,4)沿着曲线/(x)

趋近于点P(x0,./'(x0))时，割线PP„的变化趋势是什么？

我们可以发现，当点匕沿着曲线无限接近点P即Ax-0时，割线尸，趋近于确定的位置，这个确

定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：⑴割线尸々的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

⑵切线P7的斜率上为多少？

容易知道，割线PP„的斜率是k„=八％)二"X。)，当点匕沿着曲线无限接近点P时，k„无限

趋近于切线PT的斜率k,即左=lim/氏十')=,至=八x0)

A—。Ax

说明：(1)设切线的倾斜角为a,那么当Ax-0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；

②切线斜率的本质一函数在x=/处的导数.

(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.

如有极限，则在此点有切线，且切线是唯•的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线，并不一定与

曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.

2、导数的几何意义：

函数y寸x)在处的导数等于在该点(x0,/'(Xo))处的切线的斜率，

即，'(%)=lim/二/(%)=k

°VfOAx

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出尸点的坐标；

②求出函数在点/处的变化率/'(X。)=lim"x°+一八/)=k,得到曲线在点

心Ax

(x0,/(x0))的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程.

3、导函数：

由函数/(x)在x=x0处求导数的过程可以看到，当时，/"(X。)是一个确定的数，那么，当x变化时,

便是x的一个函数，我们叫它为人的的导函数.记作：/'(X)或了，

即：/⑴=y，=lim/三领―

-Ax

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.

4、函数/(x)在点5处的导数/'(%)、导函数/'(X)、导数之间的区别与联系。

(1)函数在一点处的导数/'(X。)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它

是一个常数，不是变数。

(2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数

(3)函数/(x)在点/处的导数/(%)就是导函数/'(x)在x=x0处的函数值，这也是求函数在点

玉)处的导数的方法之一。

(三).典例分析

例1:(1)求曲线y=危)=,+1在点尸(1,2)处的切线方程.

(2)求函数产3$在点(1,3)处的切线方程.

M-、r[(1+ZLX)2+1]-(12+1)2Ar+ZLx2。

解：⑴/f|L_.=lim------———-----=hm---------=2,

-AxAx

所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为歹-2=2。-1)即2x—y=0

3%2-3-123(x2-I2)

(2)因为yi-=lim3~—=lim———=lim3(x+l)=6

所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y-3=6(x—1)即6x—y—3=0

例2.如图课本第8页图1.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

/z(x)=-4.9x2+6.5x+10,根据图像，请描述、比较曲线力⑺在/°、％、与附近的变化情况.

解：我们用曲线,")在"、4、4处的切线，刻画曲线人«)在上述三个时刻附近的变化情况.

(1)当1=九时，曲线力«)在九处的切线/。平行于》轴，所以，在，=办附近曲线比较平坦，儿

乎没有升降.

(2)当"4时，曲线//⑺在4处的切线人的斜率/&)<(),所以，在/=%附近曲线下降，即函

数加x)=-4.9/+6.5x+10在/=4附近单调递减.

(3)当t=/2时.，曲线力⑺在％处的切线12的斜率"色)<0,所以，在，=»2附近曲线下降，即

函数〃(x)=-4.9x2+6.5x+10在f=芍附近单调递减.

从图3.1-3可以看出，直线4的倾斜程度小于直线4的倾斜程度，这说明曲线在4附近比在工2附近

下降的缓慢.

例3.如图课本第9页图1.1-4,它表示人体血管中药物浓度，=/“）（单位：加g/ml）随时间

/（单位：min）变化的图象.根据图像，估计/=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时

变化率（精确到0.1）.

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度/（/）在此时刻的导数，从图像上看,

它表示曲线/⑺在此点处的切线的斜率.

如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物

浓度瞬时变化率的近似值.

作/=0.8处的切线，并在切线上去两点，如（0.7,0.91）,（1.0,0.48）,则它的斜率为：

0.48-0.91

k-

1.0-0.7

所以/'（0.8）。—1.4

卜表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:

t0.20.40.60.8

药物浓度瞬时变化率/‘（力0.40-0.7-1.4

（四）.课堂练习

1.求曲线y=J（x）=x3在点（1,1）处的切线;

2.求曲线y=4在点（4,2）处的切线.

（五）.课时小结

1.曲线的切线及切线的斜率;

2.导数的几何意义

§1.2.1几个常用函数的导数（新授课）

一、教学目标：

知识与技能：能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题。

过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法。

情感、态度与价值观：通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用

煮识

三、%学重点与难点：

重点：五种常见函数y=c、y=x、丁=》2、y=y=4的导数公式及应用

难点：五种常见函数y=c、y=x、y=x2y=—y=&的导数公式

x

三、教学过程：

(一).创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的

瞬时速度.那么，对于函数歹=/(x),如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数

总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这

一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数.

(二).新课讲授

1.函数y=/(x)=C的导数

根据导数定义，因为包

AxAxAx

所以j/=lim—=lim0=0

ArAv->o

了=0表示函数y=c图像上每一点处的切线的斜率都为0.若y=c表示路程关于时间的函数，则

y=o可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.

2.函数歹=/(x)=x的导数

因为包=/(x+Ax)-/(x)=X+Ax-X=]

AxAxAx

所以V=lim—=lim1=1

AY-»OAr-

y=i表示函数v=x图像上每一点处的切线的斜率都为i.若丁=》表示路程关于时间的函数，则

V=i可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.

3.函数y=/(x)=V的导数

毋/(x+Ax)-/(x)(x+Ax)2-%2

因为—=----------------=-------------

AxAxAx

x2+2xAx+(Ax)2-x2「

=------------------------=2x+Ax

Ax

所以y'=lim—=lim(2x+Ax)=2x

AXTOA.AXTO

了=2》表示函数歹=/图像上点(》))处的切线的斜率都为2工，说明随着x的变化，切线的斜率

也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着x的增

加，函数y=减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，函数y=/增加得越来越快.若>=%2

表示路程关于时间的函数，则了=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.

4.函数丁=八对二^1■的导数

X

11

因为"=/(x+Ar)-/(x)=X+AJX

AxArAr

_x-(x4-Ax)_1

x(x+Ax)Axx2+x-Ax

所以y'=lim—=lim(——；~!----)=--V

-Axx4-x-Zkrx

5.函数y=/*)=&的导数

因为包=/(x+Ar)-/(x)=Jx+Ar

AxAxAx

_(Jx+Ax-VX)(A/X+Ax+Vx)_(x+Ax)-x

Ar(Jx+Ar+Vx)Ax(Jx+Ax+Vx)

所以y'=lim包=lim/1——产=」=

——Vx+Ax+Vx2sjx

推广：若y=f（x）=x\neQ）,则/'（x）=nx"~l

（三）.课堂练习：课本P13探究，P14探究

（四）.课时小结：

（五）.布置作业：习题1.2第1题

四、课后反思

§1.2.2第一课时：基本初等函数的导数公式及

导数的运算法则（新授课）

一、教学目标：

知识与技能：能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式，求简单函数的导数。

过程与方法：掌握运用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式来求导数的方法。

情感、态度与价值观：通过利用导数方法解决实际问题的过程，体会导数在现实生活中的应用价值,

提高数学应用能力。

二、教学重点与难点：

重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

三、教学过程：

(-).创设情景

复习：五种常见函数y=c、y=x、9y=L、夕=石的导数公式及应用

x

(二).新课讲授

1、基本初等函数的导数公式表

函数导数

y=cy=0

y=/(x)=x"(〃e。*)y=nxn~]

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=f(x)=axy=ax-Ina(a>0)

y=/(x)=e*y=ex

/(x)=log“X/(x)=log„xf(x)=(a>0月4x1)

xlna

1

/(x)=Inx/(')=

X

2、导数的运算法则

导数运算法则

[/(x)±g(x)]=/(x)±g'(x)

2."(x)•g(x)]=/'(x)g(x)±/(x)g'(x)

r(x)g(x)-/u)g(x)

3.0)

[g(x)]

推论:[cf（x）]=cf\x）（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

（三）.典例分析

例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p（单位：元）与时间/（单位:

年）有如下函数关系p«）=Po（l+5%）',其中Po为7=0时的物价.假定某种商品的p0=l，那么

在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）?

解：根据基本初等函数导数公式表，有p'（/）=L05'lnL05

所以方（10）=1.051°In1.05a0.08（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.

例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.

（1）y=x3-2x+3

,、11

（3）y=x*sinx-\nx；

x

(4)

4

1-lnx

(5)y=--------•

“1+lnx

(6)y=(.2x2-5x+l)-ex；

sinx-xcosx

(7)

y=-c-o--s-x--+--x--s:—inx

解：⑴y=(x3-2x+3)=(x3),-(2x)+(3),=3x2-2,

y—3x2—2o

⑺:/i、•，i、・(1+五)’(1-4)'

i_i

_______

(1+Vx)"(1—Vx)2

4=[-—

2y/x(1+Vx)2(1-Vx)

1(1+4)2+(1一五)2

(1-x)2

_(l+x)Vx

x(l-x)2

(l+x)Vx

F

(3)y=(x-sinx-lnx)=[(x-lnx)-sinx]

=(x-lnx)•sinx+(x•Inx)­(sinx)

=(1-Inx+x•—)-sinx+(x•Inx)•cosx

x

=sinx+Inx•sinx+x-Inx-cosx

=sinx+Inx-sinx+x-Inx-cosx

xxxx

/./X、，x-4-x-(4)1.4-x-4ln4l-xln4

(4)y=(—)=----------7^-=------------------=-----------

XX2

4(4*)2(4)4、

,l-xln4

1

/_、,1—Inx«2、,_.1、,_Y2

(5)y=z(------)x=(-1+--------)=2(--------)=2——~-

1+lnx1+lnx1+lnx(1+lnx)'x(l+lnx)2

2

y=-------------

x(l+Inx)2

(6)y=(2x2—5x+1),e*+(2x“—5x+1),(e")

=(4x-5)-eY+(2x2-5x4-1)-ev=(2x2-x-4)-e\

y=(2x~-x—4),€X©

,sinx-xcosx.

⑺y=(z------------)

cosx+xsinx

(sinx-xcosx)-(cosx+xsinx)-(sinx-xcosx)•(cosx+xsinx)

一(/cosx+xsi•nX?)2

(cosx-cosx+xsinx)-(cosx+xsinx)-(sinx-xcosx)­(-sinx+sinx+xcosx)

(cosx+xsinx)2

xsinx•(cosx+xsinx)-(sinx-xcosx)•xcosx

(cosx+xsinx)2

X2•_X2

(cosx+xsinx)2(cosx+xsinx)2

【点评】

①求导数是在定义域内实行的.

②求较复杂的函数枳、商的导数，必须细心、耐心.

例3、日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已

知将1吨水净化到纯净度为X%时所需费用(单位：元)为

5284

c(x)=-----(80<x<100)

100-x

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%(2)98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

.、/5284.5284'x(100-%)-5284x(100-x)

c(x)=(-----)=-----------------；----------

100-x(100-x)2

0x(100-x)—5284x(-1)_5284

(100-x)2(100-x)2

(1)因为c(90)=,=52.84,所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是

(100-90)2

52.84元/吨.

(2)因为c(98)=—~7=1321,所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是

(100-90)2

1321元/吨.

函数/(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.山上述计算可知,

c(98)=25c(90).它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左

右时净化费用的瞬时变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净

化费用增加的速度也越快.

(四).课堂练习：L课本练习1

2.已知曲线C：y=3x4-2x3-9f+4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；

(y=-12x+8)

(五).课时小结：

(1)基本初等函数的导数公式表

(2)导数的运算法则

(六).布置作业：习题1.2A组4(1)(2)(3)

四、课后反思：

§1.2.2第二课时：复合函数的求导法则（新授课）

一、教学目标

知识与能力：理解并掌握复合函数的求导法则.

过程与方法：掌握运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数导数的方法。

情感、态度与价值观：体会导数在现实生活中的应用价值，提高数学应用能力。

二、教学重点与难点：

重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间

变量对自变量的导数之积.

难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确.

三、教学过程

（-）.创设情景，复习引入

1、基本初等函数的导数公式表（学生填表）

函数导数

y=cy=0

y=f(x)=x\neQ*)y=nxn~'

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=f(x)=axy=ax-Ina(a>0)

y=f(x)=e"y=ex

1*

/(x)=logX，(x)=logM/'(x)=(a>0且awl)

axlna

1

f(x)=Inx=

2、导数的运算法则

导数运算法则

1.[/(x)±g(x)]=/(x)±g'(x)

2.[.fM-g。)]=/'(x)g(x)±/(x)g'(x)

F/Wl一/'(x)g(x)—/(x)g'(x)//、

3.I/\I—r12

|_g(x)」[g(X)]

推论：[bXx)[="7x)(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)

(二).新课讲授

复合函数的概念一般地，对于两个函数y=和M=g(x),如果通过变量〃，N可以

表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=和〃=g(X)的复合函数，记作y=/(g(x))。

复合函数的导数复合函数歹=/(g(x))的导数和函数y=/Q)和“=g(x)的导数间的关系

为y：=y：，即y对x的导数等于歹对“的导数与"对x的导数的乘积.

若y=/(g(x)),则/=[/(g(x))J=/〈g(x)).g，(x)

(三).典例分析

例1、求下列函数的导数：

(1)y=(2x+3)2；(2)y=e405x+i；

(3)y=sin(^x+(p)(其中肛。均为常数).

解：(1)函数歹=(2x+3)2可以看作函数歹=〃2和〃=2x+3的复合函数。根据复合函数求导

法则有

2

y'x=匕'-w/=(w)(2x+3)=4〃=8x+12。

(2)函数y=e4°5x”可以看作函数y=e"和〃=一0.05%+1的复合函数。根据复合函数求导

法则有

x/=x/-w/=(ew)'(-0.05x4-1)'=—0.005e"=-0.005e-0°5x+1°

(3)函数y=sin(〃x+O)可以看作函数y=sinw和〃=兀x+(p的复合函数。根据复合函数求

导法则有

=匕'・u：=(sinu)(TTX+0)=冗cosw=TCCOS(TTX+cp)。

例2、求.=sin(tanx2)的导数.

解：y=[sin(tanx2)]=cos(tanx1)­sec2(x2)-2x

=2xcos(tanx2)-sec2(x2)

y=2xcos(tanx2)•sec2(x2)

[点评]

求金合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，山外层向内层逐层求导,

直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化筒计算结果.

例3、求.=J的导数.

Vx2-2ax

1~2/、2x-2a

1Tx-2ax—/

解：y=--------------------2。」

『-2ax

_-a2_a2ylx2-2ax

x2-2axy/x2-2ax(*-2ax)2

a1yjx1-lax

(x2-2ax)2

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.

例4、求歹=sin4x+COSS；的导数.

【解法-1y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2—2sin2cos2x=1——sin22x

131

=1——(1-cos4x)=—F—cos4x.y1=—sin4x.

444

【解法二】，=(sin4x)/+(cos4x)/=4sin3x(sinx)/+4cos3x(cosx))

=4sincosx+4cos(—sinx)=4sinxcosx(sin2x—cos2x)

=-2sin2xcos2x=-sin4x

【点评】

解法♦是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数，应

注意不漏步.

例5、曲线y=x(x+1)(2-x)有两条平行于直线歹=x的切线，求此二切线之间的距离.

【解】y=—x3+x2+2xyf=~3x2+2x+2

1

令y'=1即3#o—2x—1=0,解得x=——或x=1.

3

114

于是切点为尸(1,2),Q

327

过点尸的切线方程为，y-2=x-1即x-y+1=0.

显然两切线间的距离等于点0到此切线的距离，故所求距离为

一3727第，

(四).课堂练习

win2Y2、

1.求下列函数的导数(l)y二sinx'+sinbx；(2)y=----;(3)logfl(x-2)

2x-l

2.求ln(2/+3x+l)的导数

(五).课时小结：

1、复合函数的求导法则.

2、运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数导数的方法。

(六).布置作业：习题1.2A组5、6

四、课后反思

§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）（新授课）

一、教学目标：

知识与技能：借助与函数的图像了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，

会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

过程与方法：通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。

情感、态度与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互关系和

运动变化的观点，提高理性思维能力。

二、教学重点与难点：

重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

三、教学过程：

（-）.课题引入

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与

慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的

变化规律有一个基本的了解.下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的

作用.

（二）.新课讲授

1.提出问题：观察课本22页图1.3-1

（1）,它表示跳水运动中高度〃随时间，变化的函数〃«）=-4.9/+6.5/+10的图像，

（2）表示高台跳水运动员的速度n随时间t变化的函数火力=〃。）=-9.8/+6.5的图像.

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：

（1）、运动员从起点到最高点，离水面的高度〃随时间/的增加而增加，即以，）是增函数.相应地,

v（Z）=h（t）>0.

（2）、从最高点到入水，运动员离水面的高度力随时间，的增加而减少，即人（。是减函数.相应地,

v(Z)=/?(/)<0.

2.函数的单调性与导数的关系

观察下面课本23页图1.3-2函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.

如图，导数/(七)表示函数/(x)在点(X。，％)处的切线的斜率.

在x=x()处，/(xo)>O,切线是“左下右上”式的，这时，函数/(x)在/附近单调递增；

在x=M处，/(/)<0,切线是“左上右下”式的，这时，函数/(x)在