数学（必修3）课件623第2课时

第6章立体几何初步6.2空间的直线与平面6.2.3垂直关系第2课时平面与平面垂直1．掌握平面与平面垂直的判定与性质定理．(重点)2．理解线线垂直，线面垂直、面面垂直的内在联系．(难点)1．面面垂直的判定定理①定理：如果一个平面经过________________________，那么这两个平面垂直．②图形表述：如图所示．③符号语言：b⊥α，b⊂β⇒β⊥α.另一个平面的一条垂线2．面面垂直的性质定理一个平面内交线垂直a⊂αa⊥l线面

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．平面与平面垂直的判定【思路探究】由C是圆周上异于直径AB的点→AC⊥BC→由PA垂直于⊙O所在的平面→PA⊥BC→BC⊥平面PAC→平面PAC⊥平面PBC．解：连接AC，BC，则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．

面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．1．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB．证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC．∵AC⊥BD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，∴AC⊥平面PDB．又∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB．

如图，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．平面与平面垂直的性质解：过A作AE⊥PC于E，由平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，可知AE⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，故AE⊥BC．又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故PA⊥BC．∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAC．又AC⊂平面PAC，故BC⊥AC．

在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题．2．如图，四棱锥V—ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD．求证：平面VBC⊥平面VAC．证明：∵平面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB．∴BC⊥平面VAB，VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA⊂平面VAC．∴平面VBC⊥平面VAC．

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．线面垂直的综合应用(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．【思路探究】(1)由题中平面PAD⊥平面ABCD，只需要证明BG垂直于两平面的交线即可．(2)转化为证AD⊥平面PBG即可．解：(1)∵在菱形ABCD中，G为AD的中点，∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD．(2)连接PG，如图，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD．由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB．

证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理，利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．3.如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD．PA与BD是否相互垂直？请证明你的结论．证明：(1)如图，取BC的中点O，连接PO、AO.∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD．∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，∴BD⊥PA，所以PA与BD相互垂直．1．面面垂直的性质定理揭示了