第04讲一元一次不等式组（9类题型）

第04讲一元一次不等式组（9类题型）课程标准学习目标1.一元一次不等式组的定义；2.一元一次不等式组的解法；3.一元一次不等式与方程组的关系；1.掌握一元一次不等式组的定义；2.掌握一元一次不等式组的解法；3、掌握一元一次不等式组与方程组的关系；知识点01：一元一次不等式组1.一元一次不等式组：（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．2.一元一次不等式（组）的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：

（1）分析题意，找出不等关系；

（2）设未知数，列出不等式（组）；

（3）解不等式组；

（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；

（5）作答．【即学即练1】1．（2023春·浙江台州·七年级统考期末）一元一次不等式组的解集为（）A． B． C． D．无解【答案】C【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的规律：大小小大中间找确定不等【详解】式组的解集即可．解：解不等式，得，故一元一次不等式组的解集为．故选：C【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．【即学即练2】2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集可得答案．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组的解集为，，解得，故选：A．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．题型01一元一次不等式组的定义1．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列不等式组是一元一次不等式组的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．【详解】解：A．最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；B．有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；D．第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键，含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（

）①；②；③；④；⑤A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据一元一次不等式组的概念，对5个式子逐一判断即可．【详解】解：①是一元一次不等式组；②是一元一次不等式组；③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，答案：B．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的概念是解决本题的关键.3．（2023春·七年级单元测试）一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个．一元一次不等式组中各个不等式的解集的，叫做这个一元一次不等式组的．【答案】一元一次不等式组公共部分解集【分析】根据一元一次不等式组的定义，及一元一次不等式组解集的定义，进行填空即可．【详解】一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.故答案为一元一次不等式组；公共部分；解集.【点睛】考查一元一次不等式组的相关概念，比较基础，难度不大.4．（2023春·全国·七年级专题练习）若mx－8≤4－2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是．【答案】m≠－2【分析】先把不等式变形为（m＋2）x≤12，根据不等式的定义即可求出m的求值．【详解】mx－8≤4－2x，mx＋2x≤4＋8，(m＋2)x≤12，∴m＋2≠0，解得m≠－2，故答案为m≠－2．【点睛】此题主要考查不等式的定义．5．（2022秋·全国·八年级专题练习）判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【答案】见解析【分析】（1）中含有等号，是方程不是不等式；（2）x2的次数是二次，故不是一元一次不等式组；（3）符合一元一次不等式组的定义；（4）含有两个未知数，故不是一元一次不等式组；（5）符合一元一次不等式组的定义.【详解】解：(1)中x＝42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组；(2)中x2＜81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组；(3)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组；(4)含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组；(5)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组．综上，可知(3)(5)是一元一次不等式组．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.题型02求不等式组的解集1．（2023年西藏自治区中考数学真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可作答．【详解】，解不等式，得：；解不等式，得：；即不等式组的解集为：，在数轴上表示为：故选：C．【点睛】本题主要考查了求解不等式组的解集并在数轴上表示解集的知识，注意，含端点时用实心点，不含端点时，用空心点．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）关于x的一元一次不等式只有两个正整数解，则a的值可能是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】求出不等式的解集，根据已知得出，求出a的范围即可．【详解】解：，解得：，∵关于x的一元一次不等式只有两个正整数解，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解和求一元一次不等式组的解集，关键是能根据不等式的解集和已知得出关于a的不等式组．3．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）不等式组的解集为；【答案】【分析】分别求解组中两个不等式，得，按“同小取较小”规则得不等式组的解集为．【详解】解：原不等式组变形，得∴故答案为：【点睛】本题考查不等式组的求解；掌握不等式组解集的确定规则是解题的关键．4．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数m的取值范围是.【答案】【分析】根据是不等式的解，且不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．【详解】解：是不等式的解，，解得：，不是这个不等式的解，，解得：，，故答案为：．【点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是根据是不等式的解，且不是这个不等式的解，列出不等式，从而求出的取值范围．5．（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴表示见解析．【分析】分别解两个不等式，求出解集公共部分即可．【详解】解：由①得：，由②得：，不等式组的解集在数轴上表示如图：所以，不等式组的解集是【点睛】此题考查解不等式组，不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．题型03解特殊不等式组1．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（

）A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数【答案】C【分析】根据绝对值的定义先求出的取值范围，再根据始终成立，求出的取值范围．【详解】解：∵，∴，∵始终成立，∴的取值范围是小于或等于的有理数．故选：．【点睛】本题结合绝对值考查了解不等式，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键．2．（2023春·四川绵阳·七年级校联考阶段练习）下列说法中，①若m＞n，则ma2＞na2；②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集；③不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；④是方程x﹣2y＝3的唯一解；⑤不等式组无解．正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】利用不等式的基本性质，解集与解的定义判断即可．【详解】解：①若m＞n且a≠0，则ma2＞na2，不正确，不符合题意；②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集，符合题意；③不等式两边乘（或除以）同一个数（不为0），不等号的方向不变，故不符合题意；④是方程x﹣2y＝3的一组解，不是唯一解，故不符合题意；⑤不等式组的解集为x＝1，故不符合题意．所以正确的个数是：1个故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式组．熟悉二元一次方程的解，以及一元一次不等式组的解集是解题的关键．3．（2022秋·八年级课时练习）若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是．【答案】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再由不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组，解之即可．【详解】解：解不等式2x+1＜3，得：x＜1，解不等式6（xm）≥3+4x，得：x≥，∵不等式组只有3个整数解，∴3＜≤2，解得，故答案为：．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．4．（2022春·河北石家庄·七年级校考阶段练习）对于正整数a、b、c、d，符号表示运算acbd，已知1<<3，则b+d=．【答案】3或3【分析】首先根据运算符号的定义以及b、d是整数求得b、d的值，然后代入求解即可．【详解】解：根据题意得：1＜4bd＜3，则3＜bd＜1，即1＜bd＜3，∵b、d是整数，∴bd是整数．∴bd=2，则或或或，则b+d=3或3．故答案是：3或3．【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，正确求得b、d的值是关键．5．（2023春·四川遂宁·七年级射洪中学校考期中）阅读下列材料：解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法：解：∵，又∵，∴，

又，∴．…①同理得：．…②由①+②得，∴的取值范围是．请按照上述方法，完成下列问题：已知关于x、y的方程组的解都为正数．(1)求a的取值范围；(2)已知，且求的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）先求解关于x、y的二元一次方程组，根据解的情况建立关于参数的不等式组，即可求解；（2）由，，可得的取值范围，同理可得的取值范围，故可求的取值范围．【详解】（1）解：由得：解得：将代入得：∴方程组的解为：∵方程组的解都为正数∴解得：（2）解：∵，且∴，∵∴∵，且∴，∵∴【点睛】本题考查了已知二元一次方程组解的情况求参数取值范围、解特殊不等式等．正确理解题意是解题关键．题型04求一元一次不等式组的整数解1．（2022春·河北邯郸·七年级统考期末）不等式组有个整数解，则的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式组的解集得出，即可求解．【详解】解：∵不等式组有个整数解，∴的整数解为∴∴的取值可能是，故选：B．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．2．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】表示出不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，确定出a的范围即可．【详解】解：解不等式得，；解不等式得，；原不等式组有4个整数解，，解得，故选：【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．3．（2022·湖南株洲·株洲二中校考二模）不等式组的整数解为．【答案】【分析】先求出不等式组的解集，然后问题可求解．【详解】解：由①可得：，由②可得：，∴原不等式组的解集为，∴该不等式组的整数解为；故答案为．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．4．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围是_________．【答案】【分析】先求出的不等式组的解集，然后根据的不等式组只有3个整数解进行列不等式作答即可．【详解】解：，①：，，解得；②：解得；所以的不等式组的解集为，因为的不等式组只有3个整数解，即，4，5，那么，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解，正确掌握解一元一次不等式组是解题的关键．5．（2023秋·山东滨州·八年级校考开学考试）求不等式组的整数解【答案】不等式组的解集是，不等式组的整数解是，【分析】先求出每个不等式的解集，写出不等式组的解集，即可得到整数解．【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，∴原不等式组的解集是，∴不等式组的整数解是，．【点睛】此题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．题型05由一元一次不等式组的解集求参数1．（2023春·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）若不等式组无解，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式无解和确定不等式组解集的口诀：大大小小找不到，即可求解．【详解】解：∵不等式组无解，∴，故选：D．【点睛】本题考查确定不等式组的解集，熟记口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．2．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集可得m的范围．【详解】解：解不等式，得，解不等式，得，∵不等式组的解集为，∴，故选：C．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．3．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为．【答案】【分析】可先用m表示出不等式组的解集，再根据有四个整数解可得到关于m的不等组，可求得m的取值范围．【详解】解：在中，解不等式①可得，解不等式②可得，由题意可知原不等式组有解，∴原不等式组的解集为，∵该不等式组恰好有四个整数解，∴整数解为0，1，2，3，故答案为：．【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键确定不等式的解集，注意表示解集的不等式是否含等号．4．（2023秋·湖南长沙·八年级统考开学考试）若整数a使关于x的方程的解为负数，且使关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是．【答案】10【分析】根据的解为负数得到，解得：，解出两个不等式，根据不等式组无解直接求解即可得到答案；【详解】解：∵整数a使关于x的方程的解为负数，∴，解得：且取整数，解不等式①得，，解不等式②得，，∵不等式组无解，∴，∴a可取：1，2，3，4，故答案为：10；【点睛】本题考查根据不等式组解情况求参数，解题的关键是正确解出不等式根据解情况得到新的不等式．5．（2023春·河北邢台·七年级校联考阶段练习）嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚．(1)他把“□”猜成，请你解不等式组；(2)王老师说：不等式组的解集是，请求常数“□”的取值范围．【答案】(1)(2)“□”的取值范围为大于等于【分析】（1）根据题意求不等式的解集即可；（2）先求出各个不等式的解集，然后由不等式组的解集求解即可．【详解】（1）解：解不等式，得解不等式，得所以不等式组的解集是（2）设常数“□”为a，解不等式，得又因为不等式的解集为，不等式组的解集为，所以，解得，．∴“□”的取值范围为大于等于．【点睛】题目主要考查求不等式组的解集及其相关参数，熟练掌握求不等式组解集的方法是解题关键．题型06由不等式组解集的情况求参数1．（2022春·陕西汉中·七年级统考期末）已知关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出原不等式组的解集，再由不等式组有且只有3个整数解，可得，即可求解．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式组的解集为，∵不等式组有且只有3个整数解，∴，∴．故选：A【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解“不等式组有且只有3个整数解”．2．（2023·福建漳州·统考一模）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定b的值．【详解】解：∵，，∵不等式恰有两个负整数解，．故选：B．【点睛】本题考查不等式的整数解问题，解题的关键是利用数轴分析，其次解题时必须理解题意，属于基础题，中考常考题型．3．（2023秋·浙江绍兴·八年级校考阶段练习）若不等式组无解，则m的取值范围为．【答案】【分析】根据不等式组无解得到，即可得到答案．【详解】解：∵不等式组无解，∴∴故答案为．【点睛】此题考查了利用不等式组解的情况求参数，正确掌握不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，解题的关键．4．（2023春·辽宁抚顺·七年级统考期末）若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式组的解集，即可求得答案．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，根据题意得，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．5．（2023秋·安徽·八年级校联考开学考试）已知关于，的一元二次方程组其中为非正数，为负数．(1)求的取值范围；(2)化简：；(3)若不等式的解集为，求的整数值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求解二元一次方程组，再根据“为非正数，为负数”即可求解；（2）由（1）中的结论结合绝对值的化简规则即可求解；（3）整理不等式，根据“解集为”即可求解．【详解】（1）解：①+②，得，即，把代入②，得．因为为非正数，为负数，所以解得．（2）解：∵，∴，∴．（3）解：整理不等式，得．∵不等式的解集为，所以，即，∴的取值范围是．∵为整数，∴．【点睛】本题考查了根据二元一次方程组解的情况确定参数、根据不等式解集的情况确定参数、化简绝对值等．掌握相关结论是解题关键．题型07不等式组和方程组结合的问题1．（2023春·安徽六安·七年级校考期中）已知方程组中的x，y满足，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接用方程组中的减去得到，再结合，得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案．【详解】解：得，∵方程组的中x，y满足，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了方程组和不等式结合的问题，正确利用方程组得到是解题的关键．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】将2个方程相加得出，根据不等式的解集的情况，得出，进而即可求解．【详解】解：由得：∴，∵，∴解得：，故选：C．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出的表达式是解答此题的关键．3．（2023春·七年级课前预习）已知方程组的解x、y都是负数，则a的取值范围是．【答案】【分析】将不等式组中的x，y用含有a的式子表示出来，根据题意解得的x、y都是负数，可知，解出参数即可．【详解】解：解方程组得；∵方程组的解x、y都是负数，即，∴，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程的解法和求一元一次不等式组的解集，解题的关键是根据运算可将x、y化为关于a的式子，然后计算出a的取值．4．（2023春·四川德阳·七年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）已知中的x，y满足，k的取值范围是．【答案】【分析】方程组两方程相减表示出，代入不等式计算即可求出k的范围．【详解】解：，①②得：，代入不等式得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握其解法是解本题的关键．5．（2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）若关于，的二元一次方程的解满足，求的取值范围．【答案】【分析】①+②得，，进而可得，根据已知条件，列出不等式，解不等式，即可求解．【详解】解：，①+②得，，∴，∵，∴，解得：．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，求一次不等式的解集，得出是解题的关键．题型08列一元一次不等式组1．（2023秋·江苏南通·八年级校考开学考试）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解．【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为，这箱苹果共个，每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题关键．2．（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）某市月日的气温是，用不等式表示该市月日的气温的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意列出不等式组解答即可．【详解】解：因为，．根据题意可得：．故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．3．（2022春·七年级单元测试）的倍与的和大于，且的倍是非负数，列不等式组为．【答案】【分析】根据题意可得不等式，，再联立两个不等式即可．【详解】解：根据题意，可得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题关键是理解题意，抓住题目中的关键词语．4．（2022春·山西吕梁·七年级统考期末）如图，某长方体形状的容器长，宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用（单位：）表示新注入水的体积，则的取值范围是．【答案】【分析】直接利用长方体的体积公式得出答案．【详解】解：∵某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，∴长方体容器的体积为：5×3×8＝120（立方厘米），∵容器内原有水的高度为2cm，∴容器内原有水的体积为：5×3×2＝30（立方厘米），∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了不等式组的应用，正确求出立体图形的体积是解题关键．5（2023春·河南南阳·七年级统考期末）阅读下面材料后，解答问题分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：（a）若，，则，若，，则；（b）若，，则：若，，则．请解答下列问题：(1)①若则或___________；②若则___________或___________；(2)根据上述规律，求不等式的解集．【答案】(1)①，②，(2)或【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；（2）根据题目中给出的信息，列出关于x的不等式组，然后解不等式组即可得出答案．【详解】（1）解：①若，则或；②若，则或；故答案为：①；②；．（2）解：，∴①或②，解不等式组①得：；解不等式组②得：，∴不等式的解集是或．【点睛】本题主要考查了解不等式组的应用，解题的关键是理解题意，当时，或；当时，或．题型09一元一次不等式组应用1．（2023春·福建泉州·七年级福建省泉州市培元中学校考期中）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“小于25元”，乙说：“至少22元”，丙说：“大于20元”，小明说：“你们三个人都说对了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据甲、乙、丙三人都说对了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：依题意得：，∴．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．2．（2023春·河北保定·八年级校考期中）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人能分到笔记本但数量不足3本，则共有学生（

）A．4人 B．5人 C．6人 D．7人【答案】B【分析】设学生人数为人，根据笔记本的数量是一定的，以及每个学生分5本，那么最后一人能分到笔记本但数量不足3本，列出不等式组进行求解即可．【详解】解：设学生人数为人，由题意，得：，解得：，∵为整数，∴；故选B．【点睛】本题考查一元一次不等式组的实际应用，找准等量关系，正确的列出不等式组，是解题的关键．3．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）点是数轴上表示的点，一动点从点出发，沿数轴正方向运动了a单位到达B点，且运动中恰好经过了个整数点(不包括、两点)，则的取值范围为．【答案】/【分析】根据题意可知动点经过了整数点、、、，据此可知的取值范围．【详解】解：动点从点出发，沿数轴正方向运动了单位到达点，且运动中恰好经过了个整数点，动点经过了整数点、、、，点表示的数为．．故答案为：．【点睛】本题考查的是数轴上两点距离，不等式的应用，理解题意是解答此题的关键．4．（2023春·浙江台州·七年级统考期末）某中学需购买不同类型的垃圾桶共20个，已知可回收垃圾桶每个100元，易腐垃圾桶每个200元，若购买垃圾桶总费用不超过3100元，不低于2920元，则购买垃圾桶的总费用至少需要元．【答案】3000【分析】根据题意，设购买可回收垃圾桶x套，则易腐垃圾桶套，然后列出不等式组，解不等式组求出x的值，然后求出费用即可．【详解】解：根据题意，设购买可回收垃圾桶x套，则易腐垃圾桶套，∴，解得，∵x为正整数，∴x可取9或10，∴购买可回收垃圾桶9个，易腐垃圾桶11个或购买可回收垃圾桶、易腐垃圾桶各10个，当时，费用为：；当时，费用为：；∵，∴购买可回收垃圾10个，易腐垃圾桶10个总费用低，购买垃圾桶的总费用至少需要3000元，故答案为：3000．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出不等式组．5．（2023春·四川达州·八年级校考期末）二月樱花开，四月樱桃红，随着樱桃成熟上市，某水果店花费6000元黄蜜樱桃，另花费1000元购进红灯樱桃，黄蜜樱桃的进价是红灯樱桃的进价的2倍，黄蜜樱桃的数量比红灯樱桃的数量多100千克．(1)求红灯樱桃每千克的进价；(2)该水果店第一周以40元/千克的价格售出红灯樱桃3m千克，第二周每千克售价降低了元，售出20千克，购进的红灯樱桃剩余部分全部售罄、若购进的红灯樱桃总利润不低于770元，求m的最小值．【答案】(1)20元(2)5【分析】（1）设红灯樱桃每千克的进价为x元，根据黄蜜樱桃的数量比红灯樱桃的数量多100千克，列分式方程，求解即可；（2）根据购进的红灯樱桃总利润不低于770元，列一元一次不等式，求解即可．【详解】（1）设红灯樱桃每千克的进价为x元，根据题意，得，解得，经检验，是原分式方程的根，答：红灯樱桃每千克的进价为20元；（2）（千克），根据题意，得，解得答：m的最小值为5．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．A夯实基础1．（2023春·云南昆明·七年级校考阶段练习）若不等式组的解是，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据不等式组的取值方法“同大取大”，即可求解．【详解】解：不等式组的解是，∴，故选：．【点睛】本题主要考查不等式组的取值方法，掌握“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的取值方法是解题的关键．2．（2023春·福建厦门·七年级校考阶段练习）若不等式组无解，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式的解集大于大的，不等式的解集小于小的，不等组无解，可得答案．【详解】解：解不等式①得：，∵不等式组无解，∴．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．3．（2023秋·河南商丘·八年级校考阶段练习）等腰三角形的周长为10，腰长为x，求x的取值范围【答案】【分析】由等腰三角形的周长是10，腰长为x，可得底边长为：，然后由三角形三边关系可得，由底边大于0可得，继而求得答案．【详解】解：等腰三角形的周长是10，腰长为x，底边长为：，，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形的三边关系得到关于x的不等式组是解题的关键．4．（2023春·河南商丘·九年级校考阶段练习）满足不等式组的最大整数解是．【答案】【分析】先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出最大整数解．【详解】解不等式，得；解不等式，得．∴不等式组的解集为．∴最大整数解为．故答案为：．【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．5．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考开学考试）解不等式组．【答案】【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：，由不等式①得：，由不等式②得：，不等式的解集为：．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（2023春·云南玉溪·七年级统考期末）解不等式组清按下列步骤完成解答．(1)解不等式①，得：____________；(2)解不等式②，得：____________．(3)在直线上建立数轴，并将不等式①和②的解集表示在数轴上：____________(4)利用数轴，可以直观看出两个不等式解集的公共部分，从而得到原不等式组的解集为：____________．【答案】(1)(2)(3)见解析(4)【分析】分别解这两个不等式，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，找到解集的公共部分即可得到原不等式组的解集．【详解】（1）解：，移项，得：，合并同类型，得：，系数化为1，得：，解不等式①，得：，故答案为：；（2）解：，去分母，得：，去括号，得：，移项，合并同类项，得：，系数化为1，得：，解不等式②，得：，故答案为：；（3）解：将不等式①和②的解集表示在数轴上：（4）直观看出两个不等式解集的公共部分，从而得到原不等式组的解集为：，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，体现了数形结合的思想，在数轴上找到解集的公共部分是解题的关键．B能力提升1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式．【详解】解：设有x人，则苹果有个，由题意得：．故选：C．【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．2．（2023春·西藏那曲·七年级统考期末）若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有解得出关于k的不等式，进而求解.【详解】解：解不等式可得，解不等式可得，因为不等式组有解，∴，解得：；故选：B.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，正确理解题意、熟知不等式组的解法是关键.3．（2023秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）不等式组的解集是．【答案】/【分析】分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．【详解】解：解不等式得：，∴不等式组的解集为．故答案为：．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．4．（2023春·辽宁盘锦·七年级校考期中）如果不等式组有解，则a的取值范围是．【答案】【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组有解进行求解即可．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式组有解，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．5．（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）解不等式（组）．(1)；(2)解不等式组：，并将解集在数轴上表示来．【答案】(1)；(2)，数轴见解析．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】（1）解：，，，，，则；（2）由得：，由得：，则不等式组的解集为，将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（2023春·云南大理·七年级统考期末）某汽车专卖店销售甲，乙两种型号的新能源汽车．第一周售出甲型汽车和乙型汽车各2辆，销售额为88万元：第二周售出3辆甲型汽车和1辆乙型汽车，销售额为96万元．(1)求每辆甲型汽车和乙型汽车的售价；(2)某公司向该店购买甲，乙两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元，则有哪几种购车方案？【答案】(1)每辆甲型汽车的售价为26元，每辆乙型汽车的售价为18元(2)购买甲型汽车3辆，购买甲型汽车3辆；或购买甲型汽车4辆，购买甲型汽车2辆【分析】（1）设每辆甲型汽车的售价为a元，每辆乙型汽车的售价为b元，根据“第一周售出甲型汽车和乙型汽车各2辆，销售额为88万元：第二周售出3辆甲型汽车和1辆乙型汽车，销售额为96万元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲型汽车x辆，则购买甲型汽车辆，根据总价等于单价乘数量结合购车费不少于130万元且不超过140万元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购车方案．【详解】（1）解：设每辆甲型汽车的售价为a元，每辆乙型汽车的售价为b元，根据题意得：，解得：，答：每辆甲型汽车的售价为26元，每辆乙型汽车的售价为18元；（2）解：设购买甲型汽车x辆，则购买甲型汽车辆，根据题意得：，解得：，∵x为正整数，∴x取3，4，∴购买甲型汽车3辆，购买乙型汽车3辆；或购买甲型汽车4辆，购买乙型汽车2辆．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．C综合素养1．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于210？”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，则x的值可能是(

)A．64 B．71 C．82 D．128【答案】A【分析】根据题意，可得，解不等式组，即可求解．【详解】依题意，得，解得．故选：A．【点睛】本题考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．2．（2023春·江苏·七年级校考阶段练习）若不等式组的解集