高三数学一轮复习专讲专练28对数与对数函数

[知识能否忆起]1．对数1．对数的定义：如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作

，其中

叫作对数的底数，

叫作真数．aNb＝logaN

2．几种常见对数：10e如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝

；(3)logaMn＝

(n∈R)；logaM－logaN

nlogaMlogaM＋logaN二、对数的性质与运算法则1．对数的运算法则：2．对数的性质：N

N

3．对数的重要公式：三、对数函数的定义、图像与性质[动漫演示更形象，见配套课件](0，＋∞)(1,0)(－∞，0)(0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0)增函数减函数

四、指数函数与对数函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为

，它们的图像关于直线

对称．y＝x反函数[小题能否全取]答案：C1．(教材习题改编)2log510＋log50.25＝(

)A．0

B．1C．2 D．4

解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝

log525＝2.2．(2012·白鹭洲模拟)若函数f(x)＝loga(x－1)(a>0，

a≠1)的图像恒过定点，则定点的坐标为(

)A．(1,0) B．(2,0)C．(1,1) D．(2,1)

解析：由于loga1＝0，∴x＝2时f(2)＝loga1＝0，

∴图像过点(2,0)．答案：B3．函数y＝lg|x| (

)A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．答案：B5．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝2(lga＋lgb)＝2lg(ab)＝2lg10＝2.答案：21.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．2．对数值取正、负值的规律：当a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1时，logab>0；当a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1时，logab<0.3．对数函数的定义域及单调性：在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．[例1]

求解下列各题．对数式的化简与求值对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．1．化简：

[例2]

(1)(2013·烟台调研)函数y＝ln(1－x)的图象大致为 (

)对数函数的图象及应用[自主解答]

(1)由1－x>0，知x<1，排除选项A、B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝lnt为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.[答案]

(1)C

(2)B1．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．2．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．答案：B[例3]

已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围；(2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．对数函数的性质及应用(2)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3.则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．

研究复合函数y＝logaf(x)的单调性(最值)时，应先研究其定义域，分析复合的特点，结合函数u＝f(x)及y＝logau的单调性(最值)情况确定函数y＝logaf(x)的单调性(最值)(其中a>0，且a≠1)．3．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性．解：(1)由ax－1>0得ax>1，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，故0<ax1－1<ax2－1，∴loga(ax1－1)<loga(ax2－1)．∴f(x1)<f(x2)．故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．A．x＜y＜z

B．z＜x＜yC．z＜y＜x D．y＜z＜x

本题在比较三个数的大小时利用中间值，进行第一次比较时，中间值常选用的有0,1，由指数、对数式可知x>1,0<y<1，0<z<1，再进一步比较y、z的大小，其中对数logaN的符号判定可简记为“同正异负”，即a与N同时大于1或同时大于0小于1，则logaN>0；反之，logaN<0.A．a<b<c

B．a<c<bC．c<a<b D．b<a<c教师备选题（给有能力的学生加餐）A．－4 B．4C．－6 D．6答案：A解题训练要高效见“课时跟踪检测（十一）”2．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是(

)

答案：D

3．已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则2a＋b

的取值范围是(

)答案：B

答案：C

6．(2012·上海徐汇二模)已知函数f(x