2023新教材高中数学综合测评新人教A版必修第一册

学期综合测评

时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1.已知全集—{0,1,2,3,4},集合/={1,2,3},8={2,4},则一M18为()

A.{1,2,4}B.{2,3,4)

C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}

答案C

解析•.•全集/{0,1,2,3,4},集合/={1,2,3},.•.[〃={0,4},又4{2,4},.'(『「)

U6={0,2,4}.故选C.

2.已知条件夕：|才一1|<2,条件(7：/—5jr—6<0,则夕是1的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析命题。—l<^r<3,记4={x|—1VxV3},命题q：—l<^r<6,记8={x]-1

VxV6},,・38,・是。的充分不必要条件.

3.幕函数y=f(x)的图象经过点(一2,—3,则满足/>5)=27的x的值是()

11

A.-B.——C.3D.—3

答案A

解析设塞函数为Ax)=/,因为图象过点(一2,一3,所以有一1=(—2)、解得a

=一3,所以幕函数的解析式为广(x)=尸，由_f(x)=27,得尸=27,所以x=1.

4.函数f(x)=2x—l+log2X的零点所在的区间是()

1fC.1,1

B.

A.于4?2D.(1,2)

答案C

解析函数广(x)=2x—l+log2X,1,F⑴=1,・・・故连续函数

2r(D<o,

f(x)的零点所在的区间是&，1),故选C.

1。m。2tanl3°1—cos50°

5.设a=]cos6-sin6,仁一tan^。，°=,则有()

22

A.a>b>cB.C.a〈c〈bD.Z?<c<ia

答案c

•（1r»o•r»o•o/Aor*o•rto•c/。

解析・5―-coso—^-smo—sm30coso—cos30sino—sin24,b—

2tanl3°小八。1—cos50°.,

'210°~~=tan26，---------------=sin25o,a<.c<b.

1—tan13

6.函数f(x)=cos(ox+0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(）

A.（左兀一（，4兀+J,kRZ

B.\2k^—I，2A兀+"!）,keZ

<1

cA--A+力，kGZ

<4

D.(24一；,2A+§,AeZ

答案D

G)J[5G3兀

解析由图象可知/+0=万+2〃兀，-j—+0=飞一+2/兀，庐2,所以G=3T,0=

亍+2/兀，勿WZ,所以函数F(x)=cos(兀x+j~+2%JT)=COS(兀x+高的单调递减区间为

JT13

2女兀〈兀X十1〈24兀+兀，kez,BP2k~^<x<2k+-fkRZ,故选D.

7.当x>0时，若不等式磔+9〉0恒成立，则实数〃的取值范围是()

A.(―0°,6)B.(―°°,6]

C.[6,+8)D.(6,+8)

答案A

,Q9

解析由题意，得当x>0时，mx<x+9,即水x+一恒成立.设函数f(x)=才+-(王>0),

xx

9/Q9

则有x+-22\/x--=6,当且仅当即x=3时，等号成立.故实数1的取值范围是

X\1XX

力<6.

8.锐角三角形的内角46满足tan-4rtan6,则有()

A.sin2/—cos6=0B.sin24+cos6=0

C.sin20—sin8=0D.sin24+sin8=0

答案A

sin4+cos2tan4+1tanA~1

解析由已知tanA,、二-----=tan^,tanA--z---------tan8

2sin/cosZ2tanZ2tan/

2tanJ

tan笈tanB,1,tan6tan24=—1.sin咫in2/=—cos反os24

1—tanA

JI

・・・cos(22—而=0.・.,4夕为锐角,/.2A~B=­f

，sin20=sin[5+^)=cos6,BPsin24——cos8=0.

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9.下列四个命题，其中是真命题的是()

A.若x>l,则0.3、>0.3

B.若x=log23,则七

C.若sinx>-^-,贝！Jcos2x(：

,,JI

D.右f(x)=tan—则f(x)=_f(x+3)

o

答案BCD

解析对于A,由y=0.3〃在R上单调递减，且x>l,可得0.3Y0.3,故A是假命题；对

于B,若x=log23,可得2"=3,住上H=1|x]=',故B是真命题；对于C,若$111王〉乎，可

]]兀，

得cos2x=l—2sin2x〈l—2Xg=『故C是真命题；对于D,若F(x)=taiT]x,可得/'(x)的

最小正周期为3,即有广(x+3)=f(x),故D是真命题.

10.如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注

满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度力和时间力之间的关系，其中正确的是

()

BCD

答案BCD

解析对于A,水面的高度人随时间力的增大匀速增大，A错误；对于B,水面的高度力

随时间力的增大而增大，其增大速度越来越慢，B正确；对于C,水面的高度人随时间方的增

大而增大，其增大速度先是越来越慢，后是越来越快，C正确；对于D,水面的高度人随时间

右的增大而增大，其增大速度先是越来越快，后是越来越慢，D正确.故选BCD.

JI

11.已知函数Ax)=2sin(2x+°)(。〈°〈”)，若将函数f(x)的图象向右平移至个单位

长度后,所得图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是()

5兀

A.

B.管，0)是f(x)图象的一个对称中心

C.f(0)=—2

JI

D.是/'(x)图象的一条对称轴

答案AD

解析由题意得，平移后的函数g(x)={x—S)=2sin(2x一事+0)的图象关于y轴对

JIJI5n

称，则一丁+0=7r+A兀，kRZ,因为0〈0〈兀，所以故A正确；因为广(x)=

326

(5兀、5兀5兀左兀(\

2sin2x+—\,由2x+-^-=4n,MZ,得对称中心的横坐标为一不7+丁,MZ,故0

\O70Izz\O)

./5兀5兀、5兀

不是广(x)图象的一个对称中心，故B不正确；因为f(O)=2sin］—“+Tj=2sirr/-=2,

,,5兀兀.nk八n

故C不正确；由2入+-^-=丁+4兀，kRZ,得XFkRZ,所以万=-7■是_f(x)

6262=—7~+6-,

图象的一条对称轴，故D正确.故选AD.

12.已知函数尸f(x)是R上的偶函数，对于任意x£R,都有f(x+6)=f(x)+F(3)成

立，当XI,也e［o,3］,且不力刘时，都有/X'—‘〉0,下列命题正确的是()

不一至

A.F(x)的周期为6

B.直线x=-6是函数尸f(x)的图象的一条对称轴

C.函数尸Hx)在［―9,—6］上单调递增

D.函数尸F(x)在［—9,9］上有四个零点

答案ABD

解析对于任意x£R,都有F(x+6)=f(x)+f(3)成立，令牙=-3,则f(—3+6)=f(~

3)+/(3),又因为F(x)是R上的偶函数，所以F(3)=0,所以_f(x+6)=f(£),所以_f(x)的

周期为6,A正确；因为F(x)是R上的偶函数，所以F(x+6)=f(—x),而广(x)的周期为6,

所以_f(x+6)=F(—6+x),f{—x)=f(—x—6),所以_f(—6—入)=F(—6+x),所以直线x

=一6是函数尸_f(x)的图象的一条对称轴，B正确；当矛1,x2^［0,3］,且矛iW*2时，都有

/E>0,所以函数尸/<x)在［0,3］上单调递增，因为/<x)是R上的偶函数，所

Xi一也

以函数y=/(x)在［―3,0］上单调递减，而/1(x)的周期为6,所以函数尸/1(x)在［—9,—6］

上单调递减，C错误；『(3)=0,f(x)的周期为6,所以/"(—9)=F(—3)=F(3)=f(9)=0,

所以函数了=1'(入)在［—9,9］上有四个零点，D正确.故选ABD.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13.已知命题0：VxWR,/—\+^>0,则rp为.

答案3xdR,/—A+^^0

解析全称量词命题的否定是存在量词命题，注意：一是要改变相应的量词；二是要否

定结论.

14.定义在R上的偶函数f(x)在［0,+8)上单调递减，且O=o,则f(log(x)〈0的

解集为.

答案(0,1ju(2,+8)

解析因为定义在R上的偶函数f(x)在［0,+8)上单调递减，所以在(—8,0］上单调

递增.又右)=0,所以(V。，由Alog^x)<0可得log|x<—；或logjx〉］,解得

U(2,+8).

15.函数广(x)=sin(x+2。)—2sin6cos(x+@)的最大值为.

答案1

解析函数f{x)=sin(x+2。)-2sin0cos(x+。)=sin［(T+0)+0］—

2sin0cos(x+O)=sin(x+0)cos6+cos(x+0)sin0-2sin0cos(x+0)=sin(x+

0)cos0—cos(x+sin0=sin(x+@—6)=sinx,故函数f(x)的最大值为1.

.4

1+一x24,

16.已知函数f(x)=jx则f(广(少)=,若关于x的方

、log2X0<xV4,

程f(x)=A有两个不同的实根，则实数A的取值范围是.

答案1(1,2)

解析/(A4))=《l+；)=_f(2)=log22=l.关于x的方程f{x)=A有两个不同的实根，

等价于函数f(x)与函数尸"的图象有两个不同的交点，作出函数的图象如图，由图可知实

数A的取值范围是(1,2).

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤)

17.(本小题满分10分)计算下列各式的值：

1

2-

og

(2)(log33

1

2

)2+log0.257+91og5^/5—log^/31=[1f+1+9x1—0=^+1+1=^.

(2)(log33

18.(本小题满分12分)已知tan^—+

(1)求tana的值；

sin24+2兀—sin15一0)

(2)求1--------丁〃’的值.

1—cos兀-—F2a+Jsi・na

ji

/、tan—+tana

e/、fH)41+tana11

解(1)・.・tan彳+a=------------~~；~~=^斛得tan。=一金.

\4)TI1—tana23

1—tan-tanQ

4

,、百叶sinZa—cos2。2sinacosa—cos2。2tana—l15

2八工l+cos2a+sin2a2cos2a+sin2a2+tan2a19,

19.(本小题满分12分)已知函数F(x)=loga(2x+l),g(x)=loga(l—2x)(w>0,且

aWl).

(1)求函数F{x)=f(x)—g(x)的定义域；

(2)判断/(x)=f(x)—g(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)确定x为何值时，有f(x)—g(x)>0.

2x+l>0,

解(1)要使函数有意义，则有L八八

[1一2x>0,

11

<<

X-2-X2-

(2)分(x)=f(x)—g{x)=loga(2x+l)—loga(l—2x),

F{-x)=f^~x)—g(-x)=loga(—2x+l)—loga(l+2^)=—F5.

・••尸(x)为奇函数.

(3)Vf{x)—g(x)>0,Jloga(2x+l)—loga(l—2x)>0,

即loga(2x+l)>loga(l—2x).

①当0<wVl时，0V2x+lVl—2x,・•・一；<xV0.

②当3>1时，2x+l>l—2x>0,：.0<x<^,

20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos^—|^j+2sin^-—

⑴求函数Ax)的单调递减区间；

⑵求函数Ax)的最大值并求f(x)取得最大值时的x的取值集合；

(3)若f(x)=|,求cos|2x-f的值.

解(1)f^x)=2cos^rcos—+2sirursin——2COSJT

2兀5兀,、

：.2kx+—^x^2kn+—(Aez),

2兀5兀

・,・函数广(x)的单调递减区间为24兀+—,2A兀+—

(届Z).

jin2n

(2)当广(x)取最大值2时，x———2kn+—(AeZ),贝!Jx=2Ar+F-(A£Z).

623

2兀

・・・Ax)的最大值是2,取得最大值时的或的取值集合是x牙=2«兀+飞-，kRZ

6，吟6

(3)f(x)=-,即2sinx-—\=-,

5k675

••・sinQ-£|=|.

••・cos,一£|=1—2sin(x—3=1—2xg)=(.

21.(本小题满分12分)某建筑工地要建造一批简易房，供群众临时居住，房形为长方体,

高2.5米，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都

用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：

彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，

每套房材料费控制在32000元以内.

(1)设房前面墙的长为x,两侧墙的长为y,一套简易房所用材料费为0,试用x,y表示

(2)一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度是多少？

解(1)依题意得前后两面墙的钢板费用均为450x,两侧墙的钢板费用均为200y,房顶

面积为xy,房顶材料费用为200盯，.•.一套简易房所用材料费为p=900x+400y+200x%

(2)S=xy,

：.p=900x+400y+200盯22^/900X4005+200S=200S+12QOy[s,

又PW32000,A200S+1200^5^32000,

化简，得S+64一160W0,解得一16WgwiO,

又5>0,...(KSWIOO,

900x=400p,

当且仅当

灯=100,

即万=彳，尸15时S取得最大值.

.••每套简易房面积S的最大值是100平方米，当