苏教版八年级数学上册《勾股定理》（基础+提高）巩固练习+知识讲解

勾股定理（基础）

【巩固练习】

一.选择题

1.（2016•荆门）如图,Z\ABC中，AB=AC,AD是NBAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的

长为（）

A.5B.6C.8D.10

2.若直角三角形的三边长分别为2,4,X,则x的值可能有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下

端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（）

A.12米B.10米C.8米D.6米

4.Rt^ABC中，斜边BC=2,则AB?+AC?+的值为（）

A.8B.4C.6D.无法计算

5.如图，^ABC中，AB=AC=10,BD是AC边上的高线，DC=2,则BD等于（）

6.（2015•深圳模拟）如图，在aABC中，AB=AC=5,P是BC边上除B、C点外的任意一点,

则代数式AP、PB・PC等于（）

A.25B.15C.20D.30

填空题

7.（2016•黔东南州一模）在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CDJLAB于

D,CD=.

8.如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”,

他们仅仅少走了米路，却踩伤了花草.

9.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm）,计算两

圆孔中心A和B的距离为mm.

10.如图，有两棵树，一棵高8m,另一棵高2加，两树相距8”，一只小鸟从一棵树的树

梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞m.

11.如图，直线/经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线/的距离分别是6、8,则正方

形的边长是.

12.（2015•延庆县一模）学习勾股定理相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题:

“已知直角三角形的两条边长分别为3,4,请你求出第三边."张华同学通过计算得到

第三边是5,你认为张华的答案是否正确：,你的理由

是.

三.解答题

13.如图四边形ABCD的周长为42,AB=AD=12,NA=60°,ND=150°,求BC的长.

14.已知在三角形ABC中，ZC=90",AD平分NBAC交BC于D,CD=3,BD=5,求AC的

长.

15.(2015春•滨州月考)如图所示的一块地,AD=9m,CD=12m,ZADC=90°,AB=39m,

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】C；

【解析】勾股定理.

2.【答案】B；

【解析】x可能是直角边，也可能是斜边.

3.【答案】A；

【解析】设旗杆的高度为x米，则(X+1)2=/+52,解得x=12米.

4.【答案】A；

(解析］AB2+AC2+BC2=28c2=8.

5.【答案】B；

【解析】AD=8,BD2=AB2-AD2=102-82=36,/.BD=6.

6.【答案】A.

【解析】解：过点A作AD1BC于D,

VAB=AC=5,ZADP=ZADB=90°,

；.BD=CD,根据勾股定理得：PA=PD2+AD2,AD2+BD2=AB2,

.*.AP2+PB«PC=AP2+(BD+PD)(CD-PD)=AP2+(BD+PD)(BD-PD)=AP2+BD2-PD=AP2-

PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25.

故选A.

二.填空题

12

7.【答案】—；

8.【答案】2；

【解析】走捷径是5米，少走了7—5=2米.

9.【答案】150；

【解析】VAC=150-60=90mm,BC=180-60-120mm,AB2=AC2+BC2=22500,所以

AB=150mm.

10.【答案】10；

【解析】；82+(8-2『=100,.•.飞行距离为10m.

11.【答案】10；

【解析】可证两个三角形全等，•••62+82=1()2,.•.正方形边长为10.

12.【答案】不正确；若4为直角边，第三边为5；若4为斜边，第三边为我.

【解析】解：张华的答案不正确，

理由为：若4为直角边，第三边为杼工05；

若4为斜边，第三边为_3上近.

三.解答题

13•【解析】

解：连接BD,因为AB=AD=12,ZA=60°

所以AABD是等边三角形，

又因为ND=150°,

所以ABCD是直角三角形，

于是BC+CD=42-12-12=18,

设BC=x,从而CD=18—x,

利用勾股定理列方程得(18-%)2+12?=/,

解得x=13,即BC的长为13.

14.【解析】

解：过D点作DEJ_AB于E,

：AD平分/BAC,ZC=90°,

，DE=CD=3,

易证4ACDgZXAED,

，AE=AC,

RtADBE中，：BD=5,DE=3,ABE=4

在Rt22iACB中，ZC=90°

设AE=AC=x,则AB=4+x

,:AB"=AC2+BC2

：.(4+x)2=JT2+82

解得x=6,；.AC=6.

解：解：连结AC,

AR

由勾股定理可知

AC=VCD2+AD2=V122+92=1:5,

又；AC2+BC2=152+362=392=AB2

・•.△ABC是直角三角形，

D=-1X15x36--x12x9=216(m)

故这块地的面积=$△ABC-SAAC

22

即这块地的面积是216平方米.

勾股定理（基础）

责编：杜少波

【学习目标】

1.掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；

2.能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；

3.通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题.

【要点梳理】

【高清课堂勾股定理知识要点】

要点一、勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别

为a,b.斜边长为c,那么。2+匕2=。2.

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长

可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的

目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

cr=c2-b2,b2=c2-a2,c2=(a+bf-2ab.

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图⑴中=(a+b?+4x—a6>所以

2

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中SE.d&E=c'=（6・a）'+4x」心,所以二2=42+6

2

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

(3)

Swa=空竽3=2弓必+#,所以r+从=」

要点三、勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.与勾股定理有关的面积计算；

4.勾股定理在实际生活中的应用.

【典型例题】

类型一、勾股定理的直接应用

C1、在aABC中，ZC=90°,NA、NB、NC的对边分别为a、b、c.

(1)若。=5,b=12,求c；

(2)若c=26,b=24,求。.

【思路点拨】利用勾股定理片+从=02来求未知边长.

【答案与解析】

解：(1)因为aABC中，NC=90°,a2+b2^c2,a=5,b=12,

所以c2=〃+〃=52+122=25+144=169.所以c=13.

(2)因为aABC中，ZC=90°,/+/=。2,c=26,b=24,

所以=。2—/=262—242=676—576=100.所以a=10.

【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是

斜边，再决定用勾股原式还是变式.

举一反三：

【变式】在AABC中，ZC=90°,/A、NB、/C的对边分别为a、b、c.

(1)已知人=6,c=10,求a；

(2)已知a:c=3:5,b=32,求a、c.

【答案】

解：(1)ZC=90°,b=6,c=10,

/.a2—c2—b~—IO2—62--64.

，a=8.

(2)设a=3A,c=5k,

•：ZC=90°,b-32,

a2+b2=c2.

BP(3Z:)2+322=(5Zr)2.

解得k=8.

a-3k-3x8=24,c=5k-5x8=40.

类型二、与勾股定理有关的证明

▼2、（2015•丰台区一模）阅读下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理

的方法.先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a,b,斜边为c,然后按

图1的方法将它们摆成正方形.

2=x2,

由图1可以得到（a+b）4-^ab+c

整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2.

所以a2+b2=c2.

如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理

的方法，完成下面的填空：

由图2可以得到,

整理，得，

所以.

图2

图1

【答案与解析】

证明：S大正方形=。2,S大正方形=4SA+S小正方形=4x_lab+（b-a）2,

2

c2=4xAab+(b-a)2,

2

整理，得

2ab+b2-2ab+a2=c2,

c2=a2+b2.

-22222222

故答案是：4X^ab+(ba)=c;2ab+b-2ab+a=c；a+b=c.

【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形

边长的关系进行组合图形.

举一反三：

【变式】如图，在aABC中，/C=90°,D为BC边的中点，DEJ_AB于E,则AE2-BE2

等于（）

A.AC2B.BD2C.BC2D.DE2

【答案】连接AD构造直角三角形，得

AEfJS?=ATP-DE2-BD2+DE2=Ab1-BLP=ATP-D<^=AC2,选A.

类型三、与勾股定理有关的线段长

【高清课堂勾股定理例3】

C3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B

落在点F处，折痕为AE,且EF=3,则AB的长为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D；

【解析】

解：设AB=x,则AF=x,

•/AABE折叠后的图形为aAFE,

・・・AABE^AAFE.BE=EF,

EC=BC-BE=8—3=5,

在RtZ\EFC中，

由勾股定理解得FC=4,

在Rt^ABC中,X2+82=（X+4）2,解得X=6.

【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解.

类型四、与勾股定理有关的面积计算

C4、如图，直线1上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面

积为（）

【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b是正方形，可求AABC

^△CDE.由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积.

【答案】D

【解析】

解：VZACB+ZECD=90°,ZDEC+ZECD=90°,

.,.ZACB=ZDEC,

在△ABC和4CDE中，

ZABC=ZCDE

■：\ZACB=NDEC

AC=CE

/.△ABC^ACDE

；.BC=DE

；AB2+BC2=AC2

：.AB2+DE2AC2

.•.b的面积为5+11=16,故选D.

【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理

解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键.

举一反三：

【变式】（2015•东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已

知SI=4,$2=9,S3=8,S4=10,贝！JS=（）

A.25

【答案】解：如图，由题意得：

AB2=SI+S2=13,

AC2=S3+S4=18,

BC2=AB2+ACMI,

S=BC2=31,

故选B.

类型五、利用勾股定理解决实际问题

▼5、（2016春•淄博期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把

竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.

【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和

高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高.

【答案与解析】

解：设门高为X尺，则竹竿长为（x+1）尺，

根据勾股定理可得：

X2+42=（X+1）2,即X2+16=X2+2X+1,

解得：x=7.5,

竹竿高=7.5+1=8.5（尺）

答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺.

【总结升华】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中

是解答本题的关键.

举一反三：

【变式】如图所示，一旗杆在离地面5加处断裂，旗杆顶部落在离底部12M处，则旗杆折

断前有多高？

【答案】

解：因为旗杆是垂直于地面的，所以/C=90°,BC=5/n,AC=12m,

...AB2=BC2+AC2=52+122=169.

AB=13(zn).

,BC+AB=5+13=18(加).

二旗杆折断前的高度为18加.

勾股定理（提高）

【巩固练习】

一.选择题

1.如图，AABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE_LAC.若DE=10,AE=16,则BE的长度

为（）

A.10B.11C.12D.13

2.（2016•漳州）如图,aABC中，AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点（不含端点B、C）.

若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

3.如图，长方形AOBC中，A0=8,BD=3,若将矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落在边0B

上E处，那么图中阴影部分的面积为（）

4.如图，已知△ABC中，ZABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线人，12,

4上，且4，4之间的距离为2，4，。之间的距离为3，则AC?的值是（）

5.在aABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则AABC的周长为（）

A.42B.32C.42或32D.37或33

6.（2015•烟台）如图，正方形ABCD的边长为2,其面积标记为Si,以CD为斜边作等腰

直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2,…按

照此规律继续下去，则S20I5的值为（)

c.成

二.填空题

7.若一个直角三角形的两边长分别为12和5,则此三角形的第三边的平方为.

8.将一根长为15cm的很细的木棒置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形杯中，木棒露

在杯子外面的部分长度x的范围是.

9.如图，在5x5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC,使点C在格点上，这样的点C

10.（2016•黄冈校级自助招生）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形

拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形较

短的直角边长为a,较长的直角边长为b,那么（a+b）2的值是.

11.已知长方形ABCD,AB=3c〃z,AD=4cm,过对角线BD的中点。做BD的垂直平分线EF,

分别交AD、BC于点E、F,则AE的长为.

12.（2015春•召陵区期中）如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,

NB=90。，那么四边形ABCD的面积是

D

13.(2015•青岛模拟)如图，ZMON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON±,

当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中

AB=2,BC=1,求运动过程中，点D到点O的最大距离.

14.现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图，请把它们分割后拼接成一个新的正

方形.要求：在左下图中用实线画出分割线，并在右下图的正方形网格图(图中每个

小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.

15.由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A城气象

局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°

方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域.

(1)A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？

(2)若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？

北

西；？4东

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】C

【解析】•.•BE_LAC,.♦.△AEB是直角三角形，为AB中点,DE=10,/.AB=20,VAE=16,

BE2=AB?-A£2=I",所以BE=12.

2.【答案】C

【解析】过点A作AE1BC,则由勾股定理得AE=3,点D是线段BC上的动点（不含端点B、

C）.所以3WAD<5,AD=3或4,共有3个符合条件的点.

3.【答案】A

【解析】由题意CD=DE=5,BE—4,设0E=x,AE=AC=x+4,所以8?+x?=（x+4p,

x=6,阴影部分面积为，X6X8+LX4X3=30.

22

4.【答案】A

【解析】如图，分别作CD，。交4于点E，作AF，4，则可证AAPB丝aBDC,则AF=3

=BD,BF=CD=2+3=5,；.DF=5+3=8=AE,在直角4AEC中，勾股定理得

AC2=82+22=68.

5.【答案】C

【解析】高在AABC内部，第三边长为14；高在AABC外部，第三边长为4,故选C.

6.【答案】C

【解析】解：根据题意：第一个正方形的边长为2；

第二个正方形的边长为：返X2；

2

第三个正方形的边长为：（返）2X2-

第n个正方形的边长是（牛）n-1X2-

所以S2015的值是0）2012,

2

故选C.

二.填空题

7.【答案】169或119；

【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边.

8.【答案】2cmWxW3cm；

【解析】由题意可知BC=5cm,AC=12cm,AB=13cm.当木棒垂直于底面时露在杯子外面的

部分长度最长为，15-AO15T2=3cm,当木棒与AB重合时露在杯子外面的部分长度最短为

15-AB=15-13=2cm.

B

9.【答案】8；

【解析】如图所示：有8个点满足要求.

c3

10.【答案】25；

【解析】根据题意，结合勾股定理a?+b2=13,四个三角形的面积=4X1ab=13-1,

2

2ab=12,联立解得：(a+b)2=13+12=25.

7

11.【答案】一cm；

8

【解析】连接BE,设AE=X，BE=DE=4—X,则3?+/=(4—％)一2,x=—7.

12.【答案】36.

【解析】解：TNABC=90°,AB=3,BC=4,

AC=VAB2+BC2=V32+42=5;

在AACD中，AC2+CD2=25+144=169=AD2,

△ACD是直角三角形，

S叫边般ABCD=1AB・BC+>1AC・CD

22

=_1X3X4+AX5X12

22

=36.

故答案是：36.

三.解答题

13.【解析】解：如图，取AB的中点E,连接OE、DE、OD,

VOD<OE+DE,

...当0、D、E三点共线时，点D到点0的距离最大，

此时,VAB=2,BC=1,

.*.OE=AE=1AB=I,

2

DE=VAD2+AE2=V12+12=^

15•【解析】

解：（1）过点A作ACLBM,垂足为C,

在Rt^ABC中，由题意可知NCBA=30°,

.\AC=-AB=-X240=120,

22

VAC=120<150,

AA城将受这次沙尘暴的影响.

（2）设点E,F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB的交点，连接AE,AF,

由题意得，CE2=AE2-AC2=1502-1202=8100,CE=90

AEF=2CE=2X90=180

1804-12=15（小时）

:.A城受沙尘暴影响的时间为15小时.

北

西RA东

勾股定理（提高）

责编：杜少波

【学习目标】

1.掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；

2.能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；

3.通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题.

【要点梳理】

【高清课堂勾股定理知识要点】

要点一、勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别

为a,b.斜边长为c,那么。2+匕2=。2.

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长

可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的

目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

cr=c2-b2,b2=c2-a2,c2=(a+bf-2ab.

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图⑴中=(a+b?+4x—a6>所以

2

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中SE.d&E=c'=（6・a）'+4x」心,所以二2=42+6

2

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

(3)

=亘弩^=2弓必+#,所以r+从一

要点三、勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.与勾股定理有关的面积计算；

4.勾股定理在实际生活中的应用.

【典型例题】

类型一、与勾股定理有关的证明

1＞在AABC中，AB=AC,D是BC延长线上的点，求证：AD1-AB2=BDDC

【答案与解析】

证明：作等腰三角形底边上的高AE

VAB=AC,AE1BC

；.BE=EC,ZAEB=ZAEC=90°

AD2-AB2=(4炉+DE?)-(+BE2)

=AE2+DE2-AE2-BE2

=DE?-BE?

=(DE+BE)(DE—BE)

=BD-CD

【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化,

若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题.

类型二、与勾股定理有关的线段长

^^2、如图，在等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,D为AC边上中点，过D点作DE

±DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长.

【答案与解析】

解：连接BD,

丁等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，

ABD1AC（三线合一），BD=CD=AD,NABD=45°,

.,.ZC=45°,

；./ABD=NC,

XVDE±DF,

，ZFDC+ZBDF=ZEDB+ZBDF,

BC

.".ZFDC=ZEDB,

在AEDB与AFDC中，

，ZEBD=ZC

BD=CD，

ZEDB=ZFDC

.,.△EDB^AFDC（ASA）,

，BE=FC=3,

，AB=7,则BC=7,

，BF=4,

在RtAEBF中，

EF2=BE2+BF2=32+42,

.\EF=5.

【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形

全等，求得BE和BF,再由勾股定理求出EF的长.

举一反三：

【变式】（2015春•天津校级期中）如图，NC=30。，PA_LOA于A,PB_LOB于B,PA=2,

PB=11,求OP的长.

【答案】

解：PAJLOA,ZC=30°,

PC=2PA=4,

BC=BP+PC=11+4=15,

VPB±OB,ZC=30",

设OB=x,则OC=2x,

在Rt^BOC中，由勾股定理得：

x2+152=(2x)2,

解得，x=5x/3,

即OB=5G,

p=

O-^Qg+pg2=5/75+121=14-

类型三、与勾股定理有关的面积计算

3、（2015•丰台区二模）问题背景：___

在△ABC中，AB,BC,AC三边的长分别为、而，3血，屈,求这个三角形的面积.

小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网

格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示.这样不需

要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你直接写出△ABC的面积；

思维拓展：

【思路点拨】（1）根据图形得出SAABC=S矩形MONC-SACMA-SAAOB-SABNC,根据面积公

式求出即可；（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可.

【答案与解析】

解：（1）△ABC的面积是4.5,理由是：

图1

SAABC=S矩形MONC-SACMA-SAAOB-SABNC

=4x3-.1x4x1-Ax2xl-.1x3x3

222

=4.5,

故答案为：4.5；

SAMNP=S矩形MOAB-SAMON-SAPAN-SAMBP

=5x3-1x5x1-1x2x4-2x3x1

222

=7,

即△MNP的面积是7.

【总结升华】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出

格点三角形，难度不是很大.

举一反三：

【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角

三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、3、4,则最大正方形E的面积是（）

类型四、利用勾股定理解决实际问题

Cd、（2016•贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米,

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A，，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

【思路点拨】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC，

的长，进而得出答案.

【答案与解析】

解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，

22=24

AB=J25-7（米），

答：这个梯子的顶端距地面有24米；

（2）由题意得：BA，=20米，

BC-7252-202=15（米），

则：CC=15-7=8（米），

答：梯子的底端在水平方向滑动了8米.

【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键.

举一反三：

【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm,底面半径等于3cm,在圆柱的底面A

点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（n

取3）

【答案】

解：如图②所示，由题意可得：

4r=12,A6=1x2〃x3=9

2

在RtZ\AA'B中，根据勾股定理得：

AB2=AA'2+A'B2=12?+92=225

则AB=15cm.

所以需要爬行的最短路程是15cm.

【巩固练习】

一.选择题

1.如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3加处折断，树顶端落在离树底部4加处,

A.5mB.7mC.8/nD.10，"

2.如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为（)

A.15B.16C.17D.18

3.（2016春•枣阳市期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min,甲客

轮用15min到达点A,乙客轮用20min到达点B,若A,B两点的直线距离为1000m,

甲客轮沿着北偏东30。的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）

A.北偏西30。B.南偏西30。C.南偏东60。D.南偏西60。

4.如图所示，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,点E、F是中线AD上的两点，则图中

阴影部分的面积是（）.

A

A.6B.12C.24D.30

5.下列三角形中，是直角三角形的是（

A.三角形的三边满足关系a+6=cB.三角形的三边比为1：2：3

C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9,40,41

6.某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已

知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）

A.450a元B.225。元

C.150a元D.300a元

7.（2015•江阴市模拟）如图，RSABC中,NC=90。,AC=12,BC=5.分别以AB、AC、

BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH,四块阴影部分的面积分别为Si、

S2、S3、S4.则S1+S2+S3+S4等于（）

8.已知，如图长方形ABCD中，AB=3c〃z,AD=9c〃?，将此长方形折叠，使点B与点

D重合，折痕为EF,则AABE的面积为（）

A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.Mem2

二.填空题

11.如图，B,C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得NABC=45。，ZACB=45°,BC

=60米，则点A到岸边BC的距离是米.

A

8

12.在直角三角形中，一条直角边为11cm,另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的

周长为.

13.（2016春•西和县校级月考）三角形的三边长为a、b、c,且满足等式（a+b）2-c2=2ab,

则此三角形是三角形（直角、锐角、钝角）.

14.如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，己知点C在

A的东南方向，在B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度

都是30c77?/min.结果甲蚂蚁用了2min,乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁

原来所处地点相距cm.

15.小明要把一根长为70cm的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm,40cm,30cm的

木箱中，他能放进去吗？—（填"能''或"不能”）.

16.如图，4ABC中，/ACB=90。，AC=BC=1,取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一

个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与AABC的BC边

重叠为止，此时这个三角形的斜边长为.

三.解答题

17.若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此三角形的面积.

18.（2014春•安次区校级月考）甲乙两船从位于东西走向的海岸线上的港口A同时出发，

甲以每小时30海里的速度向北偏东35。方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一

方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙

船所走方向，说明理由.

19.如图，AABC中，ZA=90°,AC=20,AB=10,延长AB至ljD,使CD+DB=AC+

AB,求BD的长.

n

20.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，8'为CD边上的点，B'C=3.将纸片

沿某条直线折叠，使点B落在点B'处，点A的对应点为A',折痕分别与AD,BC边交

于点M,N.求BN的长.

3'

B

N

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】C；

2.【答案】C；

【解析】距离为AB?=82+152=289,AB=17

3.【答案】C；

【解析】解：甲的路程：40X15=600m,乙的路程：20X40=800m,

V6002+8002=10002,

甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，

•••甲客轮沿着北偏东30。，

二乙客轮的航行方向可能是南偏东60。，

故选：C.

4.【答案】A；

【解析】由题意SABEF=SMEF，,S阴影=Saw=]X3x4=6•

5.【答案】D；

6.【答案】C；

【解析】作高，求得高为15m,所以面积为，x20xl5=150机2.

2

7.【答案】A；

【解析】解：过D作BM的垂线交BM于N,

•图中S2二SRIADOI,SABOC=SAMND,

S2+S4=SRtAABC.

可证明RtAAGE^RtAABC,RsDNB义RsBHD,

S1+S2+S3+S4

=S1+S3+(S2+S4),

=RtAABC的面积+RSABC的面积+RSABC的面积

=RtAABC的面积x3

二12x5;2x3

=90.

故选：A.

【解析】设AE=x,则DE=BE=9—x,在RtAABE中，

AB2+AE2=BE2,9+?=(9-X)2,X=4,S,.=6c病

二.填空题

9.【答案】225；144；40；

【解析】根据勾股定理直接求解即可.

10.【答案】8；

11.【答案】30；

12.【答案】132cm；

【解析】由题意1F+〃2=(〃+I)2,解得〃=&),所以周长为11+60+61=132.

13.【答案】直角;

【解析】解：；(a+b)2-c2=2ab,

a2+2ab+b2-c2=2ab,

a2+b2=c2,

...三角形是直角三角形.

14.【答案】100；

【解析】依题知AC=60cm,BC=80c〃?，；.AB2=602+802=1002,AB=100cm.

15.【答案】能；

【解析】可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm,根据题意，得X2=5O2+402+3()2=5OOO,

702=4900,因为4900<5000,所以能放进去.

16.【答案】

8

三.解答题

17•【解析】

解：设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,由勾股定理得：

(3x)2+(4x)2=2()2

化简得：f=i6

.,.直角三角形的面积为：—x3xx4x=6x2=96.

2

18.【解析】

解：由题意得：甲2小时的路程=30x2=60海里，乙2小时的路程=40x2=80海里，

•••602+802=1002,

ZBAC=90°,

•；C岛在A北偏东35。方向，

；.B岛在A北偏西55。方向.

乙船所走方向是北偏西55。方向.

解：设BD=x,则CD=30—x.

在RtAACD中，根据勾股定理列出(30-=(X+10)2+20\

解得x=5.

所以BD=5.

20.【解析】

解：点A与点A',点3与点8’分别关于直线用N对称，

AM=AM,BN=B'N.

设BN=BN=x,则GV=9—x.

正方形43cD,

.IZC=90".

CN2+B'C2=B'N2.

B'C=3,

：.(9-X)2+32=X2.

解得x=5.

BN=5.

《勾股定理》全章复习与巩固(基础)

责编：杜少波

【学习目标】

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

【知识网络】

【要点梳理】

【高清课堂勾股定理全章复习知识要点】

要点一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.(HP：。2+〃=。2)

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要

应用是：

(1)已知直角三角形的两边，求第三边；

(2)利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

(3)解决与勾股定理有关的面积计算；

(4)勾股定理在实际生活中的应用.

要点二、勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c,满足储+。2=02,那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

(1)首先确定最大边，不妨设最大边长为c；

(2)验证：与是否具有相等关系：

若+匕2=。2,则AABC是以NC为90。的直角三角形；

若。2+〃＞。2时，AABC是锐角三角形;

若时，AABC是钝角三角形.

2.勾股数

满足不定方程f+>2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）,

显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.

要点诠释：

常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（。、枚c）是勾股数，当t为正整数时，以山、从、a为三角形的三边长，此三角

形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为a、b、c