高等数学教案 计算机科学系

教案

2006〜2007学年第学期

课程名称：高等数学

授课教师：孙水玲___________

职称：副教授

教学单位：计算机科学系

教研室：数学与应用数学

2006年3月5日

广东技术师范学院教案

电子商06级电子商

课程名称高等数学授课专业班级

务务本科

授课教师孙水玲职称副教授单位计算机系

必修课专业必修课（V）；公共必修课（）

课程类型

选修课专业选修课（）；公共选修课（）

授课方式课堂讲授（J）;实践（）考核方式考试（J）;考查（）

课程教学

102学分数6

总学时数

学时分配课堂讲授（102）学时；实践课（）学时

出版社及中国人民大学出

教材名称高等数学作者吴赣昌

出版时间版社

参考书目[1]高等数学作者同济大出版社及高等教育出版社

学应用出版时间2003年7月

数学系

主编

[2]数学分析吉林大人民教育出版社

学数学1978年6月

系编

授课时间

注：表中（）选项请打“J”。每门课程只需填写一次本表。

广东技术师范学院教案

周次第1周，第一次课

章节第七章.空间解析儿何与向量代数§7.1向量及其线性运算

名称§7.2空间直角4A标系向量的坐标

授课

课堂讲授（V）；实践课（）教学时数3

方式

授课请将授课内容以每次课为顺序，根据第一学时、第二学时写成详细文字

内容材料作为附件附在教案最后，正文采用宋体小四号字体，L5倍行距。

教重点：向量的概念及运算、空间直角坐标系及向量的代数运算、向量在

学轴上的投影。

重

点

与难点：向量的投影。

难

点

课

堂

讨

论

与见附页

练

习

参[1]第七章.空间解析几何与向量代数：

考第一节向量及其线性运算

资

料

备

注

注：教案按授课次数填写，每次授课均应填写一份本表。重复班授课可不另填写

教案。

附页：

第一学时：

第七章.空间解析几何与向量代数

§7.1向量及其线性运算

-向量的概念（见光盘）：

向量：既有大小又有方向的量。

向量的表示法：用有向线段表示。

向量的模：向量的大小。

同时给出单位向量、零向量概念。向量相等、向量平行概念。共线、共面向量。

向量的夹角概念。

二向量的线性运算：

1向量的加减法

定义1（见光盘）三角形法则和平行四边形法则。

向量加法满足：（1）交换律；（2）结合律。

从负向量定义减法：a-b

对任意向量Q及点。，有港=布+方=丽-

三角定理：a-b<a+ha+<a+1&|

2向量与数的乘法：

定义2（见光盘）

数与向量的乘积满足：（1）结合律；（2）分配律。

向量的上述两种运算统称为线性运算。

例1化简a-b+5（-^b+^^）

例2在平行四边形ABC。中，设而=1,而=3,试用2,3表示向量而，赢，标

和必万，这里M是平行四边形对角线交点。

向量平行的充要条件：

定理1设向量那么向量B与〉平行的充分必要条件是：存在唯--的实数

2,使b=A,ao

向量与数轴：数轴上的点的坐标八

例3（见光盘）

第二学时：

§7.2空间直角坐标系向量的坐标

-空间直角坐标系

1建立空间直角坐标系概念、x,y,z轴的正向符合右手螺旋法则；

三个坐标轴，三个坐标平面，八个卦限；

2空间点的坐标的确定：（见光盘）

二空间两点间的距离

设有空间两点监（再,月,2]）,加2（尤2，乃，%2），这两点间的距离为

陷河2|=近2-七）2+（乃一必）2+仁-7|）2

特别地

\0M11=Jx；+z；

例1设P点在x轴上，它到巴（0,啦,3）的距离是到巴。1,-1）的距离的两倍，求点

P的的坐标。

三向量的坐标表示

任给向量r,平移，使起点为原点，终点为M（x,y,z），x,y,z与厂一一对应，x,y,z

称为r的坐标，记为

r=OM={x,y,z}

如果在空间直角坐标系中有点V।（X],5,4）,M2（x2,y2,z2），则

xj

=OM2一。M=（2+J+Z2k）-（xti+yj+z]k）

={x2-xl,y2-yl,z2-z[}

四向量的代数运算

设。={ax,ay,az},b={么,与也}容易推出:

±

a±b={ax土么,a,by,a.±b.}；A,a={A,ax,Aay^,Aa:}

例2,(见光盘)

例3已知两点B(X2，〉2，Z2)以及实数〃2wT)，试在有向线段布上

求一点Af(x,y,z),使AM=AMB

五向量的模与方向余弦

设三{x,y,z}，作曲=1由两点间距离公式

r-OM-yjx2+y24-z2

设向量r与x,y,z轴的夹角分别为，称为向量r的方向角，而

cosa,cos〃,cosy称为向量厂的方向余弦。如图尸2审，有

x_x

coscr=

Irlylx2+y2+Z2

z

-

r

2+y2+z2

因而有：cos2a+cos2p+cos2/=1

{cosa,coscosy}=苜{x,y,z}='=r°

MM

即向量{cosa,cos(3,cos/}是与非零向量厂同方向的单位向量。

第三学时

例4已知两点A(4,0,5),8(7,1,3),求与向量A8平行的向量的单位向量。

例5已知两点根(2,2,行),%(1,3,0),计算向量内幽2的模、方向余弦和方向角。

例6设有向量而，已知它的模度可=2,它与x轴和y轴的夹角分别为三和

如果々的坐标为(1,0,3)，求尸2的坐标。

六向量在轴上的投影

定义见光盘

性质1Prjua=|c/|cos^（夕为向量。与〃轴的夹角）

性质2Prju（a+b）=Prjua+Prjub

性质3Prj“（A）=/lPrj）（4为实数）

例7（见光盘）作业：%99,12,16,

广东技术师范学院教案

周次第1周，第二次课

早下第七章.空间解析几何与向量代数§7.3数量积、向量积、混合积

名称§7.4曲面及其方程

授课

课堂讲授（V）；实践课（）教学时数3

方式

授课请将授课内容以每次课为顺序，根据第一学时、第二学时写成详细文字

内容材料作为附件附在教案最后，正文采用宋体小四号字体，L5倍行距。

教重点：向量的数量积、向量积、曲面的方程。

学

重

点难点：曲面的方程。

与

难

点

课

堂见附页

讨

论

与

练

习

参[1]第七章.空间解析几何与向量代数：

考第二节数量积、向量积、混合积；第三节曲面及其方程。

资

料

备

注

注：教案按授课次数填写，每次授课均应填写一份本表。重复班授课可不另填写

教案。

附页：

第一学时：

§7.3数量积、向量积、混合积

一两向量的数量积

给出常力作功的引例，引出定义

定义1设有向量Z5,它们的夹角为乘积WHcos。称为向量Z与1的数量积

(或内积、电积)，记为7几即

a-b=a-bcos。

由定义得性质：

(1)a4=,Prj)=WPrJ/;

(2)a-a=|a|；

(3)设ZB为两个非零向量，则的充分必要条件是：11=0。(证明)

数量积满足下列运算规律：

(1)交换律：a-b=l)-a；

(2)分配律:(a+b)-c=a-c+ab;

(3)结合律:A(a-b)=(Aa)-b=a-(Ab)□

由性质及运算规律易推得内积的坐标表示式：

设a=｛a',%,,生｝,B=卜.,外也｝,则有：ab=axbx+ayby+a.b,

若Z5为两个非零向量，则有

cos6=辿=。也+廿+。也

RWm+aj+a；W+b"b；

进一步推得，aVh的充分必要条件是：axbx+ayhy+a.b.=0

例1试用向量的方法证明余弦定理。

例2设a+31与7a-5g垂直，与7a-垂直，求a与各之间的夹角。

例3(见光盘)

第二学时：

二两向量的向量积

由力矩的例子引出定义

定义2若由Z与否所确定的一个向量)满足下列条件：

(1)2的方向既垂直于「又垂直于九c的指向按右手规则从£转向5来确定;

(2)1的模p卜同(其中6为2与3的夹角);

则称向量c为向量。与各的向量积(或外积、叉积)记为：c=ax]

注：忖乂4等于以*,B为邻边的平行四边形的面积。

由定义得性质：

(1)axa-Q；

(2)若a,3为两个非零向量，则。〃3的充分必要条件是：4x3=6。(证明)

向量积满足下列运算规律：

(1)axh=-hxa；

(2)分配律：(a+g)xc=〃xc+Bxc；

(3)结合律：A(axb)=(Aa)xh=ax(Ah)o

向量积的坐标表示：

设a=ari+ayj+a.k,h=bxi+byj+h.k9则

=-a也.)i+伍也-〃也)/+(a也-％仇)]

利用三阶行列式有简单的记忆形式：

ij%

及玩…」b*b,久―-

进一步得到的充分必要条件是：&=&=幺其中gw。。

瓦bya

例5求与1=3；—2j+“和各=；+]—2%都垂直的单位向量。

例6在顶点为A(l,-1,2),8(5,-6,2),“1,3,-1)的三角形中，求4c边上的高8。(图)。

第三学时：

§7.4曲面及其方程

一曲面方程的概念

定义1(见光盘)

空间曲面研究的两个问题是：

(1)已知曲面上的点所满足的集合条件，建立曲面的方程；

(2)已知曲面的方程，研究曲面的几何形状。

例1建立球心在股0(%,打/0)，半径为R的球面方程。

例2方程/+丫2+乙2_2x+4y=0表示怎样的曲面？

二旋转曲面

定义2以一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转

曲面。这条平面曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和轴。

设在yOz坐标面上有一己知曲线C,它的方程为

f(y,z)=o

把这曲线绕z轴旋转一周,就得到一个以Z轴为轴的旋转曲面，它的方程可以求得

如下：

设M(0，M，Z1)为曲线c上的任一点，那么有：

/(y/)=0.(4.1)

当曲线C绕z轴旋转时，点M也绕z轴转到另一点M(x,y②，这时z=Z1保持不变,

且点M到z轴的距离4=y]x2+y2=|y,|

将&=z,弘=±y1x2+y2代入(4.1)式，就有

/(±次+-/)=0(4.2)

这就是所求旋转曲面的方程.

由此可见，在平面曲线C的方程〃y,z)=0中将y改成±Jf+y2，便得曲线c

绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程.

同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为

f(y,+ylx2+z2)=0(4.3)

例4直线L绕与L相交的定直线旋转一周,所得旋转曲面称为圆锥面，两直

线的交点称为圆锥面的顶点，两直线的夹角a(O<a<])称为圆锥面的半顶角.

试建立顶点在坐标原点0,旋转轴为z轴，半顶角为a的圆锥面(图7-35)的方程.

例5将xOz坐标面上的双曲线：靛一下二1

分别绕x轴和z轴旋转一周,求所生成的旋转面的方程.

三柱面

定义3平行于某定直线的直线L沿定曲线C移动所形成的轨迹称为柱面，这条定

曲线C叫做柱面的准线,动直线L叫做柱面的母线。

这里只讨论母线平行于坐标轴的柱面

先来考察方程Y+>2=R?表示怎样的曲面？

方程f+y2=R2在xOy面上表示圆心的原点0,半径为R的圆.在空间直角坐

标系中，这方程不含竖坐标Z,即不论空间点的竖坐标Z怎样，只要它的横坐标X和

纵坐标V能满足这方程，那末这些点就在这曲面上.这就是说，凡是通过xOy面内圆

/+V=后上一点且平行于z轴的直线L都在这曲面上，因此，这曲面

可以看作是由平行于z轴的直线L沿xOy面上的圆/+y2=R2移动而形成的.这

曲面叫做圆柱面。

一般地，只含x,y而缺z的方程F(x,y尸0,在空间直角坐标系中表示母线平行于

z轴的柱面，其准线是xOy面上的曲线C:F(x,y)=Oo

类似可知，只含x,z而缺y的方程G(x,z尸0和只含y,z而缺x的方程H(y,z)=O分

别表示母线平行于y轴和x轴的柱面.

例如方程/=2x表示母线平行z轴，准线为x”面上的抛物线/=2x的柱面,

这个柱面称为抛物柱面。常见的还有：作业：：P2982,16

2222

椭圆柱面：与+q=1双曲柱面：：三一2r=1P3031,5,8(3)(4)

abab

广东技术师范学院教案

周次第2周，第一次课

章节第七章.空间解析几何与向量代数§7.5空间曲线及其方程

名称§76平面及其方程

授课

课堂讲授（V）；实践课（）教学时数3

方式

授课请将授课内容以每次课为顺序，根据第一学时、第二学时写成详细文字

内容材料作为附件附在教案最后，正文采用宋体小四号字体，1.5倍行距。

教重点：空间曲线的方程及其在坐标面上的投影、平面方程及夹角。

学

重

点难点：平面的方程。

与

难

点

课

堂见附页

讨

论

与

练

习

参[1]第七章.空间解析儿何与向量代数：

考第四节空间曲线及其方程；第五节平面及其方程。

资

料

备

注

注：教案按授课次数填写，每次授课均应填写一份本表。重复班授课可不另填写

教案。

附页：

第一学时：

§7.5空间曲线及其方程

-空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线。设

F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0

是两个曲面的方程，它们的交线为C(图7-41)。因为曲线C上的任何点的坐标应

同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组

F(x,y,z)=O

(1)

G(x,y,z)=O

反过来，如果点M不在曲线C上，那末它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐

标不满足方程组(Do因此，曲线C可以用方程组(1)来表示。方程组(1)叫

做空间曲线C的一般方程。

例1方程组y表示怎样的曲线？

2x+3z=6

z=-x2-y2

例2方程组表示怎么样的曲线？

二空间曲线的参数方程

空间曲线C的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示,只要将C上动点的

坐标x,y,z表示为参数t的函数：

X=x(f)

<y=y(t)(2)

.Z=z(t)

当给定，i时,就得到c上的一个点(阳,力,乙)；随着t的变动便可得曲线c上的全

部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.

例3如果空间一点M在圆柱面/+>2=/上以角速度①绕z轴旋转，同时又

以线速度/沿平行于z轴的正方向上升(其中v都是常数)，那末点M

构成的图形叫做螺旋线。试建立其参数方程。

解：取时间t为参数，设当t=0时，动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处，经过

时间3动点由A运动到M(x,y,z)(图7-44)。记M在xOy面上的投影为M',

的坐标为x,y,0.由于动点在圆柱面上以解速度⑦绕z轴旋转，所以经过时间t,

ZAOM-coto从而

x=\OM'|cosZ.AOM'-acoscot

y=\OM'|sinZ.AOM'=asincot

由于动点同时以线速度丫沿平行于z轴的正方向上升，所以

Z-M'M-vt

因此螺旋线的参数方程为

x-acoscot

<y=asin&

Z-vt

也可以用其它变量作参数;例如令8=3,则螺旋线的参数方程可写为

x=acos3

<y=asin。

z=b0

这里6=上，而参数为。.

CO

螺旋线有一个重要性质：当。从4变到4+a时,z由%变到%°+ba.这

说明当OAT转过角a时,M点沿螺旋线上升了高度ba,即上升的高度与OAT转过

的角度成正比.特别是当。M'转过一周，即a=27时,M点就上升固定的高度

h=2万b.这个高度力=2不〃在工程技术上叫做螺距.

第二学时：

三、空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线C的一般方程为

尸(x,y,z)=o

<(3)

G(x,y,z)=0

现在我们来研究由方程组（3）消去z后所得的方程

H(x,y)=O(4)

由于方程（4）是由方程组（3）消去z后所得的结果，因此当x、y和z满足

方程组（3）时，前两个数x、y必定满足方程组（4），这说明曲线C上的所有点

都在由方程（4）所表示的曲面上。

由上节知道，方程（4）表示一个母线平行于z轴的柱面，由上面的讨论可知,

这柱面必定包含曲线C。以曲线C为准线、母线平行于z轴（即垂直于xOy面）

的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面，投影柱面与xOy面的交线叫做空间

曲线C在xOy面上的投影曲线，或简称投影。因此，方程（4）所表示的柱面必

定包含投影柱面，而方程°所表示的曲线必定包含空间曲线C在

=0

xOy面上的投影。

同理，消去方程组（3）中的变量x或变量y,再分别和x=0或y=0联立，我

们就可以得到包含曲线C在yOz面或xOz面上的投影的曲线方程：

R(y,z)=07(x,z)=0

或，

x=0y=0

例4已知两球面的方程为x2+y2+z2=1和％2+（＞-1）2+仁一1）2=1,

求它们的交线C在xOy面上的投影方程。

例5设一个立体由上半球面z=一J和锥面《=’3（一+/）所围成,求它

在xOy面上的投影。

§7.6平面及其方程

一、平面的点法式方程

如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法线向量，简称法向量。

设平面H上一点Moa。,汽,4）和它的一个法线向量〃={A,B,C}为已知时，平

面II的位置就完全确定了。下面我们来建立平面II的方程。

设M（x,y,z）是平面II上任一点（图），那末向量而方必与平面II的法线

向量〃垂直，即它们的数量积等于零：n-MoM=O

由于"={A,B,C},M0Af={x-x0,y—y0,z-z0},所以有，

A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O(1)

这就是平面II上任一点M的坐标x,y,z所满足的方程。

反过来，如果M(x,y,z)不在平面H上，那末向量标7与法线向量n不垂

直，从而〃•MoMwO,即不在平面II上的点M的坐标x,y,z不满足方程(1).

由此可知，平面II上的任•点的坐标x,y,z都满足方程(1)；不在平面II

上的点的从坐标都不满足方程(1),这样，方程(1)就是平面II的方程，而平

面n就是方程(1)的图形。由于方程(1)是由平面n上的一点“。(%，加%。)及

它的一个法线向量〃={4,8(}确定的，所以方程(1)叫做平面的点法式方程。

例1求过点(2,-3,0)且以〃={1,-2,3}为法线向量的平面的方程。

例2求过三点加|(2,-1,4)、圾(-1，3,-2)和%(0,2,3)的平面的方程。

第三学时：

二平面的一般方程

由于平面的点法式方程(1)是x,y,z的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一

点及它的法线向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.

反过来，设有三元一次方程

Ax+By+Cz+D=Q(2)

我们任取满足该方程的一组数九，I)，即，

Ax0+By0+Czo+D=O(3)

把上两等式相减，得

A(%-Xo)+8(y-yo)+c(z—Zo)=o(4)

把它和平面的点法式方程(1)作比较，可以知道方程⑷是通过点M(Xo，y°,Zo)且以

〃={4,B,C}为法线向量的平面方程.但方程(2)与方程(4)同解，这是因为由(2)减去

⑶即得(4),又由(4)加上(3)就得(2).由此可知，任一三元一次方程(2)的图形总是一

个平面，方程(2)称为平面的一般方程.其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量n

的坐标，即n={A,B,C].

例如，方程：3%-4y+z-9=0表示一个平面,〃={3,-4,1}是这个平面的一

个法线向量.

对于一些特殊的三元一次方程,应该熟悉它们的图形特点.

当D=0时，方程(2)成为4》+为+。2=0,它表示一个通过原点的平面.

当A=0时，方程(2)变成为By+Cz+D=0，法线向量〃={0,B,C}垂直于x轴，方程

表示一个平行于x轴的平面.

同样，方程Ax+Cz+D=0,Ax+By+D=0分别表示一个平行于y轴和z轴的平面.

当A=B=0吐方程⑵成为Cz+O=0或z=-^，法线向量”={0,0,C},同时垂直

于x轴和y轴,方程表于一个平行于xOy面的平面.

同样Ax+。=0,By+。=0分别表示一个平行于yOz面和xOz面的平面.

例3求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面的方程.

例4设一平面过原点及点(6,-3,2)且与平面4x-y+2z=8相互垂直，求此

平面方程。

三平面的截距式方程

三点(图7-47),求这平面的方程.

设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0(2).

若该平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0)、。(0/0)、R(0,0,c)(其中

aw0/H0,cH0),所以点P、Q、R坐标都满足方程(2)；即有

aA+D=0

<bB+D=0

cC+D=0

得A=-2,B=—2,C=—2,以此代入(2)并除以。(。片0),便得所求的

abc

平面方程为：

方程(5)叫做平面的截距式方程，而a,b,c依次叫做平面在x,y,z轴上的截距。

例5(见光盘)作业：乙0?5,8(3)(4),6071(2)(3)

6,3，7(1)0

广东技术师范学院教案

周次第2周，第二次课

章节第七章.空间解析几何与向量代数。

名称§7.6平面及其方程；§7.7空间直线及其方程；§7.8二次曲面

授课

课堂讲授（V）；实践课（）教学时数3

方式

授课请将授课内容以每次课为顺序，根据第一学时、第二学时写成详细文字

内容材料作为附件附在教案最后，正文采用宋体小四号字体，L5倍行距。

教重点：两平面的位置关系；直线的方程、两直线的关系、直线与平面的

学关系；二次曲面的截痕法。

重

点难点：二次曲面的截痕法。

与

难

点

课

堂见附页

讨

论

与

练

习

参[1]第七章.空间解析儿何与向量代数：

考第五节平面及其方程；第六节空间直线及其方程；

资

料

备

注

注：教案按授课次数填写，每次授课均应填写一份本表。重复班授课可不另填写

教案。

附页：

第一学时：

三两平面的夹角

定义：两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角.

设平面"和〃2的法线向量依次为项=依，综G｝和“2=｛4,与C｝那么平面4

和〃2的夹角。（图7-48）应是<晨[>和（乃-<*,[>）两者中的锐角，因此

cos6=cose外,4>.按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面〃।和平面〃2的夹角

。可由

…7-华+GGI

22

7A+B；+C：QA；+B2+C；

来确定.

从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：

1）〃1、〃2A4+=o；

互相垂直相当于B,B2+C,C2

2）〃:〃2互相平行或重合相当于3=且=邑.

AB?c2

例6求两平面x-y+2z—6=0和2x+y+z—5=0的夹角。

解由公式（6）有

|1-2+(-1)-1+2-1|3V6

COS0=

712+(-l)2+22-V22+12+122几一4

/7

因此，所求夹角6=2「305——o

4

例7—平面通过两点和加2（0，1，-1）且垂直于平面x+y+z=o,求它的方

程。

解设所求平面的一个法线向量为〃=｛4,8,。｝,因而瓦=（-1,0,-2）在所求平

面上，它必与n垂直，所以有

一4一2c=0（7）

又因所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0,所以又有

A+B+C=0（8）

由(7)、(8)得到

A=—2C

B=C

由平面的点法式方程可知，所求平面方程为

A(x—l)+B()，—l)+C(z—l)=O.

将A=-2。及8=C1代入上式，并约去C(CwO),便得

-2(x-l)+(y-l)+(z-l)-0

或2x-y-z=0.这就是所求的平面方程。

五点到平面的距离

设4(%,%,%)是平面小+为+3+。=0外一点，欲求外到这平面的距离(图)

在平面上任取一点6(X|，x，zJ,并作一法线向量n,并考虑到《4与n的夹角也

可能是钝角也可能是锐角，得所求的距离

d=|Pr)丽.

---»—*

设〃。为与向量n方向一致的单位向量，那末有PrjnPxP{}=P}P.-n°

___曰______C}

1^A2+B2+C2'YIA2+B2+C2'yjA2+B2+C2

片玲={/一西，打一以，4T1},

所以

pr：-pp=A(Xof)+B(%-x)+cq-zj=A%+叫+Czo-(+8—+G)

“1°7A2+B2+C2>/A2+B2+C2>JA2+B2+C2VA2+52+C2

由于AX]+Byy+Ci1+。=0,

+By+Cz+D

所以Pr，府0Q

yjA2+B2+C2

由此得点P0（x0,y0,z0）到平面土+为+3+。=0的距离公式：

jAx+By+Cz+D\

000(9)

^JA2+B2+C2

例如，求点（2,1,1）到平面8+），-1+1=0的距离，可利用公式（9）,便得

|lx2+lxl-lxl+l|_3

7i2+i2+(-i)2G

例8（见光盘）

第二学时：

§7.7空间直线及其方程

-空间直线的一般方程

空间直线L可以看作是两个平面//,和〃2的交线（图）。如果两个相交的平面//.

和〃2的方程分别为4尤+4>+%+<=0和&X+4〉++G=0，那末直线L

上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程，即应满足方程组

+++2=0

A2X+B2y4-C2z+D2=0

反过来，如果点M不在直线L上，那末它不可能同时在平面〃।和〃2上，所

以它的坐标不满足方程组（1）,因此，直线L可以用方程组（1）来表示，方程

组（1）叫做空间直线的一般方程。

通过空间一直线L的平面有无限多个，只要在这无限多个平面中任意选取两

个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线L.

二、空间直线的对称式方程与参数方程

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量。

当直线L上一点Mo（Xo，yo，Zo）和它的一方向向量S={〃?,〃,p}为已知H寸，直线

L的位置就完全确定了。下面我们来建立这直线的方程.

设点M（x,y,z）是直线L上的任一点，那末向量标7与L的方向向量s平行

所以两向量的对应坐标成比例，由于

M°M={x-x0,y-y0,z-z0},s={m,n,p}

从而有

x-x0_y-y0_z-z0

一一（）

mnp2

反过来，如果点M不在直线L上，那末由于丽与s不平行，这两向量的对应

坐标就不成比例，因此，方程组（2）就是直线L的方程，叫做直线的对称式方

程或点向式方程。

直线的任一方向向量s的坐标m,n,p叫做这直线的一组方向数，而向量s的方

向余弦叫做该直线的方向余弦。

由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程.如设

x—/_y-%_z-z

——0—15

mnp

那么，

x=x0+mt

＜y=y＜）+加（3）

.z=Zo+pt

方程组（3）就是直线的参数方程。

例1用对称式方程及参数方程表示直线

fx4-y+z+l=0

（4）

[2x-y+3z+4=0

例2一直线过点（2,-3,4）,且与y轴垂直相交，求其方程。

过两点M।（匹,y1,Zi）,M2（々，＞2，G）的直线方程为:

Xf_zZ|（5）

彳2-玉y2f-马

这个方程叫直线两点式方程。

三两直线的夹角

定义：两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角.

设直线L］和乙2的方向向量依次为S［={叫,"］，P［}和s2={m2，〃2'P2}，那末供和A的

夹角。应是〈S”.〉和（万一<S|,S2>）两者中的锐角，因此COS。=COS<5t,52>,

按两向量的夹角的余弦公式，直线与和心的夹角9可由下式

a帆加2+W2+P1P2I小

COS（P=」!~~7,.（6）

M:+〃「+p|2^m2+n2+p2

来确定.

从两向量垂直，平行的充分必要条件立即推得下列结论：

1）两直线L］和4互相垂直相当于叫加2+〃|〃2+P\P2=°；

2）两直线右和右互相行平相当于四="=且

m2n2p2

例3求过点（-3,2,5）且与两平面％-42=3,2犬-旷-52=1的交线平行的直线

方程。

例4求过点（2,1,3）且与直线*1=2二1=三垂直相交的直线方程。

32-1

四直线与平面的夹角

定义：当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角

火04949称为直线与平面的夹角（图），当直线与平面垂直时，规定直线与平面

的夹角为毛.

2

设直线L的方向量为s={和应〃},平面n的法线向量为n={A,民C},直线与平

77"-*—*_,f—•

面的夹角为夕，那末9=--<s,n>，因此，sin^=cos<s,n>.按两向量夹角余弦

的坐标表示式，有

A/A2+B2+C2yjm2+n2+p

C

的充要条件是:

mnP

3）L//n的充要条件是:Am+Bn+Cp=0

例5（见光盘）

五平面束

通过空间同一直线的所有平面构成一个平面束。现在我们来介绍它的方程.

设直线L由方程组

Atx+Bly+Ciz+=0

A2X+B2y+C2z+D2=0

、

所确定，其中系数4、与、。与4、B2不成比例，我们建立三元一次方程：

A}x+Bxy+C[z+D}+2（A2x++C2z+D2）=0（10）

其中4为任意常数.因为4、4、c与A?、B?、G不成比例，所以对于任何一个义值,

方程（13）的系数：4+几4，用+482,6+几。2不全为零，从而方程（1°）表示一个平面，

称为过直线L的平面束方程。

注：方程（10）包含了除4x+Jy+CzZ+A=。之外的所有过心的平面。

例6（见光盘）

第三学时：

§7.8二次曲面

截痕法：用平行坐标面的平面截已知曲面，所得交线叫截痕，通过截痕绘出曲面

的图形，这种方法叫截痕发法

222

一1椭球面：一=1（。＞0力＞0,c＞0）（图形见光盘）

abc

22

二抛物面：（1）椭圆抛物面：Z=『x+Av（P，4同号）；

2P2q

22

(2)双曲抛物面：z=—■—F——(p,q同号)

2p2q

222

三双曲面：(1)单叶双曲面：三+2一―=l(a>O,b〉O,c〉O)

abc

222

(2)双叶双曲而：——+^-2——y=—l(^z>0,/?>0,c>0)

abc

222

四—次锥面：f+个..-y—0(。>0,6>0,C>0)

ah2c

五空间区域简图：(见光盘)

作业：占08,12

P3281(2)，2(2),3(3)

广东技术师范学院教案

周次第3周，第一次课

早下

第八章.多元函数微分学§8.1多元函数的基本概念§8.2偏导数

名称

授课

课堂讲授（V）；实践课（）教学时数3

方式

授课请将授课内容以每次课为顺序，根据第一学时、第二学时写成详细文字

内容材料作为附件附在教案最后，正文采用宋体小四号字体，L5倍行距。

教重点：多元函数基本概念：多元函数概念、二元函数的极限，连续性；

学多元函数的偏导数概念及其求法、高阶偏导数。

重

点难点：二元函数的极限的概念及其计算。

与

难

点

课

堂

讨见附页

论

与

练

习

参[1]第八章.多元函数微分法及其应用：第一节多元函数的基本概念；

考第二节偏导数

资

[2]第4篇多元函数的微分学：第十六章多元函数的极限与连续性；

料第十七章偏导数与全微分；第十八章多元函数的极值与高阶偏导数。

备

注

注：教案按授课次数填写，每次授课均应填写一份本表。重复班授课可不另填写

教案。

附页：

第一学时：

§8.1多元函数的基本概念

一平面区域的概念

1)邻域：力(P)={(X,田皿-X。)2+(y-)2<为、去心邻域&Mp)；

2)相关概念：内点、外点、边界点、边界；聚点、孤立点；开集、闭集、连

通集、开区域(区域)、闭区域、有界集、无界集。

二〃维空间的概念(见光盘)

三多元函数概念

定义1设。是平面上一个非空点集.如果对于。内任意点P(x,y),按照某规则

f,都有唯一确定的实数Z与之对应，则称/是。上的二元函数，它在P(x,y)点

的值记为/(x,y),即z=/(x,y)

点集D称为该函数的定义域,x,y称为自变量，z称为因变量。

数集{z|z=f(x,y}(x,y)GD}称为该函数的值域.类似定义"元函数。

二元函数的几何意义：

设函数z=/(x,y)的定义域为。.对于任意取定的点P(x,y)e。，对应的函数

值为z=/(x,y).这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z=/(x,y)为竖坐标在空间就

确定一点M(x,y,z).当P(x,y)遍取。上的-一切点时,得到一个空间点集

{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)eD},这个点集称为二元函数z=f(x,y)的图形.

通常我们也说二元函数的图形是一张曲面.(图)定义域。是这张曲面在％。)坐

标面上的投影

第二学时:

四二元函数的极限

定义2设函数z=/(x,y)在点Po(x(),y0,Zo)的某一去心邻域内有定义，如果对

于任意给定的正数£，总存在正数5,使得当

22

0<|尸阖=yl(x-x0)+(y-y0)<8

时，恒有

y(p)T=|/ay)T<£

则称常数A为函数z=/(x,y)当点打工,丁)趋于点P°(x°,y°)时的极限，记为

\imf(x,y)=A或A((x,y)f(X。,)，。))

f0

二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算规则，为了区别于一元

函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。

注意：定义2中趋于点心(%,)，。)是以任何方式。其逆否常用来证明二元

函数的极限不存在。

例1求极限lim(r+y2)sinf^~-；例2求极限lim产与

?'x+y生尸+y

例3求极限1加(一+/『:例4证明极限lim-^^不存在。

xf0

,V-*0眈一+y

五二元函数的连续性

定义3设二元函数z=/(x,y)在点外(xo，y0)的某一邻域内有定义，如果

limf(x,y)=f(x,y)