解三角形及三角函数的应用

解三角形及三角函数的应用

一、知识导学

1.解三角形的的常用定理：

(1)内角和定理:+C=k结合诱导公式可减少角的个数.

===2R

(2)正弦定理：AAaJA1C(三指4ABC外接圆的半径)

(3)余弦定理：/十力-2^0。=/及其变形.

(4)勾股定理：&&批冲1=1

2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问

题.

三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际

应用问题.他的显著特点是(1)意义反映在三角形的边、角关系上，有直角三角

形，也有斜三角形.(2)函数模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时…

个问题中三角函数与代数函数并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数

应用题多以“文字语言，图形语言”并用的方式，要通过审题领会其中的数的本

质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需

要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路；其次，寻求变量之间

的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语

言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，

从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.

二、疑难知识导析

1.对各类定理的应用要注意使用其变形逆用.同时充分利用方程的思想知道其中

的部分量可求出其他量.

2.三角函数的应用主要是图象和性质的应用.

3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构.

三、经典例题导讲

［例1］已知方程一+4«+兔+1=0（a为大于1的常数）的两根为5。，

且"2,2）,则一的值是.

错解：•.•31，1811。是方程—+4„+%+1=0的两个根

tana+tan#=-4a,tana-tan^=3a-l-1

tana+tan.-4a”

由tan（a+⑼=l-Eatan户=1-（文+1）=?可得~~2

错因：忽略了隐含限制即/即，是方程/+，=+"+l=0的两个负根，从而

导致错误.

正解.・；4＞］-tana+tan户="4a,tama-tmfl=3a^1＞o

tana.tan”是方程/十g+%+1=。的两个负根

又3-转）二—―即竽《倒

tan€t4-tanfl-4oqa+,

由tan（＜x+^=l-tanar-tan4二I—（3a+l）=3可得由2

答案：-2.

［例2］在&婚C中，已知二，b,c是角A、B、C的对应边，则

①若则/0)=(而4-疝1处在R上是增函数；

②若——皿^"⑷用'，则二ABC是融A；

③C8C+.ilC的最小值为-我；

④若8$/=8«23,则A二B；

3

⑤若(l+tmXXl+E助=2,则“其中错误命题的序号是

错解：③④⑤中未考虑0<。<斤.

错因：④中未检验.

正解：错误命题③⑤.

①。A>sin8.二sin，一向6>0

/(x)=(«A-血团漫&±£增画数・

②—孑=/.『=y+/jaAXJCftfltA

血。+co«c&(c+3.当Hc+9)=-Ljr-

③VfJ,f/、时最小值为-亚

显然0V。〈总.得不到最小值为-近.

④cos2X=CM2B=>i>2A=23BA=B

或2，=2JT—25.，二k—+6=JT（舍），:.A=B

⑤l+tanJl+mnB+taii4・taQ6=2.l-taiiJl・WnB=Ian4+tan6

tan<+tan3.—一.▲CK

--------------------=L8PtM（<+「）=L二A+B=一

I-tanA-tanB4

错误命题是③⑤.

anxcosx

[例3]函数f(x)=l4-«"cos*的值域为.

^2\42\

错解」22,22]

g(A=£—-1I--1

错因：令工=4x+C8*后忽视从而2

正解.[-孝T“(-谆W

[例4](06年高考江苏卷)""owl丁+了也1=—>70--20»«*=

【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值

解：BtWco>HT+石疝H0*tan7D*_2o»40（

国20%81小］抬上10"上廿2cM41f

~疝1204co«70,E

C82"cod"4■市向10*c«2tf*

m20,

COS20*(C8lol*+垂血lol*)

«Q20°

2CM20*8x1/MU301*+sin10f°cosKJl0)

-2c©s4(f

疝iW

28*9痴S-ZJnZOTco^O"

-sin20l1

=2

【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用，在求三角的问题中，要注意这样的口

决“三看”即（1）看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化，（2）看名称，把一道等

式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所

有的弦转化为相应的切，（3）看式子，看式子是否满足三角函数的公式.如果满足

直接使用，如果不满足转化-下角或转换一下名称,就可以使用.

［例5］在锐角^ABC中，AVB<C,且B=60°,

__________________/一1

J(l+8,24X1+8$2C)=2求证：a+缶=&

解：VB=60°.*.A+C=120°cos(A+C)=-2

______________-1

又由已知42coi七=2•.•锐角AABC中，cosA>0,cosC>0,

一+1

cosAcosC=4sinAsinC=4

色

•,.cos(C-A)=V即C—A=30°

/.A=45°B=60°C=75°

24」

，a+我b=2R(sin45°+点sin60°)=2•2R-4-=2•2Rsin75°=2c

［例6］如图，在平面有点A、B、P、Q,其中国=.，同=忸0=廖1=】•设△

APB与△PQB面积为S、T,求S'+T'的取值范围.

JI

解：设NBAP=aae[0,2]

NBQP=B,在△PAB,APBQ中

由余弦定理cosB=COSQ-1

♦1

.-.S2+T2=(2sina)2+(2sinB)2

3_J_7

—2(cos二一昭产+q

24-3

...当cosa=1时，S’+T?有最小值4

17

当…说时，：+曾有最大值0

［例7］已知函数/'(入)=5111((0万+廿)，MR,(其中co>0)的图象与x轴在原点右侧的

第一个交点为N(6,0)，又/■(2+力=仪2—6,/>(0)<0,求这个函数的解析式.

解：.jf(2+x)=f(2-x)

f(x)关于x=2对称，又x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0)

2xK

■■-----

~=6-2=4,即六16,T=8.

<3<

将N(6,0)代入f(x)=sin(8x+(p)得：sin(4+(p)=0,

jr5jr

得：(p=2k：+彳或(p=2k：+彳(k?Z),

$■5x

vf(0)<0,.(p=2kr+T(k?Z),满足条件的最小正数(p=T,

JF$JT

.所求解析式f(x)=sin(8x+4).

［例8］已知AABC的周长为6,用阿画成等比数列，求

(1)AABC的面积S的最大值；

(2)前•麦的取值范围.

解设阿国PI依次为a,b,c,则a+b+c=6,b?=ac,

CMB=N=一

由余弦定理得2ac2ac2ac2,

一

c0V6nM-kbA=\dl-k-T-”M<l+c=6-----b---

故有3,又’22从而0CM2

S=—MMB=-iia9A8gL洒・吟=«即耳■=而

(1)所以22

正哀="cos6=?+1f'=8-2ag-—

(2)所以22

(6-A)i-3fri

=-(△+于+27

2

VO<452..：2^BA~BC<18,

四、典型习题导练

8AA

1.在RtZ\ABC中,C=90°，则sinAcos2(45°—2)-sin2cos2

i2

A.有最大值二和最小值0B.有最大值工但无最小值

2

C.即无最大值也无最小值D.有最大值？但无最小值

n

2.要得到丫=$仃2乂的图象只需将y=cos(2x-4)的图象()

JIJIJIJ1

A.向右平移0B.向左平移后C.向右平移彳D.向左平移彳

3.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数

1=6的图象如图所示，则当50秒时，电流强度

是安.

-m--

4.在AABC中，sin525，则AABC的形状为.

5.直角三角形的周长为定值27,则斜边的最小值是.

6.如果方程X2-4XCOS0+2=0与方程2x2+4xsin20-1=0有一根，互为倒数求0值,

其中0<0<JT.

JT

7.已知一半径为1,圆心角为Q的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD,

求该矩形的最大面积.

8.在山"中，。•从。分别是角A、B、C的对边，设3.

求sinB的值.

错解剖析得真知（十一）

第四章数列

§4.1等差数列的通项与求和

一、知识导学

L数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.

2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首

项），第2项，…，第n项，….

3.通项公式：一般地，如果数列｛a„｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来

表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

4.有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.

5.无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列

6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系

可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一

种重要方法，其关健是先求出ab出,然后用递推关系逐一写出数列中的项.

7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等

于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用

d表示.

8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列，那么A=2.我们把人=2

叫做a和b的等差中项.

二、疑难知识导析

1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相

同而排列次序不同，则就是不同的数列：（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数

列看做一个定义域为正整数集或其有限子集（｛1,2,3,…，n｝）的函数.

2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.

JA（«=D.

3.数列｛a0）的前n项的和S.与a„z间的关系：I况一$7伽之尊若印适合

&,（叱2）,则小不用分段形式表示，切不可不求ai而直接求a„.

4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a„-a,+（n-l）d=d-n+a-d,a”是关于n的

一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,八）均匀排列在一条直线上，由两点确定

一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.

5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为

„da.d.dd

Sa=­JI+（tX|-——O

22,若令A=2,B=ai—2,则、=人/+1311.

6、在解决等差数列问题时，如已知，a”a„,d,工，n中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲

［例1］已知数列1,4,7,10,3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通

项公式；（2）指出1+4+-+（3n-5）是该数列的前几项之和.

错解：（1）an=3n+7;

（2）1+4+…+（3n—5）是该数列的前n项之和.

错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=l,a尸10=1,显然3n+7

不是它的通项.

正解：（1）an=3n-2;

（2）1+4+・・・+（3n—5）是该数列的前n—1项的和.

［例2］已知数列⑷的前〃项之和为①与="一#②^=*3+»+1

求数列W的通项公式。

aa-

错解：(1)aa=2a-«-2(M-0+(«0=4«-3

oa.=.】+,+t-(j»—t)a-1=2M

错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a0=S“一Ss与的关系，没注意a】=Si.

正解：①当*=1时，%==1

当”之2时，aj2*'-*-劭-D'+3-D=4M-3

经检验*=1时%=1也适合，4=4足-3

②当#=1时，.=a=3

当j«之2时，,=/+*+1-3-炉-(*-9-1=2«

■J：3=D

.・.>(M^2)

［例3］已知等差数列出)的前n项之和记为S,“Sw=10,$30=70,则S。等于

错解：S30=S10•2d.'d=30,'S4o=SM+d=100.

错因：将等差数列中S・,Sz.-S,.,,Sa.-S加成等差数列误解为S・,SMS3m成等差数列.

・c10x9,

lQa|-l---d=10

皿^30x29._2,2

30txi+---d=70na.=—.d=—

正解：由题意：I2得i515

40x39

+<w_JlX40rf=120

代入得S4o=2o

S._7.+1(..二)巴

［例4］等差数列&)、但)的前n项和为S.、T”.若工4«+27*'求生；

错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令a.=7n+l;b.=4n+27.

,_7x7+110

"耳=4x7+27=TT

错因：误认为4

.._/+,_S[j_7xl3+1_92

正解：%鸟+与。4x13+2779

［例5］已知一个等差数列(,｝的通项公式a„=25-5n,求数列Q40的前n项和；

错解：由a.30得n£5

&｝前5项为非负，从第6项起为负，

Sn=ai+a2+a3+a-i+a,5=50(n—5)

(20-5"昌-5)

当n—6时，S„=Ia6I+Ia?|+Ia8I+,1,+IanI=2

50.#M5

8fx.-》…

，■AMO

s,.=l2

错因：一、把n£5理解为n=5,二、把“前n项和”误认为“从n之6起”的和.

24

0—十或4

正解：2

［例6］已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,

由此可以确定求其前5•:项和的公式吗？

解：理由如下：由题设：S.=310/=1220

10al+4X=31QJ.=4

(20^4-190^=1220=6

S.=4«+^Lic6=M+j«

・2

［例7］已知：)问前多少项之和为

aLlOM+gaJ(1R2=0.3010)(1

最大？(2)前多少项之和的绝对值最小？

［%=1叫+(1-冷/2之。

解：(1)Vwl=1024-«te2<0

nV#M1=>34dv3403

电2/2=3402

Sa=1024”十为二2)=0

(2)2

当S.=硒?.近于0时其和绝对值最小

令：品=。即皿竽一股。

，二幽小6804.第

得：叫

••RWM.=6805

［例81项数是〃的等差数列，中间两项为中力】是方程*'-px+q=°的两根，求证此

数列的和a是方程1看工+(ta=。的根。(&»>0)

证明：依题意■+■”=〃

%+、)一

•.•%+«!■=/+a»u=P:2一卯

.gi*—05/+1〃用*+值.+1,7=0

...flg*T厘>=0工=町>=&,(获证)

四、典型习题导练

1.已知"1=31・=况4+2",求.及国。

2设a.=2+^Jix3+1/3x44■…+JI^R+D求证：22。

k—…一1—

3.求和：1+214-24-314-2+34--4-M

4.求和：Q"-/)+西-J乃+Q1-『)

5.已知依次成等差数列，求证：‘‘一乩5'一8・d一届依次成等差数列.

6.在等差数列9J中，%+'】=的，则■>+%+-=()。

A.72B.60C.48D.36

7.已知区｝是等差数列，且满足“■=«*"*=***W"),则J等于一

1

&---a

8,已知数|列+2JI成等差数列，且"'一,求％的值。

§4.2等比数列的通项与求和

一、知识导学

1.等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同

一个常数，那么这个数列就叫做等比数歹这个常数叫做等比数列的公比,

公比通常用字母q表示.

2.等比中项：若a,G,b成等比数列，则称G为a和b的等比中项.

»Q=D

3.等比数列的前n项和公式：I-。1一。'

二、疑难知识导析

1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0,因此q也不为0.

2.对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.

3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2

项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数

列，这时可以说此数列从.第2项或第3项起是一个等比数列.

4.在已知等比数列的ai和q的前提下，利用通项公式an=ad可求出等比数列中的任

一项.

5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用a产ad可求等比数列中任意一项.

・

%=♦―q

6.等比数列｛aj的通项公式a“=aiq"‘可改写为Q.当q>0,且qF1时，y=q”

y=­q

是一个指数函数，而。是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列｛a.｝

«1・

>='"0

的图象是函数a的图象上的一群孤立的点.

7.在解决等比数列问题时，如已知，a”4,d,昂，n中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲

［例1］已知数列6｝的前n项之和S0=aq”为非零常数），则/｝为（）。

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列，也不是等比数列

D.既是等差数列，又是等比数列

错解：=%-&=-<>7a="'Q-D

二^^=4

（常数）

为等比数列，即B。

错因：忽略了二■=4-当■*中隐含条件n>l.

正解：当n=l时，ai=Si=aq;

当n〉l时，二,=品一心=BT（”D

二也=g

.（常数）

“色=”lwq

但.

既不是等差数列，也不是等比数列，选c。

［例2］已知等比数列的前n项和记为S.，S（o=lO,Sm=70,则等于.

错解：S3o=S10,qq'=7,q=±«,S4o=Sao,q=±次4?.

错因：是将等比数列中S.,S2.-s„SM一Sa成等比数列误解为S”S2.,S3,成等比数列.

=10

沃・=-舍却

正解：由题意:得［/0=3（

［例3］求和：a+a2+a3+---+a".

错解：a+a：'+a"+…+a"=1一。.

错因：是（1）数列S"｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用

等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.

正解：当a=0时，a+a2+a3+--+an=0;

当a—1时，a+a2+a3+",+a"=n;

l-g*

当awl时，a+a2+a3+-+a"=l-d.

［例4］设均为非零实数，H+2>a）fa-2fc（«+c）i+ia+ca=0

求证：成等比数列且公比为

证明：

证法关于，的二次方程—W+C+/+—=0有实根，

.A=46%+］-砺、肥加+/）之0.-伊-皿，之0

则必有：8'—上=0,即.•.非零实数0#工成等比数列

设公比为1，则》=5,代入

&丁加+dV+dV=0

•・G、》、。，即，一2"+0'=0,即d="O。

证法二：.G'+小必-26（a+c'+b*+ca=0

：.QV-2sM-2fccrf+<?，）=0

1

；（od-ttf+（M-c）=0t：Z=b,且M=c

2=f=d

..•a1.qd非零，o

［例5］在等比数歹U©J中，*4=3,求该数列前7项之积。

,2：=g=*A=Ms，，前七项之积x3=彭=2187

［例6］求数列7前七项和

JSL=lx—+2X-+3x—+,■■■■■■■■■■■■+JIX—--

解：24821①

-Sa=lxl+2xl+3x—+—+(«-I)xA-4-jnx-l-

2"48167*②

两式相减：2

二S.=2(1--------=2--L--—

・32T2**2-*Z-

［例7］从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每

次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，

问：(D第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg?

(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的

质量分数为多少？

解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为｛a,J,贝小

11

2

a=0.2(kg),a2=2X0.2(kg),a3=(2)X0.2(kg)

I11

由此可见：a产(2)^X0.2(kg),8=(2)KXO.2=(2)4X0.2=0.0125(kg)。

1

(2)由⑴得｛a｝是等比数列a=0.2,Q

：.&=%"/)=.20=0.39375(*8)

…1-1

2

0.4-0.39375=0.00625(3

0.00625+2=0.003125c3

答:第5次倒出的的5g盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后,•共倒出0.39375kg

盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。

四、典型习题导练

1.求下列各等比数列的通项公式：

1）必=-2,8=—8

2）功=5,_EL28-1二-3a“

3）ai=5,且4M+1

2.在等比数列W,已知dl=5,44=100,求■■

•I2H

3.已知无穷数列.…”105,....,

求证：（1）这个数列成等比数列

（2）这个数列中的任•项是它后面第五项的10,

（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。

4,设数列&｝为1....*T“,G*。）求此数列前*:项的和。

5.已知数列｛&｝中,=—2且aml=Sn,求3n.Sn

6.是否存在数列｛4｝,其前项和S组成的数列｛SJ也是等比数列，且公比相同？

7.在等比数列中，"3=第，叼+，=8$>400,求*:的范围。

错解剖析得真知（十二）

§4.3数列的综合应用

一、知识导学

1.数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问

题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利

用数列知识建立数学模型.

2.应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广

泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料,

且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性

质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求S.还是求a”.一般情况下，

增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公

式.若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是

公比q.

二、疑难知识导析

1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题,

转化为解不等式4解决;

2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公

式时，勿忘分类讨论思想；

ir

3.等差数列中，am=a„+（n—m）d,;等比数列中，a„=amq1";

4.当m+n=p+q（m、n、p、q£M）时,对等差数列｛a“｝有：am+an=aP+aq；对等比数列

｛an｝有：ai»an=apa<i；

5.若｛aj、｛bj是等差数列,则｛ka“+bbj（k、b是非零常数）是等差数列；若｛&｝、瓜｝

是等比数列，则｛ka“｝、｛&bj等也是等比数列；

6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如

ai+az+a3,a4+a5+a6,a7+a«+a9-）仍是等差（或等比）数列；

7.对等差数列｛aj,当项数为2n时，SW-S«=nd；项数为2nT时;SLS产a中

（ney+）；

8.若一阶线性递推数列a.=ka-+b（k#O,kWl），则总可以将其改写变形成如下形

hh

a+------JUa.+------）

式：.*-1e・t（n22）,于是可依据等比数列的定义求出其通项公式.

三、经典例题导讲

［例1］设6｝是由正数组成的等比数列，S.是其前n项和•证明：

—~尸----）题1〃

25。

Hi况+兄a

----------5---------->如I况”

错解：欲证」*

蛔1凡+10glEg蝇］<1

只需证才3>2，

一■S.Q⑹处

即证：7>5

由对数函数的单调性，只需证（、.£»/<双】

片（1-/X1-尸）

•:A•一4=

=_•储<o

,原不等式成立.

错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q=l的情况.

-----------o----------I品”

正解：欲证”5

10glA+WaMil

只需证不»>2I

logi⑸.S.N）logiSi*

即证：5>5

由对数函数的单调性，只需证（与•$»「）<■•】

由已知数列—｝是由正数组成的等比数列，

4->0）a1>01

若"1,

则*Ja-$=*h（*+2）di-K*+M『=—4：<0；

若"I,

£。—-7川）a。7aty

晶心_郎=。-仃。-祝

=—<0

原不等式成立.

[例2]个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它

第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）

错解：因球每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形

1

成了一公比为j的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，

共经过的路程应为前10项之和.

W0[l-（1）"]

-

即2=199（米）

错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.

正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过

2*吧

T2=100（米）…因此到球第io次着地时共经过的路程为

wo+ioo+M于+于+“F

100(1-(1)*]

4

1-1

2%300(米)

答：共经过300米。

［例3］一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每

年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）

自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回

的钱的总数为多少？

错解：:年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a

为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即avad+r比

错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a元.

正解：不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息入手考虑，出生时的a元到18年时变为

a（1+r）18,

1岁生日时的a元到18岁时成为a（l+r）“，

2岁生日时的a元到18岁时成为a（1+r）’6,

17岁生日时的a元到18岁时成为a(l+r)’,

a(1+r)l8+a(1+r)l7+…+a(1+r)1

=1-(14-1-)

r

广一（1+加

答：取出的钱的总数为r

l+l.-+4."^+7.-y+10■.......■—+■.......

［例4］求数列。a1a，的前〃项和。

解：设数列的通项为国”前〃项和为S,则

:.品=0+3+4■+......4—^+［1+44-74-+（立-2）1

aaa

C（1+3M-2>触

S=jn-f-------------=---------

当a=l时，22

1--

?.0+3M-2>a-IJ（3M-QX

7T2-2-

当arl时,

6666

［例5］求数列IX2'2X3'3X4''心+1）'前〃项和

6

b.=

解：设数列的通项为b“，则#g+D

二舄=d+*1+......+4=1。-3+（3-3+.......+（：一^1）】

W砥）

［例6］设等差数列｛a｝的前〃项和为£,且

求数列｛a,,｝的前〃项和

解：取〃=1,则

5K+q）

又由'-2可得：2

q-l（MW犷）二.=2,-1

:.司=1+3+5+……+C2w-D=j»a

［例7］大楼共〃层，现每层指定一人，共〃人集中到设在第4层的临时会议室开会，问

A如何确定能使〃位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长

相等）

解：设相邻两层楼梯长为a,则

S=a（l+2+……+*-0+0+［1+2+……+（,—切

2

当〃为奇数时，取2S达到最小值

或"2

当〃为偶数时，取一豆~2~s达到最大值.

四、典型习题导练

1.在［1000,2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

2.某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6，，如果该城市每年人口平均增长率

为1%,每年平均新增住房面积为30万加2,求2000年底该城市人均住房面积为多少病？(精

确到0.01)

3.已知数列也)中，、是它的前子项和，并且％=仇+2,■=［

(1)设4求证数列是等比数列：

(2)设'一声，求证数列是等差数列。

4.在AABC中，三边心力2成等差数列，石•冰也成等差数列，求证aABC为正三角形。

5.三数成等比数列，若将第三个数减去32,则成等差数列，若再将这等差数列的第二个

数减去4,则又成等比数列，求原来三个数。

6.已知/(外是一次函数，其图象过点(¥),又成等差数列，求

/①+,3+…的值

第五章不等式

§5.1不等式的解法

一、知识导学

1.一元一次不等式ax>b

(1)当a>0时,解为♦；

b

KV

(2)当a<0时，解为a；

(3)当a=0,b20时无解；当a=0,b<0时，解为R.

2.一元二次不等式：(如下表)其中a>0,x„xz是一元二次方程ax，bx+c=O的两实根，且

X1<X2

类型

ax2+bx+c>0ax'+bx+c20ax2+bx+c<0ax'bx+cWO

解集

{xIX1WXWX2}

△>0{xIxVxi或x>x2){x|xWxi或x2xz}{xIXiVxVx2」

b

b

A=0{xIxW-28,xcR

{X|X=-2(I}

R}

△<0RR中

3.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是：

①将f(x)的最高次项的系数化为正数：

②将f(x)分解为若干个•次因式的积；

③将每•个•次因式的根标在数轴匕从右上方依次通过每一点画曲线;

④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.

了3佝

4.分式不等式：先整理成g(x)>0或gQ)20的形式，转化为整式不等式求解，g|J：

g(X)>0=f(x),g(x)>0

怒冲｛默:-M

然后用“根轴法”或化为不等式组求解.

二、疑难知识导析

1.不等式解法的基本思路

解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变

形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元」

次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式

化