人教版高中数学选修1-1第三章-导数在函数中的应用-同步教案

导数在函数中的应用辅导教案学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：2课时教学课题人教版选修1-1第三章导数在函数中的应用同步教案教学目标知识目标：利用导数求函数的单调性，利用导数求函数的极值能力目标：通过本节课的学习锻炼学生的逻辑推理能力，提高学生的运算能力情感态度价值观：通过探讨激发学生的学习兴趣教学重点与难点利用导数求函数的单调性教学过程（一）函数的单调性与导数知识梳理1．函数的单调性与其导函数的正负间的关系设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导导数函数的单调性f′(x)>0单调.f′(x)<0单调.f′(x)＝0常数函数2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就比较“平缓”．3．利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的取值范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．例题精讲【题型一利用导数判断函数的单调性】【例1】证明：函数f(x)＝eq\f(lnx,x)在区间(0，e)上是增函数．【方法技巧】关于利用导数证明函数单调性的判断问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.【题型二利用导数求函数的单调区间】【例2】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝x3－x；(2)y＝ex－x＋1.【方法技巧】利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间．注意：如果函数的单调区间不止一个时，单调区间应用“，”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．【题型三已知函数单调性求参数的取值范围】【例3】已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．【方法技巧】已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间Ⅰ上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间Ⅰ上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．【题型四用单调性与导数关系证不等式】【例4】当x＞0时，证明不等式lnx＞x－eq\f(1,2)x2.【方法技巧】要证明不等式f(x)>g(x)(x∈(a，b))成立，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，然后利用导数证明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数，若F(a)－g(a)≥0.由增函数的定义可知，当x∈(a，b)时，f(x)－g(x)>0，从而证明了不等式f(x)>g(x)．巩固训练1.试证明：函数f(x)＝eq\f(sinx,x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减．2.求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．3.(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1，2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．4.当0＜x＜eq\f(π,2)时，求证：x－sinx＜eq\f(1,6)x3.（二）函数的极值与导数知识梳理1．极值点与极值(1)极小值与极小值点如图，若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值与极大值点如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则把点b叫做函数y＝f(x)的，f(b)叫做函数y＝f(x)的，极小值点、极大值点统称为，极大值和极小值统称为．2．求函数f(x)极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么，f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么，f(x0)是极小值．例题精讲【题型一求函数的极值】【例1】求下列函数的极值．(1)f(x)＝eq\f(3,x)＋3lnx；(2)f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)－2.【方法技巧】求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表．解题时注意导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，则不是极值．【题型二已知极值求参数值】【例2】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．【方法技巧】已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．【题型三极值的综合应用】【例3】设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【方法技巧】用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定函数的图象与x轴的交点个数．巩固训练1.求函数y＝x4－4x3＋5的极值．2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知当x＝－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求a、b、c的值．3.设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．课后作业【基础巩固】1.函数y=x+cosx在（-，+）内是（）A增函数B减函数C有增有减D不能确定2．函数的单调减区间是（）A．（ B.C．， D.以上都不对。3.函数(,则()A．B.C．D.大小关系不能确定4.下列函数中,在上为增函数的是（）A.y=sinx+1,B.C.D.5.函数的单调增区间是 6.如果函数y=+lnx-ax在定义域为增函数，则a的取值范围是 7.如果函数f(x)=x+在（2，）上是增函数，则a的取值范围是 8.函数的单调递减区间为9.求下列函数单调区间（1）；（2）【能力提升】1.函数的单调减区间是()A．（ B.C．（和 D.2．函数，则()A．在内是减函数 B.在内是增函数C．在内是减函数 D.在内是增函数3.函数的单调递增区间是（）A.[0，＋∞）B.[2，＋∞）C.（－∞，2]D.（－∞，1]4.是f（x）的导函数，的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（）ABCDA．B．C．D．5.对于R上可导的任意函数，若满足，则必有（）A.B.C.D.6.已知函数在上是单调函数,则实数的（）A.B.C.