杭州市下城区2019届中考数学一模试卷含答案解析

第1页（共23页）2019年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列各数中，整数部分为3的数是（）A．π B． C． D．2．如图三视图所表示的几何体是（）A．直三棱柱 B．直四棱柱 C．圆锥 D．不存在3．某校为了解九年级11个班级学生（2019•下城区一模）在下列各式的变形中，正确的是（）A．（﹣x﹣y）（﹣y+x）=﹣x2﹣y2 B．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4C． D．（x﹣y）﹣1=y﹣x5．买1根油条和3个大饼共7元，买3根油条和1个大饼共5元．下列说法中正确的是（）A．买1根油条和1个大饼共2.5元B．2根油条比1个大饼便宜C．买2根油条和4个大饼共9元D．买5根油条和7个大饼共19元6．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，若BC：AC=3：4，BD平分∠ABC交AC于点D，则tan∠DBC的值为（）A． B． C． D．7．对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y=4，则当x≥8时，有（）A．最小值y= B．最小值y=﹣1 C．最大值y= D．最大值y=﹣18．在直径为8cm的圆外有一点P，点P到圆上的点的最短距离为4cm，则过点P的圆的切线长为（）A．4cm B．cm C．cm D．6cm9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，点A，B在直线l上．将Rt△ABC沿直线l向右作无滑动翻滚，则Rt△ABC翻滚一周时点A经过的路线长是（）A．5π B． C． D．10．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①﹣3＜a≤1；②当时，x=y；③当a=﹣2时，方程组的解也是方程x+y=5+a的解；④若x≤1，则y≥2．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．已知∠A与∠B互余，若∠A=20°15′，则∠B的度数为．12．数据2，2，6，3，﹣3，﹣1的平均数是，中位数是．13．分解因式：﹣3x+6x2﹣3x3=．14．已知：⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=8∠C，则∠C的度数是．15．已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．若△ABC为等腰三角形，则k的值为．16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且BD=CE=BC．若∠A=25°，则∠BFC=；若∠A=45°且BF：CF=5：12，则AE：AB=．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．用若干火柴首尾相接摆成一个长方形．设一根火柴的长度为1，长方形的两邻边的长分别为x，y，要求摆成的长方形的面积为18．（1）求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；（2）能否摆成正方形？请说明理由．18．若z=3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）（1）若x，y均为整数，求证：当x是3的倍数时，z能被9整除；（2）若y=x+1，求z的最小值．19．在A，B，C，D四张卡片上分别用一句话描述了一个图形，依次为：A：内角和等于外角和的一半的正多边形；B：一个内角为108°的正多边形；C：对角线互相平分且相等的四边形；D：每个外角都是36°的多边形．（1）依次说出这四张卡片上描述的图形名称；（2）从这四张卡片中任取两张，描述的图形都既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是多少（利用树状图或列表来求解）？20．已知在△ABC中，AB=4，AC=3，AB与AC的夹角为α，设△ABC的面积为S．（1）求S关于α的函数表达式；（2）何时△ABC的面积最大？请用尺规作出它（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹），并计算出此时的面积．21．写出以下命题的逆命题，判断逆命题的真假．若为假命题，请举反例；若为真命题，请给予证明．（1）一次函数y=kx+b，若k＞0，b＜0，则它的图象不经过第二象限；（2）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等．22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接OC，作直线BD∥OC交⊙O于点D．点P是直线BD上的动点，连接AP．（1）求证：点C是的中点；（2）连接CD，问∠ABD为多少度时，四边形CDBO是菱形？（3）①当AP在AC的左侧时，求证：∠CAO=∠APB+∠PAC；②当AP在∠CAB的内部时，①的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出这三个角之间的数量关系；③当AP在AB的右侧时，请直接判断①和②中的结论是否成立，不需证明．23．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，4）．（1）试写出b，c之间的关系式；（2）当a＞0时，若一次函数y=x+4的图象与y轴及该抛物线的交点依次为D，E，F，且E，F的横坐标x1与x2之间满足关系x2=6x1．①求△ODE与△OEF的面积比；②是否存在a，使得∠EPF=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

2019年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列各数中，整数部分为3的数是（）A．π B． C． D．【考点】估算无理数的大小．【分析】直接利用π≈3.14，进而求出即可．【解答】解：∵π≈3.14，∴π的整数部分为3的数．故选：A．【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确记忆π的近似值是解题关键．2．如图三视图所表示的几何体是（）A．直三棱柱 B．直四棱柱 C．圆锥 D．不存在【考点】由三视图判断几何体．【分析】利用三视图进而判断几何体的形状，即可得出答案．【解答】解：如图所示：由三视图无法得出几何体的形状．故选：D．【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确利用三视图判断出几何体的形状是解题关键．3．某校为了解九年级11个班级学生（2019•下城区一模）在下列各式的变形中，正确的是（）A．（﹣x﹣y）（﹣y+x）=﹣x2﹣y2 B．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4C． D．（x﹣y）﹣1=y﹣x【考点】平方差公式；分式的混合运算；负整数指数幂；配方法的应用．【分析】分别利用平方差公式以及配方法和负整数指数幂的性质化简求出即可．【解答】解：A、（﹣x﹣y）（﹣y+x）=﹣x2+y2，故此选项错误；B、x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，正确；C、1﹣=，故此选项错误；D、（x﹣y）﹣1=，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了平方差公式以及配方法和负整数指数幂的性质等知识，正确化简各式是解题关键．5．买1根油条和3个大饼共7元，买3根油条和1个大饼共5元．下列说法中正确的是（）A．买1根油条和1个大饼共2.5元B．2根油条比1个大饼便宜C．买2根油条和4个大饼共9元D．买5根油条和7个大饼共19元【考点】二元一次方程组的应用．【分析】利用买1根油条和3个大饼共7元，买3根油条和1个大饼共5元，分别得出方程求出即可．【解答】解：设1根油条x元，1个大饼y元，根据题意可得：，解得：，故买5根油条和7个大饼共19元．故选：D．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．6．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，若BC：AC=3：4，BD平分∠ABC交AC于点D，则tan∠DBC的值为（）A． B． C． D．【考点】解直角三角形；角平分线的性质．【分析】作DE⊥AB于E，设BC为3x，则AC为4x，求出AB=5x，设CD为a，根据勾股定理，用x表示a，根据三角函数的概念求出tan∠DBC的值．【解答】解：作DE⊥AB于E，在Rt△ABC中，设BC为3x，则AC为4x，根据勾股定理，AB=5x，设CD为a，BD平分∠ABC，则DE=CD=a，AD=4x﹣a，AE=5x﹣3x=2x，在Rt△ADE中，AD2=DE2+AE2，即（4x﹣a）2=a2+（2x）2，解得，a=x，tan∠DBC=故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形和角平分线的知识，掌握锐角三角函数的概念、理解角平分线的性质是解题的关键，正确作出辅助线构造直角三角形是重要环节．7．对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y=4，则当x≥8时，有（）A．最小值y= B．最小值y=﹣1 C．最大值y= D．最大值y=﹣1【考点】反比例函数的性质．【分析】根据自变量的取值范围、函数的最大值，可得图象位于第二象限，根据第二象限内反比例函数y随x的增大而增大，可得最大值时的自变量，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据自变量的取值范围，可得函数值的取值范围．【解答】解：由当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y=4，得x=﹣1时，y=4．k=﹣1×4=﹣4，反比例函数解析式为y=﹣，当x≥8时，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，当x=8时，y最小值=﹣，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的性质，利用当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y=4得出函数图象位于第二项是解题关键．8．在直径为8cm的圆外有一点P，点P到圆上的点的最短距离为4cm，则过点P的圆的切线长为（）A．4cm B．cm C．cm D．6cm【考点】切线的性质；点与圆的位置关系．【分析】作射线PO，得到点P到圆上的点的最短距离，根据切割线定理，列出算式，求出切线长．【解答】解：如图作射线PO，交⊙O与A、B两点，则PA为点P到圆上的点的最短距离为4cm，AB=8cm，PC为⊙O的切线，根据切割线定理，PC2=PA•PB=4×（4+8）=48，PC=4cm．故选：C．【点评】本题考查的是切线的性质和点与圆的位置关系，理解圆外一点到圆上的点的最短距离和最长距离是解题的关键，解答时，注意切线的有关定理的灵活运用．9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，点A，B在直线l上．将Rt△ABC沿直线l向右作无滑动翻滚，则Rt△ABC翻滚一周时点A经过的路线长是（）A．5π B． C． D．【考点】弧长的计算；旋转的性质．【分析】根据题意得出+=Rt△ABC翻滚一周时点A经过的路线长，进而求出即可．【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，∴AB=6cm，∴Rt△ABC翻滚一周时点A经过的路线长是：+=．故选：C．【点评】此题主要考查了弧长计算以及旋转的性质，得出A点运动的路线是解题关键．10．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①﹣3＜a≤1；②当时，x=y；③当a=﹣2时，方程组的解也是方程x+y=5+a的解；④若x≤1，则y≥2．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【考点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式组．【分析】用加减法解出方程组，根据方程组的解对各个选项进行判断即可．【解答】解：①+②得，x=3+a，①﹣②得，y=﹣2a﹣2，①由题意得，3+a＞0，a＞﹣3，﹣2a﹣2≥0，a≤﹣1，∴﹣3＜a≤﹣1，①不正确；②3+a=﹣2a﹣2，a=﹣，②正确；③a=﹣2时，x+y=1﹣a=3，5+a=3，③正确；④x≤1时，﹣3＜a≤﹣2，则4＞﹣2a﹣2≥2，④错．故选：B．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法，正确解出方程组是解题的关键，注意方程与不等式的综合运用．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．已知∠A与∠B互余，若∠A=20°15′，则∠B的度数为69.75°．【考点】余角和补角；度分秒的换算．【分析】根据余角定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余，直接解答，然后化为用度表示即可．【解答】解：∵∠A与∠B互余，∠A=20°15′，∴∠B=90°﹣20°15′=69°45′=69.75°．故答案为：69.75°．【点评】本题考查互余角的数量关系．理解互余的概念是解题的关键，根据余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余列式计算．12．数据2，2，6，3，﹣3，﹣1的平均数是，中位数是2．【考点】中位数；算术平均数．【分析】直接利用平均数的求法以及中位数的定义分别求出即可．【解答】解：2，2，6，3，﹣3，﹣1的平均数是：（2+2+6+3﹣3﹣1）=，按从小到大排列为：﹣3，﹣1，2，2，3，6，中位数是：=2．故答案为：，2．【点评】此题主要考查了中位数以及平均数的定义，正确把握相关定义是解题关键．13．分解因式：﹣3x+6x2﹣3x3=﹣3x（x﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式﹣3x，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：﹣3x+6x2﹣3x3=﹣3x（1﹣2x+x2）=﹣3x（x﹣1）2．故答案为：﹣3x（x﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．14．已知：⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=8∠C，则∠C的度数是20°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形对角互补和∠A=8∠C，列式计算即可．【解答】解：根据圆内接四边形对角互补得，∠A+∠C=180°，∵∠A=8∠C，∴9∠C=180°，∠C=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的计算，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键，圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补．15．已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．若△ABC为等腰三角形，则k的值为，，，2．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据等腰三角形的判定分类讨论：当AB=BC时，当AB=AC时，当AC=BC时，根据勾股定理，可得答案．【解答】解：化为一般式，得y=kx2+（﹣2+k）x﹣2，当y=0时，kx2+（﹣2+k）x﹣2=0，解得x=﹣1，x=，即A（﹣1，0），B（，0），当x=0时，y=﹣2，即C（0，﹣2）．当AB=BC时，=+1，化简，得=3，解得k=当AB=AC时，±=+1，化简，解得k=或k=；当AC=BC时，=，化简，得=﹣1，或=﹣1，解得k=﹣2（不符合题意要舍去），或k=2，故答案为：，，，2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数值与自变量的对应关系，分类讨论是解题关键，以防遗漏．16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且BD=CE=BC．若∠A=25°，则∠BFC=130°；若∠A=45°且BF：CF=5：12，则AE：AB=2：3．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】连接AF，根据三角形外角的性质可得∠BEF+∠BDC=∠∠BAC+∠BFC，再根据等腰三角形的性质可得到∠BFC=180°﹣2∠BAC，可求得∠BFC的大小；由条件可求得∠BFC=90°，根据勾股定理可求得BC，EF，在Rt△BEF中，可求得BE，过O作OC⊥AB于点O，根据等腰三角形的性质可得到EO，可求得AE和AB，可求得答案．【解答】解：如图1，连接AF，则∠BEF=∠EAF+∠AFE，∠BDC=∠FAD+∠FDA，∴∠BEF+∠BDC=∠BAC+∠EFD=∠BAC+∠BFC，在△BCE中，由BC=CE，∴∠BEF=∠ABC，同理∠ACB=∠BDC，∴∠BEF+∠BDC=∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC，∴∠BFC=180°﹣2∠BAC=130°；当∠A=45°时，由上可得∠BFC=90°，∵BF：CF=5：12，∴可设BF=5x，CF=12x，在Rt△BCF中，由勾股定理可知BC=13x，则EF=13x﹣12x=x，在Rt△BEF中，由勾股定理可得BE==x，如图2，过O作CO⊥AB，垂足为O，∵BC=EC，∴OE=BE=x，在Rt△CEO中，由勾股定理可得CO==x，∵∠A=45°，∴AO=CO=x，∴AE=AO﹣OE=x﹣x=2x，∴AB=AE+BE=3x，∴=，故答案为：130°；2：3．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和勾股定理，先求得∠A和∠BFC的关键是解题的关键，在第二空中注意勾股定理和等腰三角形性质的运用．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．用若干火柴首尾相接摆成一个长方形．设一根火柴的长度为1，长方形的两邻边的长分别为x，y，要求摆成的长方形的面积为18．（1）求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；（2）能否摆成正方形？请说明理由．【考点】反比例函数的应用．【分析】（1）根据长方形的长=面积÷宽列出函数解析式即可；（2）正方形的边长相等，说明x、y相等，进一步开方，是整数即可，否则不成立．【解答】解：（1）y=（x=1，2，3，6，9，18）；（2）不能摆成正方形．理由如下：因为x2=18，x=3，不是整数，所以不能摆成正方形．【点评】此题考查反比例函数的实际运用，掌握长方形和正方形的面积计算公式是解决问题的关键．18．若z=3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）（1）若x，y均为整数，求证：当x是3的倍数时，z能被9整除；（2）若y=x+1，求z的最小值．【考点】因式分解的应用；二次函数的最值．【分析】（1）首先利用整式的乘法计算方法计算，进一步合并求证得出答案即可；（2）把y=x+1代入（1）中，整理利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）证明：z=3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）=9xy﹣3x2﹣（4x2+9xy﹣9y2）=9xy﹣3x2﹣4x2﹣9xy+9y2=﹣7x2+9y2∵x是3的倍数时，∴z能被9整除．（2）当y=x+1时，则z=﹣7x2+9（x+1）2=2x2+18x+9=2（x+）2﹣∵2（x+）2≥0∴z的最小值是﹣．【点评】此题考查二次函数的性质，整式的混合运算，利用整式的计算方法先化简是解决问题的关键．19．在A，B，C，D四张卡片上分别用一句话描述了一个图形，依次为：A：内角和等于外角和的一半的正多边形；B：一个内角为108°的正多边形；C：对角线互相平分且相等的四边形；D：每个外角都是36°的多边形．（1）依次说出这四张卡片上描述的图形名称；（2）从这四张卡片中任取两张，描述的图形都既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是多少（利用树状图或列表来求解）？【考点】列表法与树状图法；多边形．【分析】（1）根据正多边形的长性质以及矩形的判定方法逐项分析即可得到四张卡片上描述的图形名称；（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）A：内角和等于外角和的一半的正多边形是等边三角形；B：一个内角为108°的正多边形是正五边形；C：对角线互相平分且相等的四边形是矩形；D：每个外角都是36°的多边形是正十边形；（2）根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是既是轴对称图形又是中心对称图形的共有2种情况，所以既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是=．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．已知在△ABC中，AB=4，AC=3，AB与AC的夹角为α，设△ABC的面积为S．（1）求S关于α的函数表达式；（2）何时△ABC的面积最大？请用尺规作出它（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹），并计算出此时的面积．【考点】作图—复杂作图；函数关系式；解直角三角形．【分析】（1）因为AB与AC的夹角α是钝角还是锐角不确定，所以要分两种情况分别讨论求出S关于α的函数表达式；（2）当夹角α，为90°时，则△ABC的面积最大，由此用尺规作图即可，再利用三角形面积公式计算即可．【解答】解：（1）当AB与AC的夹角α是锐角时，如图1所示：S=AB•CD=×4×3×sinα=6sinα；当AB与AC的夹角α是钝角时，如图2所示：S=AB•CD=×4×3×sin（180°﹣α），=6sin（180°﹣α）；（2）当夹角α为90°时，则△ABC的面积最大，尺规作图如下：S=AB•CD=6．【点评】本题考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．21．写出以下命题的逆命题，判断逆命题的真假．若为假命题，请举反例；若为真命题，请给予证明．（1）一次函数y=kx+b，若k＞0，b＜0，则它的图象不经过第二象限；（2）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等．【考点】命题与定理．【分析】（1）把命题的题设与结论交换，再根据一次函数的图象的性质判断即可；（2）把题设与结论交换，然后作出图形，根据中点性质可得BD=CD，利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，再利用等角对等边证明AB=AC即可．【解答】解：（1）逆命题：一次函数y=kx+b，若它的图象不经过第二象限，则k＞0，b＜0，是假命题，k＞0，b=0也可以；（2）逆命题，一边上的中点到其余两边的距离相等的三角形是等腰三角形；已知：如图，D为BC的中点，且DE=DF，求证：三角形ABC为等腰三角形；证明：如图，∵DE=DF，BD=CD∴∠DEB=∠DFC=90°，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接OC，作直线BD∥OC交⊙O于点D．点P是直线BD上的动点，连接AP．（1）求证：点C是的中点；（2）连接CD，问∠ABD为多少度时，四边形CDBO是菱形？（3）①当AP在AC的左侧时，求证：∠CAO=∠APB+∠PAC；②当AP在∠CAB的内部时，①的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出这三个角之间的数量关系；③当AP在AB的右侧时，请直接判断①和②中的结论是否成立，不需证明．【考点】圆的综合题；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定．【专题】综合题．【分析】（1）连接OD，如图1，要证点C是的中点，只需证到∠COD=∠AOC即可；（2）要想四边形CDBO是菱形，应有OD=OC=OB=BD，应有∠ABD=60°；（3）①延长OC交AP于点E，如图2，由OE∥BP可得∠AEO=∠APB，由OA=OC可得∠CAO=∠ACO，根据三角形外角的性质可得∠ACO=∠AEO+∠PAC，即可得到∠CAO=∠APB+∠PAC；②设AP与OC交于点E，如图3，同理可得∠APB=∠CAO+∠PAC；③设AP与CO的延长线交于点E，连接AD，如图4，由OC∥BP可得∠AEO=∠APB，由OA=OC可得∠CAO=∠ACO．根据三角形内角和定理可得∠AEO+∠ACO+∠PAC=180°，即可得到∠APB+∠CAO+∠PAC=180°．易证∠CAO＜90°，∠APB＜90°，因而①和②中的结论都不成立．【解答】解：（1）连接OD，如图1，∵OC∥BD，∴∠COD=∠ODB，∠AOC=∠OBD．∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∴∠COD=∠AOC，∴，即点C是的中点；（2）当∠ABD=60°时，∵OD=OB，∴△ODB是等边三角形，∴OB=OD=BD，∴OC=BD．∵OC∥BD，∴四边形CDBO是平行四边形．∵OB=OC，∴平行四边形CDBO是菱形；（3）①证明：延长OC交AP于点E，如图2，∵OE∥BP，∴∠AEO=∠APB．∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO．∵∠ACO=∠AEO+∠PAC，∴∠CAO=∠APB+∠PAC；②当AP在∠CAB的内部时，①中的结论不成立．设AP与OC交于点E，如图3，∵OC∥BP，∴∠AEO=∠APB．∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO．∵∠AEO=∠ACO+∠PAC，∴∠APB=∠CAO+∠PAC；③当AP在AB的右侧时，①和②中的结论都不成立．理由：设AP与CO的延长线交于点E，连接AD，如图4，∵OC∥BP，∴∠AEO=∠APB．∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO．∵∠AEO+∠ACO+∠PAC=180°，∴∠APB+∠CAO+∠PAC=180°．∵∠CAO＜90°，∴∠APB+∠PAC=180°﹣∠CAO＞90°，∴∠CAO≠∠APB+∠PAC；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠APB＜90°，∴∠CAO+∠PAC=180°﹣∠APB＞90°，∴∠APB≠∠CAO+∠PAC；综上所述：当AP在AB的右侧时，①和②中的结论都不成立．【点评】本题主要考查了在同圆或等圆中弧与圆心角的关系、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、菱形的判定等知识，有一定的综合性，运用平行线的性质及