西安爱知初级中学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测题(有答案解析)

一、选择题1．设，，则a，b，c的大小关系()A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a2．如图，由曲线直线和轴围成的封闭图形的面积是（

）A． B． C． D．3．曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为()A．(sinx－cosx)dx B．2(sinx－cosx)dxC．(cosx－sinx)dx D．2(cosx－sinx)dx4．设，则的大小关系为（）A． B． C． D．5．若正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心）的侧棱长为，侧面与底面所成的角是，则该正四棱锥的体积是（）A． B． C． D．6．曲线与直线以及轴所围图形的面积为（）A．2B．C．D．7．的值是（）A． B． C． D．8．使函数图象与轴恰有两个不同的交点，则实数可能的取值为（）A．8 B．6 C．4 D．29．曲线与直线围成的封闭图形的面积是A． B． C． D．10．由曲线，直线所围成的平面图形的面积为（）A． B． C． D．11．已知，且，则的值为（）A． B． C． D．12．若函数f(x)＝cosx＋2xf′，则f与f的大小关系是()A．f＝f B．f＞f C．f＜f D．不确定二、填空题13．已知函数则___________14．若，，，则，，的大小关系为___．15．若，则实数t的取值范围是_____________.16．由曲线与直线所围成图形的面积等于________．17．曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为______．18．由，，，四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．19．由直线与曲线围成的封闭图形的面积是__________．20．曲线和曲线围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________．三、解答题21．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：）满足关系，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）求的值及的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值.22．计算下列各式的值．（1）；（2）．23．已知函数.（1）若在处有极值，问是否存在实数m，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.；（2）若，设.①求证：当时，；②设，求证：24．已知函数（1）当时，解不等式；（2）若二次函数的图象在函数的图象下方，求的取值范围·25．已知.（Ⅰ）写出的最小正周期；（Ⅱ）求由以及围成的平面图形的面积．26．已知函数且在处的切线的斜率为.（1）求的值，并讨论在上的单调性；（2）设若对任意,总存在使得成立，求的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】借助定积分的计算公式可算得，，，所以，应选答案A。2．D解析：D【解析】由曲线直线和轴围成的封闭图形的面积是3．D解析：D【解析】(-sinx+cosx)dx(sinx-cosx)dx=2(cosx－sinx)dx,选D.点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．4．D解析：D【解析】根据微积分定理，，，，所以，故选择D。5．B解析：B【解析】设底面边长为，依据题设可得棱锥的高，底面中心到顶点的距离，由勾股定理可得，解之得，所以正四棱锥的体积，故应选答案B．6．A解析：A【解析】试题分析：在抄纸上画出图像，可根据图像列出方程====2考点：区间函数的运用7．A解析：A【详解】因为定积分，结合定积分的几何意义可知,原式等于圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去得到，即为，选A.8．C解析：C【解析】f′(x)=6x2−18x+12，令f′(x)=0得x2−3x+2=0，解得x=1，或x=2.∴当x<1或x>2时,f′(x)>0，当1<x<2时,f′(x)<0，∴f(x)在(−∞,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增，∴当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5−a，当x=2时,f(x)取得极小值f(2)=4−a，∵f(x)只有两个零点，∴5−a=0或4−a=0，即a=5或a=4.本题选择C选项.9．D解析：D【解析】曲线与直线的两个交点坐标分别为(,),(,),则封闭图形的面积为本题选择D选项.点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．(3)若y＝f(x)为奇函数，则＝0.10．C解析：C【详解】由，解得，解得，解得，所围成的平面图形的面积为，则，，故选C.11．A解析：A【分析】利用微积分基本定理，可计算得，又利用赋值法，令，可得解【详解】由题意令有：令有：故故选：A【点睛】本题考查了导数、定积分和二项式定理综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题12．C解析：C【解析】依题意得f′(x)＝－sinx＋2f′，所以f′＝－sin＋2f′，f′＝，f′(x)＝－sinx＋1，因为当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)＝cosx＋x在上是增函数，所以f＜f,选C.二、填空题13．【分析】利用定积分的计算法则可得由基本初等函数的求导公式求得原函数即可求解【详解】因为函数所以故答案为:【点睛】本题考查定积分的几何意义和定积分的计算法则及基本初等函数的求导公式;属于中档题解析：【分析】利用定积分的计算法则可得，由基本初等函数的求导公式求得原函数即可求解.【详解】因为函数,所以,故答案为:【点睛】本题考查定积分的几何意义和定积分的计算法则及基本初等函数的求导公式;属于中档题.14．【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分再比较它们的大小即可【详解】故答案为：【点睛】本小题主要考查定积分的计算不等式的大小比较等基础知识考查运算求解能力属于中档题解析：【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．【详解】故答案为：【点睛】本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．15．【分析】利用数列的极限的运算法则转化求解即可【详解】解：当|t|≥2时可得可得t＝﹣2当|t|＜2时可得：综上可得：实数t的取值范围是：﹣22）故答案为﹣22）【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的解析：【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解即可．【详解】解：当|t|≥2时，，可得，可得t＝﹣2．当|t|＜2时，可得：，综上可得：实数t的取值范围是：[﹣2，2）．故答案为[﹣2，2）．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．16．【分析】根据定积分的几何意义得到积S＝(ex＋x)dx由牛顿莱布尼茨公式可得到答案【详解】根据定积分的几何意义得到面积S＝(ex＋x)dx＝故答案为【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义以及常见函数解析：【分析】根据定积分的几何意义得到积S＝(ex＋x)dx，由牛顿莱布尼茨公式可得到答案.【详解】根据定积分的几何意义得到，面积S＝(ex＋x)dx＝故答案为【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求法.17．【分析】首先求得两个函数交点的坐标然后利用定积分求得封闭图形的面积【详解】根据解得画出图像如下图所示封闭图像的面积为【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积考查运算求解能力属于基础题解题过程解析：【分析】首先求得两个函数交点的坐标，然后利用定积分求得封闭图形的面积.【详解】根据解得.画出图像如下图所示，封闭图像的面积为.【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积，考查运算求解能力，属于基础题.解题过程中首先求得两个函数图像的交点坐标，然后画出图像，判断出所要求面积的区域，然后利用微积分基本定理求得封闭图形的面积.18．【解析】【分析】根据分的几何意义得到直线y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为【详解】根据余弦函数的对称性可得直线y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为故答案为：【点睛】本题考查解析：【解析】【分析】根据分的几何意义得到直线，，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为【详解】根据余弦函数的对称性可得，直线，，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为故答案为：.【点睛】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间与被积函数，属于中档题.19．【解析】作出两条曲线所对应的封闭区域如图所示由得解得或则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积故答案为解析：【解析】作出两条曲线所对应的封闭区域，如图所示，由，得，解得或，则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积，故答案为．20．【分析】先求出两个曲线的交点坐标得所求阴影部分应该是曲线从0到1的一段投影到x轴的面积减去曲线从0到1的一段投影到x轴的面积最后根据定积分的几何意义用积分计算公式可以算出阴影部分面积【详解】设阴影部解析：【分析】先求出两个曲线的交点坐标，得所求阴影部分应该是曲线从0到1的一段投影到x轴的面积减去曲线从0到1的一段投影到x轴的面积，最后根据定积分的几何意义，用积分计算公式可以算出阴影部分面积.【详解】设阴影部分面积为S，由题意得两个图象的交点为，.故答案为:.【点睛】本题着重考查了定积分的几何意义和积分的计算公式等知识点，属于中档题.三、解答题21．（1）；（2）当隔热层修建7.5cm厚时，总费用最小，最小费用70万元.【解析】试题分析：（I）根据c（0）=8计算k，从而得出f（x）的解析式；（II）利用基本不等式得出f（x）的最小值及等号成立的条件．试题（1）当时，，∴.由题意知，，即.（2）∵∴，令，即，∴.当时，，当时，，当时，取得最小值..所以，当隔热层修建7.5cm厚时，总费用最小，最小费用70万元.22．（1）；（2）【分析】（1）由题得，计算即得解；（2）如图，先求出扇形的面积，再利用定积分的几何意义求解即可.【详解】（1）由题得；（2）令，因为等于轴和曲线所围成的曲边梯形的面积，如图扇形，扇形的面积为，所以.【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查圆的方程的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.23．（1）存在，；（2）①证明见解析；②证明见解析.【分析】（1）根据微积分基本定理求得，由，求得参数；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数的范围；（2）①求得，利用导数求得的单调性，即可容易证明；②由①中所求，可得，利用对数运算，即可证明.【详解】由题可知，.（1）由，可得，.又当时，，故在区间单调递减，在单调递增.故函数在处取得极值，所以.∵，.∴，当时，由上述讨论可知，单调递增，故不等式对任意及恒成立，即：，即：对恒成立，令，，即，且，整理得，且，解得：，即为所求.（2）①∵，当时，，在上单调递减，即证.②由①可得：令：，得，即：=即证.【点睛】本题考查由极值点求参数值，利用导数由恒成立问题求参数范围，以及利用导数证明不等式以及数列问题，属压轴题.24．（1）；（2）．【解析】【分析】时，将不等式移项平方分解因式可解得；根据题意，只需要考虑时，两函数的图象位置关系，利用抛物线的切线与抛物线的位置关系做．【详解】当时，不等式化为：，移项得，平方分解因式得，解得，解集为．化简得，根据题意，只需要考虑时，两函数的图象位置关系，当时，，由得，设二次函数与直线的切点为，则，解得，所以，代入，解得，所以a的取值范围是．【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，以及导数的几何意义的应用问题，其中解答中熟记含绝对值不等式的求解方法，合理分类是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．25．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期函数求得函数的最小正周期．（2）利用（1）中的解析式，运用定积分求得面积．【详解】（Ⅰ）∵,∴.∴的最小正周期为.（Ⅱ）设由，，，以及围成的平面图形的面积为，∵，∴.∵，∴.∴由，，以及围成的平面图形的面积为.【点睛】【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，定积分在求面积中