辽宁省锦州市北宁中学高三数学理上学期摸底试题含解析

辽宁省锦州市北宁中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给出下列命题：（1）设随机变量X～N（1，52），且P（X≤0）=P（X＞a﹣2），则实数a的值为4．（2）已知事件A、B是相互独立事件，若P（A）=0.15，P（B）=0.60，则P（B）=0.51（表示事件A的对立事件）．（3）（+）18的二项展开式中，共有4个有理项．（4）由曲线y=3﹣x2和直线y=2x所围成的面积为．则其中真命题的序号是（）A．（1）、（2） B．（1）、（3） C．（2）、（3） D．（1）、（2）、（3）、（4）参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】概率与统计．【分析】（1）依题意，知P（X≤0）=P（X＞2）=P（X＞a﹣2），即a﹣2=2，于是可求得实数a的值，可判断（1）；（2）利用相互独立事件与对立事件的概率公式，可知P（B）=P（）P（B）=[1﹣P（A）]P（B），计算后可判断（2）（表示事件A的对立事件）；（3）利用（+）18的二项展开式的通项公式Tr+1=??=?（0≤r≤18），令6﹣为整数，可求得r的值，从而可判断（3）；（4）作出曲线y=3﹣x2和直线y=2x所围成的图形，设其面积为S，利用微积分基本定理计算后可判断（4）．【解答】解：对于（1），∵随机变量X～N（1，52），∴P（X≤0）=P（X＞2），∵P（X≤0）=P（X＞a﹣2），∴a﹣2=2，解得：a=4，即实数a的值为4，故（1）正确；对于（2），事件A、B是相互独立事件，P（A）=0.15，P（B）=0.60，则P（B）=P（）P（B）=[1﹣P（A）]P（B）=0.85×0.60=0.51（表示事件A的对立事件），故（2）正确；对于（3），（+）18的二项展开式中，Tr+1=??=?（0≤r≤18），当r=0、6、12、18时，6﹣为整数，即（+）18的二项展开式中共有4个有理项，故（3）正确；对于（4），由曲线y=3﹣x2和直线y=2x所围成的图形如下，设阴影部分的面积为S，由得：x2+2x﹣3=0，解得：x=﹣3或x=1，则S=（3﹣x2﹣2x）dx=（3x﹣﹣x2）=（2﹣）﹣（﹣9+9﹣9）=，故（4）正确．综上所述，其中真命题的序号是：（1）（2）（3）（4）．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，综合考查正态分布、概率与统计、微积分基本定理及二项式定理的应用，属于难题．2.函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示．若集合,，则中元素的个数为（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C【知识点】函数图象函数及其表示【试题解析】因为即，

即

所以，

中元素的个数为

3

故答案为：C3.已知双曲线：，当双曲线C1的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线C2：的焦点、若A、B是抛物线C2上两点，，则AB中点的横坐标为（

）A. B.2 C. D.3参考答案：B【分析】根据二次函数取得最小值的条件，求得，从而可得双曲线方程，再根据双曲线的焦点坐标求得抛物线的焦点坐标，可得抛物线方程，然后根据抛物线的定义和中点坐标公式可得答案.【详解】由题意可得，即有，由，可得当时，焦距取得最小值，所以双曲线的方程为，于是右焦点为，即抛物线的焦点为，所以，，则抛物线：，准线方程，设，，∴，解得，∴线段的中点横坐标为2.故选：B【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的几何性质，考查了二次函数求最值，考查了抛物线的定义，属于基础题.4.函数，在区间上任取一点，则的概率为（）．A.

B.C.

D.参考答案：A5.若函数f(x)的导函数，的部分图象如图所示，，当时，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．3参考答案：C由图得再将代入中，得，则，结合，令可得，（为常数），当时，，则：

6.在5×5的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为(

)A．150

B．200

C．600

D．1200参考答案：D略7.如图，点列{An}、{Bn}分别在锐角两边（不在锐角顶点），且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合），若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（）A．{dn}是等差数列 B．{Sn}是等差数列C．{d}是等差数列 D．{S}是等差数列参考答案：B【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d?hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到数列{Sn}为等差数列【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，则{dn}不一定是等差数列，{dn2}不一定是等差数列，设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，由三角形的相似可得==，==，两式相加可得，==2，即有hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d?hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，则数列{Sn}为等差数列．故选：B．【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．8.如图，元件Ai（i=1，2，3，4）通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是（） A．0.729 B． 0.8829 C． 0.864 D． 0.9891参考答案：B略9.已知函数若a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），则的取值范围是(

)A．（4，13） B．（8，9） C．（23，27） D．（13，15）参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】画出图象得出当f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c时，0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，化简3ab+=3+c，即可求解范围解：函数，f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c，∴0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，∴3ab+=3+c，13＜3+c＜15，故选：D．【点评】本题考查了函数的性质，运用图象得出a，b，c的范围，关键是得出ab=1，代数式的化简，不等式的运用，属于中档题10.已知双曲线的离心率为2，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是2，则抛物线的方程是A. B. C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图是圆心角为直角的扇形，则该几何体的体积为

．参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥的一部分，结合三视图中的数据，求出几何体的体积．解答： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆锥的一部分，且底面是半径为2的圆面，高为2，∴该几何体的体积为：V几何体=×π?22×2=．故答案为：．点评：本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，解题的根据是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．12.上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为

参考答案：13.如图，在中，分别是上一点，满足，若，则的面积为

参考答案：过点作于，如图所示．由，知，再由，得．设，则．又，得，，．于是勾股定理，得．又由余弦定理，得．又，所以，所以，解得或（舍去），所以＝．14.若数列为等差数列，且，则的值等于

参考答案：略15.现有边长为3，4，5的两个三角形纸板和边长为4，5，的两个三角形纸板，用这四个三角形围成一个四面体，则这个四面体的体积是_______________。参考答案：答案：816.已知函数，若方程f（x）=t恰有3个不同的实数根，则实数t的取值范围是

．参考答案：（0，2）

【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意，画出已知函数的图象，结合图象找出满足与y=t有三个交点的t的范围．【解答】解：已知函数的图象如图：方程f（x）=t恰有3个不同的实数根，则圆锥函数图象与y=t有三个交点，由图象可知，当t∈（0，2）满足题意；故答案为：（0，2）17.若表示不超过x的最大整数（如：等等），则

．参考答案：2017所以，因此2017

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：答对题目个数0123人数5102015根据上表信息解答以下问题：（Ⅰ）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；（Ⅱ）从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX.参考答案：解（Ⅰ）记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A，则

………（3分）

，…………………（5分）

即两人答对题目个数之和为4或5的概率为

……（6分）（Ⅱ）依题意可知X的可能取值分别为0，1，2，3.

则………（7分）

……（8分）

………………（9分）

…………（10分）从而X的分布列为：X0123…………（11分）PX的数学期望……………（12分）19.在数列中，，．（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．参考答案：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即bn+1=bn+，从而b2=b1+，……1分b3=b2+，bn=bn﹣1+（n≥2）．……3分于是bn=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为bn=2﹣．……………6分（2）由（1）知an=2n﹣，故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设Tn=1++++…+，①Tn=+++…++，②……………8分①﹣②得，Tn=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，……………10分∴Tn=4﹣．∴Sn=n（n+1）+﹣4．……………12分略20.提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x≤200时，车流速度v与车流密度x满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．（Ⅰ）当0＜x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x?v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到个位，参考数据）参考答案：考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（I）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在50≤x≤200时的表达式，根据分式函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（II）先在区间（0，50]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（50）=1500，然后在区间[50，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．解答：解：（I）由题意：当0＜x≤50时，v（x）=30；当50≤x≤200时，由于，再由已知可知，当x=200时，v（0）=0，代入解得k=2000．故函数v（x）的表达式为．…（6分）（II）依题意并由（I）可得，当0≤x≤50时，f（x）=30x，当x=50时取最大值1500．当50＜x≤200时，f（x）=40x﹣=12000﹣[40（250﹣x）+]≤12000﹣2=12000﹣4000≈12000﹣4000×2.236=3056．取等号当且仅当，即x=250﹣50≈138时，f（x）取最大值．（这里也可利用求导来求最大值）综上，当车流密度为138辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时．…（14分）点评：本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．21.已知向量＝，＝(cosx，－1)．(1)当∥时，求的值；(2)设函数f(x)＝2(＋)·，求f(x)在[0，]上的取值范围．参考答案