浙江省台金七校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省台金七校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知复数，则（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗，.故选：B.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.3.已知向量，，，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.4.在中，N是上的点，若，则实数m的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知三点共线，设，所以，又因为，所以.故选：C.5.如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，P在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（）.A.存在点P，使得与异面B.三棱锥的体积与P点位置无关C.若P为中点，三棱锥的体积为D.若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面为三角形〖答案〗B〖解析〗正方体中，，与都在平面内，所以与不可能异面，A选项错误；三棱锥，底面积，棱锥的高，则，由，所以三棱锥的体积为定值，与P点位置无关，B选项正确，C选项错误；若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面梯形，D选项错误.故选：B.6.雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，；在中，；由图可知，易知，在中，，根据正弦定理可得：，则.故选：C.7.设O为的内心，，，，则（）.A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中点，连，因为，，所以，，所以的内心在线段上，为内切圆的半径，因为，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所以.故选：B.8.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由三角形面积公式及余弦定理可得：，即，可得，由，可知，所以，所以，即，由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，即，解得，又，所以.故选：D.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分.）9.下列命题正确的是（）A.已知，是两个不共线的向量，，，则与可以作为平面向量的一组基底B.在中，，，，则这样的三角形有两个C.已知是边长为2的正三角形，其直观图的面积为D.已知，，若与的夹角为钝角，则k的取值范围为〖答案〗ABC〖解析〗因为，是两个不共线的向量，且，，所以与不共线，则与可以作为平面向量的一组基底，故A正确；因为在中，，，，由正弦定理可得，所以，即有两个角，故B正确；因为是边长为2的正三角形，则，设其直观图的面积为，因为直观图的面积与平面图形的面积比为，即，故C正确；因为，，则，设与的夹角为，则，且，解得且，故D错误.故选：ABC.10.已知复数，，下列结论正确的有（）A.B.若，则C.D.若，则点z的集合所构成的图形的面积为〖答案〗ACD〖解析〗设，，对于A，，，故选项A正确；对于B，当为虚数时，可以比较大小，不能比较大小，故选项B不正确；对于C，由复数模的运算性质可知，，，，所以，故选项C正确；对于D，若，则复平面内点z的集合所构成的图形是以为圆心，半径为1和的两圆之间的圆环，面积为，故选项D正确.故选：ACD.11.直三棱柱的六个顶点均位于一个半径为2的球的球面上，，，则该直三棱柱的体积可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗设底面外接圆的半径为，则，，设直三棱柱的高为，外接球的半径为，则，则，在中，分别为角所对的边，，，由正弦定理得，则，，∴，，则，，，，，即，∴，所以.故选：BCD.三、填空题：（本题共3题，每小题5分，共15分.）12.已知，，则向量在向量上的投影向量为________.（用坐标表示）〖答案〗〖解析〗向量在向量上的投影向量为.故〖答案〗为：.13.已知圆锥的侧面积为，其侧面展开图是四分之一的圆，则圆锥的体积为________.〖答案〗〖解析〗设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，由侧面展开图是四分之一的圆知，故，则侧面积，解得，则，圆锥的高，所以圆锥的体积为.故〖答案〗为：.14.在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗，又，由，解得，由，得，则有，，则有，，则有，所以有，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，由正弦定理得的外接圆半径，则有，，，，为中点，，，当与方向相同时，有最大值，当与方向相反时，有最小值，所以的最大值为，最小值为，即的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知平面向量，.（1）若与垂直，求k；（2）若向量，若与共线，求.解：（1）因为，，所以，，因为与垂直，所以，整理得，解得.（2）因为，，，所以，，因为与共线，故，所以，解得，所以，，所以.16.如图，在直角梯形中，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.（1）求该几何体的表面积；（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离.解：（1）如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，其表面积为.（2）将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，因为圆台上下底面半径的关系为，所以，，又∵，∴，∴，设，则的弧长，解得，连接，为等边三角形，∴，所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段，所以蚂蚁爬行最短距离为6.17.已知内角所对的边分别为且与垂直.（1）求大小；（2）若边上的中线长为，求的面积的最大值.解：（1）因为，垂直，所以.由正弦定理，得，因为，所以，，所以.（2）设边上的中线为，在中，由余弦定理得：，即①，在和中，，所以，即，，，化简得，代入①式得，，由基本不等式，∴，当且仅当取到“”；所以的面积最大值为.18.在三棱锥中.（1）若点，，，分别是棱，，，上的点，其中，，求证：，，三线共点；（2）在三棱锥中，所有棱长都为.①求三棱锥的体积；②求三棱锥外接球的表面积.解：（1）∵，，∴，，，四点共面，并且可设，∵，，又∵平面，平面，∴平面，平面，∴为平面与平面的公共点，又∵平面平面，∴，即原题设得证.（2）①以四面体的各棱为面对角线还原为棱长为的正方体，如图所示：所以，同理，所以，而，所以.②三棱锥的外接球的半径，∴外接球的表面积.19.设非空数集M，对于M中任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M；②两个元素之差属于M；③两个元素之积属于M；④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）.（1）判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；（2）若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：；（3）