数学（选修45）练习阶段质量评估1

阶段质量评估(一)基本不等式和证明不等式的基本方法A卷(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当0＜ab＜1时，若b＞0，则a＜eq\f(1,b)，若b＜0，则b＞eq\f(1,a).反之，a＜eq\f(1,b)⇒a－eq\f(1,b)＜0⇒b(ab－1)＜0.当b＞0时，ab＜1；当b＜0时，ab＞1.同理，当b＞eq\f(1,a)时，若a＞0时，则ab＞1，若a＜0，则ab＜1，所以“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)”或“b＞eq\f(1,a)”的充分而不必要条件．答案：A2．设t＝a＋2b，S＝a＋b2＋1，则下列t与S的大小关系()A．t＞S B．t≥SC．t＜S D．t≤S解析：t－S＝a＋2b－(a＋b2＋1)＝－(b2－2b＋1)＝－(b－1)2≤0，即t≤S.答案：D3．若a＞b，则下列不等关系必成立的是()A．a2＞b2 B．eq\f(b,a)＜1C．lg(a－b)＞0 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b解析：∵a，b正负不确定，而a＞b⇒a2＞b2的条件是a，b同正；a＞b⇒eq\f(b,a)＜1的条件是a＞0；a＞b⇒lg(a－b)＞0成立条件是a＞b＋1；因此A，B，C均不成立.eq\f(1,2)＜1，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x为减函数，a＞b⇒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b成立．答案：D4．已知正整数a，b满足4a＋b＝30，则使得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值时的实数对(a，b)是()A．(5,10) B．(6,6)C．(10,5) D．(7,2)解析：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))eq\f(4a＋b,30)＝eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(b,a)＋\f(4a,b)＋1))≥eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))＝eq\f(3,10)，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)且4a＋b＝30，即a＝5，b＝10时，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值．答案：A5．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么()A．ab≤c＋d且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c＋d且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c＋d且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c＋d且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一解析：∵a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，且a＋b＝cd＝4，又a＋b≥2eq\r(ab)，c＋d≥2eq\r(cd)，∴ab≤4，c＋d≥4.∴ab≤c＋d.当且仅当a＝b＝2，c＝d＝2时取等号．答案：A6．若log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，则a＋b的最小值是()A．6＋2eq\r(3) B．7＋2eq\r(3)C．6＋4eq\r(3) D．7＋4eq\r(3)解析：由题意，得ab＞0，且3a＋4b＞0，∴a＞0，b又log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，∴3a＋4b＝ab.∴eq\f(4,a)＋eq\f(3,b)＝1.∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(3,b)))＝7＋eq\f(4b,a)＋eq\f(3a,b)≥7＋2eq\r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝7＋4eq\r(3)，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(3a,b)，即a＝4＋2eq\r(3)，b＝3＋2eq\r(3)时，等号成立．答案：D二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上)7．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a，b中至少有一个实数大于1”的条件是__________.(填序号解析：对于①，a，b均可小于1；对于②，a，b均可等于1；对于④⑤，a，b均可为负数；对于③，若a，b都不大于1，则a＋b≤2，与③矛盾，故若③成立，则“a，b中至少有一个实数大于1”成立答案：③8．用分析法证明：“若a，b，m都是正数，且a＜b，则eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).”完成下列证明过程．证明：∵b＋m＞0，b＞0，∴要证原不等式成立，只需证明b(a＋m)＞a(b＋m)，即只需证明___________．∵m＞0，∴只需证明b＞a.由已知显然成立．∴原不等式成立．解析：b(a＋m)＞a(b＋m)与bm＞am等价，因此欲证b(a＋m)＞a(b＋m)成立，只需证明bm＞am即可．答案：bm＞am9．设常数a＞0，若不等式9x＋eq\f(a2,x)≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为__________.解析：由题意可知，当x＞0时，f(x)＝9x＋eq\f(a2,x)≥2eq\r(9x·\f(a2,x))＝6a≥a＋1⇒a≥eq\f(1,5)，当且仅当9x＝eq\f(a2,x)，即x＝eq\f(a,3)时等号成立．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分10分)已知ab≠0，求证：lgeq\f(|a|＋|b|,2)≥eq\f(lg|a|＋lg|b|,2).证明：∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.由基本不等式，得eq\f(|a|＋|b|,2)≥eq\r(|a||b|)＞0.∵函数y＝lgx在(0，＋∞)上为增函数，∴lgeq\f(|a|＋|b|,2)≥lgeq\r(|a||b|)＝eq\f(lg|a|＋lg|b|,2).当且仅当|a|＝|b|时，等号成立．故lgeq\f(|a|＋|b|,2)≥eq\f(lg|a|＋lg|b|,2).11．(本小题满分12分)已知a，b，c均为正数，且a＋b＞c.求证：eq\f(a,a＋1)＋eq\f(b,b＋1)＞eq\f(c,c＋1).证明：假设eq\f(a,a＋1)＋eq\f(b,b＋1)≤eq\f(c,c＋1)，则1－eq\f(1,a＋1)＋1－eq\f(1,b＋1)≤1－eq\f(1,c＋1)，即1＋eq\f(1,c＋1)≤eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋1).∵(1＋a)(1＋b)(1＋c)＋(1＋a)(1＋b)≤(1＋b)(1＋c)＋(1＋a)(1＋c)，即(c＋2)(1＋a)(1＋b)≤(1＋c)·(a＋b＋2)，∴2ab＋abc＋a＋b≤c.①又∵a＋b＞c，a，b，c＞0，∴a＋b＋2ab＋abc＞c.与①矛盾，∴假设不成立．∴eq\f(a,a＋1)＋eq\f(b,b＋1)＞eq\f(c,c＋1)成立．12．(本小题满分13分)某工厂去年生产的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝eq\f(k,\r(n＋1))(k＞0，k为常数，n∈N)．设产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求k的值，并求出函数f(n)的表达式．(2)从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？解：(1)∵g(n)＝eq\f(k,\r(n＋1))，g(0)＝8，∴k＝8.∴f(n)＝(100＋10n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(8,\r(n＋1))))－100n.(2)f(n)＝(100＋10n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(8,\r(n＋1))))－100n＝1000－eq\f(80n＋10,\r(n＋1))＝1000－80eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n＋1)＋\f(9,\r(n＋1))))≤1000－80×2eq\r(9)＝520，当且仅当eq\r(n＋1)＝eq\f(9,\r(n＋1))，即n＝8时取等号．∴第8年工厂的利润最高，最高为520万元．B卷(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系是()A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a≤b解析：∵a＝lg2＋lg5＝1，b＝ex＜1(x＜0)，∴a＞b.答案：A2．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A．(a＋3)2＜2a2＋6aB．a2＋eq\f(1,a2)≥a＋eq\f(1,a)C．|a－b|＋eq\f(1,a－b)≥2D．eq\r(a＋3)－eq\r(a＋1)＜eq\r(a＋2)－eq\r(a)解析：(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2＜0，故A恒成立；在B项中，不等式的两侧同时乘a2，得a4＋1≥a3＋a⇐(a4－a3)＋(1－a)≥0⇐a3(a－1)－(a－1)≥0⇐(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B项中的不等式恒成立；对C项中的不等式，当a＞b时，恒成立，当a＜b时，不恒成立；由不等式eq\f(2,\r(a＋3)＋\r(a＋1))＜eq\f(2,\r(a＋2)＋\r(a))恒成立，知D项中的不等式恒成立．答案：C3．已知x＞0，y＞0，则下列关系式成立的是()A．(x2＋y2)eq\f(1,2)＞(x3＋y3)eq\f(1,3) B．(x2＋y2)eq\f(1,2)＝(x3＋y3)eq\f(1,3)C．(x2＋y2)eq\f(1,2)＜(x3＋y3)eq\f(1,3) D．(x2＋y2)eq\f(1,2)≤(x3＋y3)eq\f(1,3)解析：(x2＋y2)eq\f(1,2)＞(x3＋y3)eq\f(1,3)成立，证明如下：要证明(x2＋y2)eq\f(1,2)＞(x3＋y3)eq\f(1,3)，只需证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3x2y4＞2x3y3.∵x＞0，y＞0，∴x2y2＞0.即证3x2＋3y2＞2xy.∵3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy，∴3x2＋3y2＞2xy成立．∴(x2＋y2)eq\f(1,2)＞(x3＋y3)eq\f(1,3).答案：A4．下列函数中，当x取正数时最小值为2的是()A．y＝x＋eq\f(4,x)B．y＝lgx＋eq\f(1,lgx)C．y＝eq\r(x2＋1)＋eq\f(1,\r(x2＋1))D．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)(0＜x＜π)解析：y＝x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(4)＝4，故选项A错误；当0＜x≤1时，lgx≤0，故选项B错误；当eq\r(x2＋1)＝eq\f(1,\r(x2＋1))时，x＝0，不符合题意，∴y＝eq\r(x2＋1)＋eq\f(1,\r(x2＋1))≥2的等号取不到，故选项C错误；y＝sinx＋eq\f(1,sinx)≥2，当且仅当sinx＝1，即x＝eq\f(π,2)时取等号，故选项D正确．答案：D5．若△ABC的三边长a，b，c的倒数依次成等差数列，则()A．∠B＝eq\f(π,2) B．∠B＜eq\f(π,2)C．∠B＞eq\f(π,2) D．∠B＞eq\f(π,3)解析：假设∠B≥eq\f(π,2)，则b最大，有b＞a，b＞c，∴eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，eq\f(1,c)＞eq\f(1,b).∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＞eq\f(2,b).与题意中的eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)矛盾，∴∠B＜eq\f(π,2).答案：B6．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝2，a＋eq\r(b)＝4，则eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的最大值为()A．4 B．3C．2 D．1解析：依题意得4＝a＋eq\r(b)≥2eq\r(a·\r(b))，则aeq\r(b)≤4，a2b≤16，当且仅当b＝a2＝4时取等号．∵x＝loga2，y＝logb2，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝2log2a＋log2b＝log2a2b≤log216＝4，即eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的最大值为4.答案：A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上)7．设a＞0且a≠1，m＝loga(1＋a)，n＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))，则m，n的大小关系为__________.解析：当a＞1时，1＋a＞1＋eq\f(1,a)，∴loga(1＋a)＞logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))，即m＞n.当0＜a＜1时，1＋a＜1＋eq\f(1,a)，∴loga(1＋a)＞logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))，即m＞n.综上可知，m＞n.答案：m＞n8．若a＞b＞c＞0，ρ1＝eq\r(c＋a2＋b2)，ρ2＝eq\r(b＋c2＋a2)，ρ3＝eq\r(a＋b2＋c2)，则ρ1ρ2，ρ2ρ3，ρeq\o\al(2,2)，ρeq\o\al(2,3)中最小的一个是__________.解析：利用赋值法比较，令a＝3，b＝2，c＝1可得ρ1＝eq\r(20)，ρ2＝eq\r(18)，ρ3＝eq\r(26)，则ρ1ρ2＝eq\r(360)，ρ2ρ3＝eq\r(468)，ρeq\o\al(2,2)＝eq\r(324)，ρeq\o\al(2,3)＝eq\r(676)，易知ρeq\o\al(2,2)最小．答案：ρeq\o\al(2,2)9．已知a＞0，b＞0，给出下列四个不等式：①a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)；②(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4；③eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b；④a＋eq\f(1,a＋4)≥－2.其中正确的不等式有__________.(填序号)解析：∵a＞0，b＞0，∴①a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(ab)＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2\r(ab)·\f(1,\r(ab)))＝2eq\r(2)；②(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4eq\r(ab)eq\r(\f(1,ab))＝4.③∵eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)，∴a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)＝(a＋b)eq\f(a＋b,2)≥(a＋b)eq\r(ab).∴eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b.④a＋eq\f(1,a＋4)＝(a＋4)＋eq\f(1,a＋4)－4≥2eq\r(a＋4·\f(1,a＋4))－4＝2－4＝－2，当且仅当a＋4＝eq\f(1,a＋4)，即(a＋4)2＝1时等号成立，而a＞0，∴(a＋4)2≠1.∴等号不能取得．答案：①②③三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分10分)若n∈N*，求证：eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n·n＋1)＜eq\f(n＋12,2).证明：∵eq\r(n·n＋1)＜eq\f(n＋n＋1,2)＝eq\f(2n＋1,2)，∴eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n·