高考数学（文）培优增分一轮全国经典版培优讲义第8章平面解析几何第7讲抛物线

第7讲抛物线板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．考点2抛物线的标准方程与几何性质[必会结论]抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq\f(a,4).()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(5)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．[2018·江西八校联考]已知抛物线y＝ax2(a>0)的焦点到准线的距离为2，则a＝()A．4B．2C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)答案C解析化为标准方程x2＝eq\f(1,a)y，据题意eq\f(1,a)＝2×2，∴a＝eq\f(1,4).3．[课本改编]设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12答案B解析抛物线准线方程x＝－2，∴点P到准线的距离为6，∴P到焦点的距离也为6，选B.4．[课本改编]已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±2eq\r(2)x B．y2＝±2xC．y2＝±4x D．y2＝±4eq\r(2)x答案D解析由已知知双曲线的焦点为(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则eq\f(p,2)＝eq\r(2)，所以p＝2eq\r(2)，所以抛物线方程为y2＝±4eq\r(2)x.故选D.5．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()A．2B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,2)D.eq\f(5,2)答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，∴x1＋x2＝3，∴点C的横坐标是eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2).故选C.6．[2018·唐山模拟]若抛物线x2＝ay过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))，则点A到此抛物线的焦点的距离为________．答案eq\f(5,4)解析由题意可知，点A在抛物线x2＝ay上，所以1＝eq\f(1,4)a，解得a＝4，得x2＝4y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线的焦点的距离为yA＋1＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4).板块二典例探究·考向突破考向抛物线的方程及几何性质例1(1)[2016·全国卷Ⅱ]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝eq\f(k,x)(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2答案D解析易知抛物线的焦点为F(1,0)，设P(xP，yP)，由PF⊥x轴，可得xP＝1，代入抛物线方程，得yP＝2(－2舍去)，把P(1,2)代入曲线y＝eq\f(k,x)(k>0)，得k＝2.(2)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.①求该抛物线的方程；②O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋λeq\o(OB,\s\up16(→))，求λ的值．解①由题意得直线AB的方程为y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4).由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.②由①得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，从而A(1，－2eq\r(2))，B(4，4eq\r(2))．设C(x3，y3)，则eq\o(OC,\s\up16(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4,4eq\r(2))＝(4λ＋1,4eq\r(2)λ－2eq\r(2))．又yeq\o\al(2,3)＝8x3，所以[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.触类旁通求抛物线方程的三个注意点(1)当坐标系已建立时，要注意根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【变式训练1】(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1 B．x＝2C．x＝－1 D．x＝－2答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，与抛物线方程联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去y整理得：x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0，可得x1＋x2＝3p.根据中点坐标公式，有eq\f(3p,2)＝3，p＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.(2)过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|＝________.答案eq\f(16,3)解析设A(xA，yA)，B(xB，yB)，∵y2＝4x，∴抛物线的准线为x＝－1，F(1,0)，又A到抛物线准线的距离为4，∴xA＋1＝4，∴xA＝3，∵xAxB＝eq\f(p2,4)＝1，∴xB＝eq\f(1,3)，∴|AB|＝xA＋xB＋p＝3＋eq\f(1,3)＋2＝eq\f(16,3).考向抛物线定义及应用命题角度1到焦点与到定点距离之和最小问题例2[2018·赣州模拟]若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为()A．(0,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(2,2)答案D解析过M点作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．命题角度2到点与准线的距离之和最小问题例3[2018·邢台模拟]已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．答案5解析依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.命题角度3到定直线的距离最小问题例4已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.eq\f(3\r(5),5)B．2C.eq\f(11,5)D．3答案B解析由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是eq\f(|4－0＋6|,5)＝2.命题角度4焦点弦中距离之和最小问题例5已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.eq\f(3,4)B．1C.eq\f(5,4)D.eq\f(7,4)答案C解析如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1，由抛物线的定义知p＝eq\f(1,2)，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则点M到y轴的距离为|MM1|－eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).触类旁通与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

考向抛物线在实际生活中的应用例6一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图所示，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？说明理由．解建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A，B，则A(－3，－3)，B(3，－3)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将B点坐标代入得9＝－2p·(－3)，所以p＝eq\f(3,2).所以抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．因为车与箱共高4.5m，所以集装箱上表面距抛物线隧道拱顶0.5m.设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)，则xeq\o\al(2,0)＝eq\f(3,2)，所以|x0|＝eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(6),2)，所以2|x0|＝eq\r(6)<3.此车不能通过隧道．触类旁通与抛物线有关的桥的跨度、隧道高低等问题，通常建立直角坐标系，利用抛物线的标准方程解决，注意建立直角坐标系后坐标的正负及其实际意义．考向直线与抛物线的综合问题例7[2017·全国卷Ⅰ]设A，B为曲线C：y＝eq\f(x2,4)上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝eq\f(x\o\al(2,1),4)，y2＝eq\f(x\o\al(2,2),4)，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝1.(2)由y＝eq\f(x2,4)，得y′＝eq\f(x,2).设M(x3，y3)，由题设知eq\f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝eq\f(x2,4)得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2eq\r(m＋1).从而|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝4eq\r(2m＋1).由题设知|AB|＝2|MN|，即4eq\r(2m＋1)＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.触类旁通求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．【变式训练2】[2016·江苏高考]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．解(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，由点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))在直线l：x－y－2＝0上，得eq\f(p,2)－0－2＝0，即p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.①证明：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝－x＋b))消去x，得y2＋2py－2pb＝0.因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p＋2b>0.方程y2＋2py－2pb＝0的两根为y1,2＝－p±eq\r(p2＋2pb)，从而y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝－p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<eq\f(4,3).因此，p的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).核心规律认真区分四种形式的标准方程(1)区分y＝ax2与y2＝2px(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．满分策略1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题，要多从抛物线的定义入手，这样可以简化问题．3.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.板块三启智培优·破译高考数学思想系列9——化归转化法解决抛物中的比值问题(1)[2018·温州十校联考]已知点A(0,2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若eq\f(|FM|,|MN|)＝eq\f(\r(5),5)，则p的值等于()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C．2D．4解题视点由四点共线得出斜率相等，进而得出M点的坐标．解析设M(xM，yM)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，yN))，由eq\f(|FM|,|MN|)＝eq\f(\r(5),5)，知eq\f(|FM|,|FN|)＝eq\f(1,\r(5)＋1)，所以yN＝(eq\r(5)＋1)yM；由kFA＝kFN知，eq\f(yN,－p)＝eq\f(2,－\f(p,2))，所以yN＝4，所以yM＝eq\f(4,\r(5)＋1)；又eq\f(|FM|,|FN|)＝eq\f(1,\r(5)＋1)，所以eq\f(p,2)－xM＝eq\f(1,\r(5)＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋\f(p,2)))＝eq\f(p,\r(5)＋1)，所以xM＝eq\f(\r(5)－1p,2\r(5)＋1)，将(xM，yM)代入y2＝2px，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,\r(5)＋1)))2＝2p×eq\f(\r(5)－1p,2\r(5)＋1)，解得p＝2.故选C.答案C(2)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B，若S△OAF＝4S△OBF，则直线AB的斜率为()A．±eq\f(3,5)B．±eq\f(4,5)C．±eq\f(3,4)D．±eq\f(4,3)解题视点将已知中的比值转化为相关点的坐标比值．解析根据题意设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由S△OAF＝4S△OBF，得|AF|＝4|BF|，eq\o(AF,\s\up16(→))＝4eq\o(FB,\s\up16(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－x1，－y1))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(p,2)，y2))，故－y1＝4y2，即eq\f(y1,y2)＝－4.设直线AB的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消元得ky2－2py－kp2＝0，故y1＋y2＝eq\f(2p,k)，y1y2＝－p2，则eq\f(y1＋y22,y1y2)＝eq\f(y1,y2)＋eq\f(y2,y1)＋2＝－eq\f(9,4)，∴－eq\f(4,k2)＝－eq\f(9,4)，解得k＝±eq\f(4,3)，即直线AB的斜率为±eq\f(4,3).故选D.答案D答题启示圆锥曲线中存在线段比值问题，应采用化归转化思想方法进而转化为向量关系，或有关点的坐标关系，有时还利用相似比或三角函数求解.跟踪训练过抛物线y2＝4x的焦点F且斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A，B两点(xA>xB)，则eq\f(|AF|,|BF|)＝()A.eq\f(3,2)B.eq\f(3,4)C．3D．2答案D解析设直线方程为y＝2eq\r(2)(x－1)与y2＝4x联立得：2x2－5x＋2＝0，∴(2x－1)(x－2)＝0，∴x1＝eq\f(1,2)，x2＝2．∵xA>xB，∴xA＝2，xB＝eq\f(1,2).∴eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xA＋\f(p,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xB＋\f(p,2))))＝eq\f(2＋1,\f(1,2)＋1)＝2.故选D.板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()A．y2＝4x B．y2＝6xC．y2＝8x D．y2＝10x答案C解析∵抛物线y2＝2px，∴准线为x＝－eq\f(p,2).∵点P(2，y0)到其准线的距离为4.∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)－2))＝4.∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq\f(5,4)x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8答案A解析由题意知抛物线的准线为x＝－eq\f(1,4).因为|AF|＝eq\f(5,4)x0，根据抛物线的定义可得x0＋eq\f(1,4)＝|AF|＝eq\f(5,4)x0，解得x0＝1.故选A.3．[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8答案B解析由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，可取Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，得p＝4.故选B.4．[2018·运城模拟]已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为()A．x2＝eq\f(3,2)y B．x2＝6yC．x2＝－3y D．x2＝3y答案D解析设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝ay，,y＝2x－2))消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2a,2)＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.5．已知直线ax＋y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为()A．6B．7C．8D．9答案C解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，点F在直线ax＋y＋1＝0上，∴a＋1＝0，即a＝－1，∴直线方程为x－y－1＝0.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0，,y2＝4x，))得x2－6x＋1＝0.设直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.6．[2018·郑州模拟]已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|＋|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为________．答案eq\f(9,4)解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝5，即x1＋eq\f(1,4)＋x2＋eq\f(1,4)＝5，解得x1＋x2＝eq\f(9,2)，所以线段AB的中点到y轴的距离eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(9,4).7．[2017·河北六校模拟]抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．答案y2＝16x解析设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上．又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF|＝xM＋eq\f(p,2)＝6，即xM＝6－eq\f(p,2).又由题意可知xM＝eq\f(p,4)，∴eq\f(p,4)＝6－eq\f(p,2)，解得p＝8.∴抛物线方程为y2＝16x.8．[2017·天津高考]设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．答案(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1解析由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝eq\r(3)，所以点C的纵坐标为eq\r(3).所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1.9.如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F.设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点为点B，与抛物线C在第四象限的交点为点D.(1)若点O到直线l的距离为eq\f(\r(3),2)，求直线l的方程；(2)试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．解(1)由题易知，抛物线C的焦点为F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x＝1，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.所以eq\f(|－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(\r(3),2)，解得k＝±eq\r(3).即直线l的方程为y＝±eq\r(3)(x－1)．(2)直线AB与抛物线C相切，证明如下：设A(x0，y0)，则yeq\o\al(2,0)＝4x0.因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．所以直线AB的方程为：y＝eq\f(y0,2x0)(x＋x0)，整理得，x＝eq\f(2x0y,y0)－x0，把上式代入y2＝4x得y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，Δ＝64xeq\o\al(2,0)－16x0yeq\o\al(2,0)＝64xeq\o\al(2,0)－64xeq\o\al(2,0)＝0，所以直线AB与抛物线C相切．10．[2018·湖南模拟]已知过A(0,2)的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径．(1)求C点轨迹E的方程；(2)当AC不在y轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线BC交于Q点．求证：△PQC恒为直角三角形．解(1)设C(x，y)，A(0,2)，则圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y＋2,2)))，又因为圆与x轴切于B点，所以B点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，圆的半径为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,2))).根据AC是圆的直径得，|AC|＝|y＋2|，即eq\r(x2＋y－22)＝|y＋2|，两边平方整理得x2＝8y，所以C点的轨迹E的方程为x2＝8y.(2)证明：设AC所在直线的方程为y＝kx＋2，与曲线E联立得x2－8kx－16＝0，设C(x1，y1)，P(x2，y2)，则x1·x2＝－16.曲线E：x2＝8y在点P(x2，y2)处切线的斜率为k1＝eq\f(x,4)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1())x＝x2＝eq\f(x2,4)，且Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,2)，0))，直线BC的斜率为k2＝eq\f(y1,x1－\f(x1,2))＝eq\f(\f(x\o\al(2,1),8),\f(x1,2))＝eq\f(x1,4)，所以k1·k2＝eq\f(x2,4)×eq\f(x1,4)＝eq\f(x1x2,16)＝eq\f(－16,16)＝－1，所以PQ⊥BC，即△PQC为直角三角形．[B级知能提升]1．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若eq\o(FP,\s\up16(→))＝4eq\o(FQ,\s\up16(→))，则|QF|＝()A.eq\f(7,2)B.eq\f(5,2)C．3D．2答案C解析过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为eq\o(FP,\s\up16(→))＝4eq\o(FQ,\s\up16(→))，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.2．[2018·安徽模拟]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\r(2)C.eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)答案C解析焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2eq\r(2)，AB的方程为y＝2eq\r(2)(x－1)，与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，所以B的横坐标为eq\f(1,2)，纵坐标为－eq\r(2)，S△AOB＝eq\f(1,2)×1×(2eq\r(2)＋eq\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).3．[2017·山东高考]在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．答案y＝±eq\f(\r(2),2)x解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,x2＝2py，))得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，∴y1＋y2＝eq\f(2pb2,a2).又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋eq\f(p,2)＋y2＋eq\f(p,2)＝4×eq\f(p,2)，即y1＋y2＝p，∴eq\f(2pb2,a2)＝p，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x.4．设A，B为抛物线y2＝x上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P.(1)求点P的坐标；(2)M为A，B间抛物线段上任意一点，设eq\o(PM,\s\up16(→))＝λeq\o(PA,\s\up16(→))＋μeq\o(PB,\s\up16(→))，试判断eq\r(λ)＋eq\r(μ)是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由．解(1)知A(1,1)，B(4，－2)，设点P坐标为(xp，yp)，切线l1：y－1＝k(x－1)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－1，,y2＝x，))由抛物线与直线l1相切，解得k＝eq\f(1,2)，即l1：y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，同理l2：y＝－eq\f(1,4)x－1，联立l1，l2的方程，可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xp＝－2，,yp＝－\f(1,2)，))即点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2))).