人教A版选择性综合测试答案2

人教A版（2019）选择性必修第二册综合测试参考答案选择题题号1234567891011答案ADBCDBCBACDACDBCD一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在数列中，若，，则（

）A． B． C．1 D．4解:在数列中，由，，得，，，因此数列是周期性数列，周期为3，所以.2.下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．解:，，，.3.已知函数，则（）A.2 B.2 C.4 D.4解:由题意知，所以，所以.4.在等差数列中，，则（）A.4 B.5 C.6 D.8解:设等差数列的公差为d，因为，所以，又，所以公差．5.曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A. B.0 C.1 D.2解:的导数为，可得在点处的切线的斜率为，由切线与直线垂直，可得，解得，6.设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（）A. B. C. D.解:令，则，因为，所以，所以，所以函数在上单调递增，而可化为，又即，解得，所以不等式的解集是．7.在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（）A.26 B.63 C.57 D.25解:因为，所以，由题意可知：有唯一零点.令，可知为偶函数且有唯一零点，则此零点只能为0，即，代入化简可得：，又，所以，，，，所以8．若项数均为的两个数列满足，且集合，则称数列是一对“项紧密数列”．设数列是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（）对．A．5 B．6 C．7 D．8解:由条件知，于是，又，所以，于是“4项紧密数列”有；，共有6对.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，下列说法中正确有（）A.曲线在点处的切线方程为B.函数的极小值为C.函数的单调增区间为D.当时，函数的最大值为，最小值为解:由，得，对于A，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，即，所以A正确；对于B，由，得或舍去，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取极大值，无极小值，所以B错误，C正确；对于D，由选项BC，可知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，因为，所以的最小值为，所以D正确，10.等差数列中，，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，则，解:等差数列中，，对于A，，，A正确；对于B，，则，，则，，因此，即，B错误；对于C，，则，C正确；对于D，设的公差为，由，得，解得，则，，D正确.11.已知是数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（）A.为等比数列 B.为等比数列C. D.解:对A：因为，，，所以，，因此，，，而，，所以数列不是等比数列，故A错误；对B：因为，所以，而，，因此数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确；对C：由选项B知：数列是首项为，公比为等比数列，因此，而，，所以，故C正确；对D：由选项C知：，因此，故D正确.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等比数列中，，则__________.解:因为是等比数列，所以，所以或，又在等比数列中，偶数项的符号相同，所以.13.已知函数，则__________.解:由题意知，令，得，解得，所以，所以.14.若是函数的极大值点，则的取值范围是_________．解:因为，，，令，解得或，当，即，则当或时，当时，此时在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，符合是函数的极大值点，反之，当，即，则当或时，当时，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，所以是函数的极小值点，不符合题意；当，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点．综上得：，即的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若数列的前n项和满足，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．解:(1)当时，，所以，即，当时，，得，则所以数列是首项为﹣1，公比为3的等比数列．所以(2)由（1）得：所以，所以16.设函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．解:(1)当时，，可得，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即．(2)由条件知，即，即，即，当时，不等式恒成立；当时，我们有．所以命题等价于对恒成立，令，则：，而当时，，故，当时，，故在区间上单调递增；当时，，故在区间上单调递减，所以．综上所述，实数的取值范围为．17．已知函数在点处的切线平行于直线．（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（2）若是函数的极值点，求证：．解:对函数求导得，所以，解得．（1）由题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，只需，令，对其求导得，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以，于是，因此实数的取值范围是．（2）由条件知，对其求导得，函数在上单调递增，且，所以存在，使，即，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，于是是函数的极值点，所以，即得证．18．已知数列的首项等于3，从第二项起是一个公差为2的等差数列，且成等比数列．（1）求数列的前项的和；（2）设数列满足且，若数列的前项的和为，求．解:(1)因成等比数列，所以，即，解得，所以当时，，又不符合上式，所以数列的通项公式为因此，当时，，又符合上式，所以当时，．（2）由（1）知．令，所以，又，所以因此，所以，于是19.设集合是一个非空数集，对任意，定义，称为集合的一个度量，称集合为一个对于度量而言的度量空间，该度量空间记为.定义1：若是度量空间上的一个函数，且存在，使得对任意，均有：，则称是度量空间上的一个“压缩函数”.定义2：记无穷数列为，若是度量空间上的数列，且对任意正实数，都存在一个正整数，使得对任意正整数，均有，则称是度量空间上的一个“基本数列”.（1）设，证明：是度量空间上的一个“压缩函数”；（2）已知是度量空间上的一个压缩函数，且，定义，，证明：为度量空间上的一个“基本数列”.解:(1)由正弦函数的性质可知：在上单调递增，在上单调递减，所以，，，所以在上的值域为，所以是从到的函数，另一方面，我们证明存在，对任意，都有，取，则对任意，不妨设，分两种情形讨论：①当时，令，则，所以在上单调递增，因为，所以，即，所以，即，②当时，令，则，所以在上单调递增，因为，所以，即，所以，即，综上所述，对任意，都有，所以是度量空间上的一个“压缩函数”.(2)证明：因为是度量空间上的一个压缩函数，所以必存在，使得