浅谈新课标全国卷导数命题背景

浅谈新课标全国卷导数命题背景.近几年高考题的导数压轴经常以微积分里的重要定理作为背景，但纵观命题人给的答案，很多是所谓结合高中知识巧妙构造等等，颇有把考生玩弄于股掌之间的味道.结合高等数学部分内容，我们来研究下近几年高考真题的本质：例1.（2014北京卷）已知函数，求证：若在上恒成立，求的最大值与的最小值第（1）问很简单，求导后容易得到结论第（2）问我们令，则，由⑴知，，故在上单调递减，从而的最小值为，故，的最大值为.接下来b最大值肯定在x等于0处取到，代入x＝0，我们发现出现了的情况，只用初等数学我们无法求解，其实本题就用到了微积分里两个重要极限之一，接下来我们来证明一下这个结论令＝，由导数定义得＝＝，那么＝＝＝＝1，那么显然第（2）小问里b的最小值就是1评注：本题结合了极限进行命制，并且它的证明过程就是高中数学课本里对导数的定义，很多老师为了方便讲解直接跳过该定义讲解导数几何意义，笔者认为这是一个很大的失误，所以在复习时以前没有着重讲解的定义需要额外关心，考场上遇到所谓冷门知识时才能应付自如，游刃有余.高等数学里还有个重要极限就是，稍后我们进行讨论.上面两个极限是导数与微分的内容，在上完导数与微分后，我们将会接触到3个微分中值定理：，拉格朗日中值定理，柯西中值定理罗尔中值定理：，曲线弧（方程为）是一条连续的曲线弧，如果弧的两端点纵坐标相等，那么弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的拉格朗日中值定理：如果函数

f(x)满足：1)在闭区间[a,b]上连续；2)在开区间(a,b)内可导。那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式成立柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式成立其中，在柯西中值定理里当b→a时，我们会得到求取不定式极限的洛必达法则：(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0，那么有注：洛必达法则也可以证明极限，上下求导便可得下面我们来看一道用洛必达法则命制的高考题例2.（2011新课标全国卷）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；分析：左右都是和，中间的也将其拆做和的形式，证明通项不等关系即可证明：注意到＝，故只需证＜＜即可，由（5）式令x＝显然成立评注：使用泰勒不等式时要注意不等号方向，并且本题也可以通过定积分的几何意义证明，证明过程留做习题前面我们提到后面我们会证明极限，接下来我们用基本函数不等式≤来给出精彩的证明对原命题取对数，即只需证明，注意到≤，当且仅当x＝0取等，那么当x趋近于0，即趋近于时，有，即＝1这几个基本函数不等式可以衍生出一大批高考题，下面我们挑几道进行分析：例5（2013新课标全国卷II）（1）设x＝0是（2）证明：当m≤2时，≤来轻松秒杀.因为≤+-1，故≥--+1，当+＝1取等，令＝--+1，求导易得在（0，+）单调增，在（-m，0）单调减故＝＝2-m≥0，即≥0，故，证明：-≥1，那么≥1，由不等式≤，得≤＝≤+=两边同时加1得原命题.评注：本题结合了基本不等式推论之一≤，在了解泰勒不等式时也需要对课本知识牢牢掌握.例6（2014新课标全国卷一）已知，证明：＞＞0，考虑到≥0，因为最小值在x等于e处取到为-，所以≥0，考虑到前面的放缩不可同时取等号，有评注：本题标答是一个巧妙的等价变换后再对新函数求导，这步非常不好想到，显然是命题人掩