中考数学试题分类汇编51章新概念型问题

2011年全国中考模拟试题汇编51章新概念型问题

一、选择题

1.(2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)(原创)已知

abc

22

%=axx+byx+cx,y2-a-,x+b2x+c2且满足,=」-=—!■=k(k*0,1).则称抛物线

a,b,

必，为互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是()

A、yi,yz开口方向,开口大小不一定相同

B、因为yi,yz的对称轴相同

C、如果y?的最值为m，则yi的最值为km

D、如果y2与x轴的两交点间距离为d,则力与x轴的两交点间距离为网4

答案：D

二、填空题

1、(2011年江苏盐都中考模拟)规定一种新运算aXb=a?-2b,如1派2=-3,贝U血※(-2)

答案6

、(2011浙江杭州模拟16)刘谦的魔术表演风靡全.国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术

盒，当任意实数对(a,b)进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-l,例如把(3,—2)放

入其中，就会得到：32+(-2)—1=6.现将实数对(一1,3)放入其中，"得到实数m,再

将实数对(m,1)放入其中后，得到的实数是.

答案：9

三、解答题

1、（2011年北京四中中考模拟20）如图，四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,但A1）。CD,我

们称这样的四边形为“半菱形”。小明说“'半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”。

他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论。

解：正确。

证明如下：

方法一：设AC,BD交于0,VAB=AD,BC=DC,AC=AC,

.".△ABC^AADE,

ZBAC=ZDAC

AB=AD,/.A0±BD

S△\ABD=—2BD,AO,S,△、BCD-BDCO

2

…S四边形ABCD=S&ABD+SABCD=-BDAO+-BDCO

22

=-BD（AO+CO）」BD.AC

22

方法二：VAB=AD,

•••点A在线段BD的中垂线上。

又•.•CB=CD,...点C与在线段BD的中垂线上，

AAC所在的直线是线段BD的中垂线，即BD1AC；

设AC,BD交0,YS,AABD=]BD-A°，SABCD=]BD-C°

S四边形ABCD=S^ABD+SABCD=2BD•AO+—BD-CO

=-BD(AO+CO)=-BD-AC

22

2、（2011年北京四中中考模拟18）已知:z^ABC中,AB=10

⑴如图①，若点D、E分别是AC、BC边的中点，求DE的长；

⑵如图②，若点由、A,把AC边三等分，过人、&作AB边的平行线，分别交BC边于点R、

B2,求AB+A2B2的值;

⑶如图③，若点由、Az、…、A,。把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边

于点氏、Bz、…、Bio。根据你所发

现的规律，直接写出A向+A2B2

+…+AioB[Q的结果。

解：⑴DE=5(2)AIB(+A2B2=10(3)AB+AB+…+AIB0=50

3、（2011浙江杭州模拟14）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小

与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.

类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与

腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在中，AB=AC,顶角｛的正对记作saM,这时

sad不辱■=..容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.

腰AB

根据上述对角的正对定义，解下列问题：

1

（1）sad600的值为（）A.-B.1C.—D.2

22

（2）对于0°<A<180。，//的正对值sad/的取值范围是.

3

已知sina=—,其中a为锐角，试求sada的值.

5

答案：（1）8；2分

(2)0<sadA<2；..................3分

3

(3)如图，在△｛兆'中，ZACB=9Q°,sinZA=~.

5

在46上取点。，使/介然，

作ML/G，为垂足，令BC=3k,AB=5k,

则AD=止&5k)2_(3k)2=4%.................2分

3

又在中，NAHD=9G°,sinNA=-.

5

DH^AD-sinZA^—k,AH—DH?=3.

55

则在中，CHAC-AH^-k,CD=dDH、CH2=血道h..........2分

55

于是在△力龙中，AD=AC=4k,CD

5

由正对定义可得：sadA="=M,即sada=回

AD55

B组

—>选择题

1、（2011年黄冈落水模拟1）科技馆为某机器人编制一段程序，

如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所

走的总路程为（）.

A.6米B.8米C.12米D.不能确定

答案：C

二、填空题

1.（2011年杭州三月月考）定义新运算“*”，规则：=如1*2=2,

b（a<h）

(-V5V2=5/20若F+%-1=0的两根为X],%，则%]*%=______▲_________

…A/5-1

答案：-——

2

2.（2011浙江慈吉模拟）如图是某种计算机的程序示意图，初始端输入x后经“运算中

心式子”。/+以+。（a、b、c是常数，且。〉0,历w0）处理后得到一个结果.若这

个结果大于0,则输出此结果；否则就将第一次得到的结果作为输入的x再次运行程

序……直到输出结果为止.若该程序满足条件：”存在实数f,当输入x的值等于I时，该

程序的运算无法停止（即会--直循环运行）”，请写出一个符合条件的运算中心式子以及相

应的能使它一直循环运行的x的值_▲

输入，*ax2+bx+c^^结果大于0”#输恻臬-

：H

答案：说明：只需使方程分2+bx+c=x有一个负数根即可；如d-X-3,-1

3.(201L安徽中考模拟)在数学中，为了简便，记Zk=l+2+3+…+(〃-1)+n.1!=1,

%=1

2009

2!=2X1,3!=3X2X1,•77!=nX(p-1)X(z?-2)X-X3X2X1.则£左一

2=1

2010!

^2009!

答案：0

4.(2011杭州市模拟).如图是瑞典人科赫(Koch)在1906年构造的能够描述雪花形状的

科赫雪花图案.图形的作法是，从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以

各边的中间长度为底边.分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉.反复进行这

一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线.这是一个极有特色的图形：在图形不断变

换的过程中，它的周长趋于无穷大“而其面积却趋于定值.如果假定原正三角形边长为

则可算出下图每步变换后科赫雪花的周长：C「3a，。2=，G=，…，则

C„=

2

答案：C2=13a；C3=(1)3a；C,,=g严3a,(1+1+2分)

5.(2011深圳市三模)在数学中，为了简便，记£女=1+2+3+…+(〃-1)+1!=1,2!

k=\

200620072007!

=2X1,31=3X2X1,­•；n1=nX(/7-1)X(/7-2)X•••X3X2X1.则＞2%一£左+

*=i*=i2006!

答案:0.

a(a>h),

6、（2011杭州模拟20）定义新运算“钎'，规则：a*b=\,如1*2=2,

b(a<b)

=若/+%-1=0的两根为罚,々，则占*%2=

代却Vs—i

答案：------

2

7.（浙江杭州进化2011一模）（本小题满分10分）

学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯

一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.

类似的，可以在等腰一:角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与

腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在AABC中，AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时

sadA=与察=生.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.

腰AB

根据上述对角的正对定义，解下列问题:

sad60°的值为()A.L

(1)B1c

2--T

对于0°<A<180。，/A的正对值sadA的取值范围是

3

(3)已知sina=—，其中a为锐角，试求sada的值.

5

答案：（1）B；

(2)0<sadA<2；

3

⑶如图，在aABC中，NACB二90。，sinZA=-

5

在AB上取点D,使AD=AC,

作DHJ_AC,H为垂足，令BC=3k,AB=5k,

则AD=AC=J(5女厂-(3t)-=4k,

3

又在△ADH中，ZAHD=90°,sinZA=-.

5

ADH=ADsinZA=—k,AH=>JAD2-DH2=—k.

55

4VW

则在ACDH中，k，CD=ylDH2+CH22分

5

于是在4ACD中，AD=AC=4k,C£)=上叵

5

Vio

由正对定义可得：sadA=——=,即sada1分

AD5

8.（2011年杭州市模拟）（本题10分）如图①，将一张直角三角形纸片A4BC折叠，使

点A与点C重合，这时。E为折痕，AC3E为等腰三角形；再继续将纸片沿ACBE的

对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩

形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.

第23题

第23题

（1）如图②，正方形网格中的AABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中

画出折痕；

（2）如图③，在正方形网格中，以给定的为--边，画出一个斜三角形A8C,使其

顶点A在格点上，且AA6C折成的“叠加矩形”为正方形；

（3）若一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？

答案：

(2)

（说明：只需画出折痕.）

（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上

的高相等即可.）

（3）三角形的一边长与该边上的高相等的直角三角形或锐角三角形.

2010年全国中考真题汇编51章新概念型问题

一、选择题

„S1+S,H—I-S

1.（2010安徽蚌埠）记5“=%+%+…+。“，令一=-------称7；为％,a,•…

n2

a“这列数的''理想数"。已知q,a2,……，/oo的“理想数”为2。。4,那么8,a},

/oo的“理想数”为

A.2004B.2006C.2008D.2010

【答案】C

2.（2010浙江杭州）定义[a,b,c]为函数？=〃/+法+。的特征数，下面给出特征数为

[2勿，1-m,-1-rri]

的函数的一些结论：

1o

①当勿=-3时，函数图象的顶点坐标是（上，-）；

33

②当加>o时，函数图象截x轴所得的线段长度大于』；

2

③当加<0时，函数在时，y随X的增大而减小：

4

④当/#0时，函数图象经过同一个点.

其中正确的结论有

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②④

【答案】B

3.（2010浙江宁波）《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和

科学方法的学科，它

奠定了现代数学的基础.它是下列哪位数学家的著作

（A）欧几里得（B）杨辉（C）笛卡尔（D）刘徽

【答案】A

4.（2010山东东营）把一个图形先沿着一•条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行

的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量

地存在这种图形变换（如图甲）.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在帮

动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是（）

（A）对应点连线与对称轴垂直（B）对应点连线被对称轴平分

（0对应点连线被对称轴垂直平分（D）对应点连线互相平行

3

图甲。图乙。

【答案】B

a-l（a<h）

5.（2010鄂尔多斯）定义新运算：a®b=Ja，则函数y=3©x的图象大

——（a>6且6X0）

致是

第9■的

【答案】B

6.（2010四川达州）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m,n）,规定以下两种变

换:

①f(m,n)=(根,一〃)，如/(2,1)=(2,-1)；

②g(见〃)=(一机,一〃),如g(2,l)=(-2,-1).

按照以上变换有：/［g（3,4）］=/（—3,—4）=（—3,4）,那么8［/（—3,2）］等于

A.（3,2）B.（3,-2）

C.（-3,2）D.（-3,-2）

【答案】A

二、填空题

ro-

1.（2010安徽蚌埠）若田表示不超过x的最大整数（如［）］=3,-2|=-3等），则

111

--------•'+--------'+…+--------------——

2-Vlx2jL3-V2x3jL2001-72000x2001

【答案】2000

2.（2010湖南常德）如图3,一个数表有7行7歹U，设%.表示第i行第j列上的数（其中

i=l,2,3,…，7,j=l,2,3,…，7）.例如：第5行第3列上的数%3=7.

贝II（1）（43-。22）+（“52—"53）=；

（2）此数表中的四个数anp,ank,amp,amk满足

（“+3芯-%冲）=-

C

D

1234321

2345432

3456543

4567654

5678765

6789876

78910987

图3

【答案】（1）0(2)0

3

3.（2010重庆江津）我们定义=ad-be,例如=2X5-3X4=10-12

cd45

若X、y均为整数，且满足1<：；<3

2则x+y的值是—

【答案】±3

4.（2010广西南宁）古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,……叫做三角数，它有一定的规律

性.若把一个三角形数记为％,第二个三角形数记为的，.....第〃个三角形数记为知，

计算出一-。2，“4_。3,.......,由此推算，6?100-4期一

4100=--------------------------

【答案】100,5050

三、解答题

1.（2010安徽蚌埠）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面

向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方

向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。

如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8

个不同

的向量：血、以、AC,CA.诟、DA,而、~DB（由于血和皮是相等向量,

因此只算一个）。

（1）作两个相邻的正方形（如图一）o以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量,

可以作出不同向量的个数记为/（2）,试求/（2）的值;

⑵作〃个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，羯一个

顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为/(〃)，试求/(〃)的值;

<_________、/_________y

三品啜方形

图二

⑶作2x3个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终

点作向量，可以作出不同向量的个数记为/(2x3),试求/(2x3)的值;

图

(4)作根x〃个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶

点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数

ixX共

m

个

正

方

形

相

连

共n个正方形相连

【答案】⑴/(2)=14

(2)/(«)=6/7+2

⑶/(2x3)=34

图四

(4)/(m*〃)=2(m+n)+4x(mn)

2.(10湖南益阳)我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形

环”，易知方形环四周的阳度根等.

一条直线/与方形环的边线有四个交点M、M'、N'、N.小明在探究线段MAT

与N'N的数量关系时，从点M'、N'向对边作垂线段ATE、N'F,利用三角形全

等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题.请你参考小明的思路解答下列问题:

⑴当直线/与方形环的对边相交时(如图8—1),直线/分别交A。、A'D\B'C'、

8C于M、N'、N,小明发现MAT与N'N相等，请你帮他说明理由；

⑵当直线/与方形环的邻边相交时(如图8—2),/分别交A。、A'D\D'C、

DC于M、M，、N'、N,/与DC的夹角为a,你认为与N'N还相等吗？

MM'

若相等，说明理由；若不相等，求出〜-的值(用含a的三角函数表示).

N'N

图8-2

【答案】⑴解：在方形环中,

'：M'EA.AD,N'F±BC,AD//BC

:.M'E=N'F,/M'EM=4N'FN=96,ZEMM'=NN'NF

:.AMM'EmANN'F

：.MM'=N'N5分

⑵解法一：VNNFN'=ZMEM'=90°,NFNN'=ZEM'M=a

：.^NFN'\M'EM.........................................8分

.MM'M'E

,•N'N一而

•:M'E=N'F

.MAT_N'F—sina、…八

=-----=tana（或-------）.........................................10分

…N'N'NFcosa

①当a=45°时，tana=1,则MM'=NN'

②当a#45°时，MM、NN'

.,MM',—sina、„

则------=tana（或-------）.........................................12分

NN'cosa

解法二：在方形环中，

ND=90°

又；M'ELAD,N'F±CD

：.M'E//DC,N'F^M'E

：.ZMM'E=ZN'NF=a

在Rt^NN'F与Rt\MM'E中，

N'FM'E

sina=-----,cosa-------

NN'MM'

sinaN'FMM'MM'

tana-------=---------------=-------

cosaNN'M'ENN'

„„MM'—sina、八八

即-------=tana（或-------）......................................10分

NN'cosa

①当a=45°时，MM'=NN'

②当aw45°时，MM'”N'

MM'…sina、…八

贝Mlilj-------=tana（或-------）.....................................12分

NN'cosa

3.（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，

叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的♦次函数的图象与

%y轴分别交于点4B,则△力台为此函数的坐标三角形.

（1）求函数y=-巳x+3的坐标三角形的三条边长；

4

3

（2）若函数y=—（6为常数）的坐标三角形周长为16,求此三角形面积.

【答案】

3

解：（1）•••直线y=——*+3与x轴的交点坐标为（4,0）,与y轴交点坐标为（0,3）,

4

二函数y=-巳3*+3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.

4

34

（2）直线y=--x+6与x轴的交点坐标为（—b,0）,与y轴交点坐标为（0,6）,

43

4532

当杨0时，b+-h+-b^\6,得6=4,此时,坐标三角形面积为—；

333

当仅0时-，-b——4h-5-b^16,得力=一4,此时，坐标三角形面积为32二.

333

综上，当函数了=一3二/+6的坐标三角形周长为16时，面积为3丝2.

43

4.（2010浙江台州市）类比学习：-动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个

单位，相当于向右平移1个单位.用实数加法表示为3+（-2）=1.

若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，

平移同个单位），沿y轴方向平移的数量为。（向上为正，向下为负，平移网个单位），

则把有序数对{a,6}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”伯，6}与“平移量”{c,

M的加法运算法则为{a,b}+{c,d}={a+c,b+d].

解决问题：（1）计算：{3,1}+{1,2}；{1,2}+{3,1}.

（2）①动点户从坐标原点。出发，先按照“平移量”{3,1}平移到4,再按照“平移量”

{112}平移到国若先把动点P按照“平移量”{1,2}平移到C,再按照“平移量”

{3,1}平移，最后的位置还是点8吗？在图1中画出四边形如比：

②证明四边形十回是平行四边形.