专题二 概率统计-2022年高考数学二轮复核心速学解答题专题突破（艺体生适用）

核心速学专题二概率统计【核心考点整合】【思维导引】1.样本估计总体在求解样本的众数、中位数、平均数以及方差时，首先一般要将样本的数据按照一定的顺序进行列举，并根据这些数的定义进行计算；在综合题中求解相应事件的概率时，可以利用树状图作为巩固辅助基本事件的列举，最后在作答时一般利用点列法进行列举.2.离散随机变量的数学期望、方差、标准差①期望：,②方差：=，③标准差：=.④，⑤若～,则，3.回归分析与相关性检验的关注点（1）相关关系和回归分析的注意点①易混淆相关关系与函数关系,两者的区别是函数关系是一种确定的关系,而相关关系是一种非确定的关系,函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上,实质上,回归直线必过点(x,y),可能所有的样本数据点都不在直线上.③利用回归方程分析问题时,所得的数据易误认为是准确值,而实质上是预测值(期望值).（2）解独立性检验问题的关注点①两个明确：(ⅰ)明确两类主体；(ⅱ)明确研究的两个问题．②两个准确：(ⅰ)准确画出2×2列联表；(ⅱ)准确理解K2.4.非线性回归问题的求解方法非线性回归问题有时并不直接给出经验公式,此时我们可以由已知的数据画出散点图,并把散点图与我们已经学习的各种函数,如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较,然后采用变量的置换,把问题转化成线性回归分析问题,使问题得以解决.【真题领航】1.（2021.全国新高考Ⅰ卷，T19)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？附：，【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；（2）由所给数据，可得列联表为：合计641680101020合计7426100（3）根据列联表中的数据可得，因为根据临界值表可知，有把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.2.（2020.全国新高考Ⅰ卷，T19)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【解析】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．；；．所以的分布列为（2）由（1）知，．若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．；；．所以．因为，所以小明应选择先回答类问题．【核心考能聚焦】核心考点一统计【例1】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中a的值；（=2\*ROMANII）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（=3\*ROMANIII）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000．（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3．由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．例2.某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测20人，得到如下数据：序号12345678910身高x（厘米）192164172177176159171166182166脚长y（码）48384043443740394639序号11121314151617181920身高x（厘米）169178167174168179165170162170脚长y（码）43414043404438423941（1）若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”，请根据上表数据完成下面的列联表：高个非高个合计大脚非大脚12合计20（2）根据（1）中表格数据，若按99%的可靠性要求，能否认为脚的大小与身高之间有关系？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】（1）列联表补充如下：高个非高个合计大脚527非大脚113合计614（2）根据上述列联表可以求得，，所以我们有的把握认为：人的脚的大小与身高之间有关系．【对点练】1.是指空气中直径小于或等于微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量（万辆）的浓度（微克/立方米）（1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时的浓度为多少（保留整数）？【解析】（1）散点图如下图所示.2分（2），，6分，，，，9分故关于的线性回归方程是：.10分（3）当时，所以可以预测此时的浓度约为.12分2.（2021山东青岛高三调研检测）随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：年度周期1995~20002000~20052005~20102010~20152015~2020时间变量12345纯增数量（单位：万辆）3691527其中，时间变量对应的机动车纯增数据为，且通过数据分析得到时间变量与对应的机动车纯增数量（单位：万辆）具有线性相关关系.（1）求机动车纯增数量（单位：万辆）关于时间变量的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；（2）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车9020110有私家车7040110合计16060220根据上面的列联表判断，能否有的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车”有关.附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；.附：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】（1）由年度周期12345纯增数量（单位：万辆）3691527所以，，.所以.因为过点，所以，，所以.2025~2030年时，，所以，所以2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆.（2）根据列联表，计算得观测值为，，所以有的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”.核心考点二概率、随机变量分布列及其期望与方差【例3】某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（=2\*ROMANII）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.【解析】由已知，有所以，事件发生的概率为.随机变量的所有可能取值为，，.所以，随机变量分布列为随机变量的数学期望.例4．甲、乙、丙三班进行知识竞赛，每两班比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得分，负者得分，没有平局，在每一场比赛中，甲班胜乙班的概率为，甲班胜丙班的概率为，乙班胜丙班的概率为．（Ⅰ）求甲班获第一名且丙班获第二名的概率；（Ⅱ）设在该次比赛中，甲班得分为，求的分布列和数学期望．（Ⅱ）可能取的值为O、3、6甲两场比赛皆输的概率为甲两场只胜一场的概率为甲两场皆胜的概率为∴的分布列为036∴【对点练】1.为了实施“爱的教育”实践活动，宇华教育集团决定举行“爱在宇华”教师演讲比赛．焦作校区决定从高中部、初中部、小学部和幼教部这四个部门选出12人组成代表队代表焦作校区参赛，选手如下表：部门高中部初中部小学部幼教部人数4422焦作校区选手经过出色表现获得冠军，现要从中选出两名选手代表冠军队发言．（1）求这两名队员来自同一部门的概率；（2）设选出的两名选手中来自高中部的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．【解析】（1）“从12名队员中随机选出两名，两人来自同一学校”记作事件，则；（2）的所有可能取值为0,1,2则的分布列为0122.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（=1\*ROMANI）“星队”至少猜对3个成语的概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.【解析】(Ⅰ)记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意，由事件的独立性与互斥性，所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.(Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得,,,,,.可得随机变量X的分布列为012所以数学期望.【核心素养集训】1.某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.851.251.51.752设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【解析】（Ⅰ）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故（Ⅱ）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故又，故因此所求概率为（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为2.为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110（Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望．0．5000．4000．1000．0100．0010．4550．7082．7066．63510．828附:＝【解析】（Ⅰ）有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．（Ⅱ=2\*ROMAN）的可能取值为0，1，2，3X0123P3.(山东省济宁市2020届三模)过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成.到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和.2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：该经济农作物亩产量(kg)该经济农作物市场价格(元/kg)概率概率（1）设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；（2）若该农户从2020年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元的概率；（3）2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元.假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫?并说明理由.【解析】（1）由题意知：，，所以X的所有可能取值为：23000，17000，12500设A表示事件“作物产量为900kg”，则；B表示事件“作物市场价格为15元/kg”，则．则：，所以X的分布列为：2300017000125000.30.50.2（2）设C表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于16000元”，则，设这三年中有Y年的纯收入不少于16000元，则有：所以这三年中至少有两年的纯收入不少于16000元的概率为．（3）由（1）知，2020年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为（元）凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准，所以，能预测该农户在2020年底可以脱贫．4．随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表：性别与读营养说明列联表男女总计读营养说明16824不读营养说明41216总计202040（Ⅰ）根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？（Ⅱ）从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数的分布列及其均值（即数学期望）．（注：，其中为样本容量．）【解析】（1）根据性别与读营养说明列联表，计算随机变量的观测值得：，因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读营养说明有关……5分（Ⅱ）的取值为0，1，2.，，.的分布列为的均值为……12分．5.(2020届山西省晋中市高三下学期一模)2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为，求的分布列和数学期望．参考数据：0.150.100.050.0250.010