专题之新数列题型-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习向量专题之研究新数列题型教学目标初步了解研究新数列题型的主要命题方式，并熟悉掌握一些基本的做法。【解读：研究新数列题型难度很大】知识梳理无典例精讲【说明：此部分所给题量较大，难度也很大，大都是高考原题、一二模考题。各位老师可以根据学生的程度、是否做过等因素，自由组合课前作业、课堂例题、课堂练习、课后作业等。建议要优质生源使用，最好有课前作业，无需面面俱到，但是一定要讲透】例1.（★★★）已知数列，若存在正整数，对一切都有，则称数列为周期数列，是它的一个周期．例如：数列，，，，…①可看作周期为1的数列；数列，，，，…②可看作周期为2的数列；数列，，，，，，…③可看作周期为3的数列…（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是试再写出该数列的一个通项公式；（2）求数列③的前项和；（3）在数列③中，若，且它有一个形如的通项公式，其中、、、均为实数，，，，求该数列的一个通项公式．解：（1）或等．（2）当时，；当时，；当时，（）．（3）由题意，，应有，得，于是，把，，代入上式得由(1)(2)可得，再代入(1)的展开式，可得，与(3)联立得，，于是，因为，所以，于是可求得．故（）．【评述：此题向函数借鉴，给了一个周期数列，考查学生求通项和求和的能力，涉及到了分类讨论，还有一些三角的知识，难度不大】例2.（★★★★）如果无穷数列满足下列条件：①；②存在实数，使．其中，那么我们称数列为数列．（1）设数列的通项为，且是数列，求的取值范围；（2）设是各项为正数的等比数列，是其前项和，证明：数列是数列；（3）设数列是各项均为正整数的数列，求证：．解：（1）,故数列单调递减；当时,，即，则数列中的最大项是，所以，（2）是各项正数的等比数列，是其前项和，,，设其公比为，，整理得，解得或（舍）对任意的，有，且，故是数列。（3）假设存在正整数使得成立，有数列的各项均为正整数，可得，即。因为，所以，由及，得，故因为，所以由此类推，可得,又存在,使，总有，故有，这与数列的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，即对任意，都有成立【评述：此题把满足一定条件的数列作为一类，特别是后一个条件涉及到了数列的单调性。此类题考得很频繁，要学生搞懂接替一般思路和步骤】例3.（★★★★★）对于项数为的有穷数列，记（），即为中最大值，称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）（3）设，常数，若，是的控制数列，求解：（1）数列为：（2）因为，，所以.因为，，所以，即.因此，.（3）对，；；；.比较大小，可得.因为，所以，即；，即.又，从而，，，.因此.【评述：此题给了一个定义，可以由已知数列生成另一个数列，但是法则较难，导致反生成不是唯一的。第二问较为抽象，从数列的单调性入手，有一定难度；第三问又要讨论，较为复杂。此类题可以要求学生先从具体数列开始，寻求规律，真正理解定义，再去归纳到一般形式，字母的逻辑运算】例4.（★★★★★）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质，例如具有性质（1）若，且具有性质，求的值（2）若具有性质，求证：，且当时，（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式解：（1）选取，中与垂直的元素必有形式.所以,从而.（2）证明：取.设满足.由得，所以异号.因为是中唯一的负数，所以中之一为，另一为，故.假设，其中，则选取，并设满足，即，则异号，从而之中恰有一个为.若，则，矛盾；若，则，矛盾；所以.（3）设，则等价于.记，则数集具有性质当且仅当数集关于原点对称.注意到是中的唯一负数，共有个数，所以也只有个数.由于，已有个数，对以下三角数阵:注意到，所以，从而数列的通项公式为【评述：此题将集合、向量、数列交织在一起，非常复杂，难度很大。第一问通过列举法，较简单。第二、第三问都很那入手，涉及到了数列的单调性等。此类题可以要求学生先从具体数列开始，寻求规律，真正理解定义，再去归纳到一般形式，字母的逻辑运算。同时，要求学生多做题，吃透题。例如此题与2009北京高考题最后一题、2011五校联考填空压轴题、2012浦东三模压轴题都如出一辙，但是学生要么没做过这些题，要么做了，以为懂了，但是没有吃透。所以讲透难点很重要】巩固练习1.（★★★★）如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.

（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；（2）若有穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求证：数列的前项和；（3）已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，试判断数列是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用和表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由.（4）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由.解：（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”所以也是该数列的项，且故即。（2）不妨设有穷数列的项数为。因为有穷数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，所以也是该数列的项，又因为数列是递增数列，且，则，故（3）数列是“兑换数列”。证明如下：设数列的公差为，因为数列是项数为项的有穷等差数列若，则即对数列中的任意一项，同理可得：若，也成立，由“兑换数列”的定义可知，数列是“兑换数列”；又因为数列所有项之和是，所以，即（4）假设存在这样的等比数列，设它的公比为，因为数列为递增数列，所以，则又因为数列为“兑换数列”，则，所以是正整数故数列必为有穷数列，不妨设项数为项，则，①若，则有，又，由此得，与矛盾；②若。由，得即，故，与矛盾；综合①②得，不存在满足条件的数列。【评述：此题把满足一定条件的数列作为一类，突破口，还是数列的单调性。此题还涉及了倒序相加等数列基本技巧，其实这种考法很常见，一定要让学生搞懂一般思路和步骤】2.（★★★★）设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列创新数列为．考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．（1）若，写出创新数列的所有数列；（2）是否存在数列，使它的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意，创新数列为的所有数列有两个，即和（2）存在数列的创新数列为等比数列．设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个，所以．若为等比数列，设公比为，因为，所以．当时，为常数列满足条件，即为数列；当时，为增数列，符合条件的数列只能是，又不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个．（3）存在数列，使它的创新数列为等差数列，设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个，所以．若为等差数列，设公差为，因为，所以．且当时，为常数列满足条件，即为数列，此时数列是首项为的任意一个排列，共有个数列；当时，符合条件的数列只能是，此时数列是，有1个；当时，，又这与矛盾，所以此时不存在。综上满足条件的数列的个数为个（或回答个）．【评述：此题又是“生成数列”问题，又和数列的单调性有关。此题还涉及了排列组合等。我们发现，数列类题目，很考查学生逻辑推理能力，这也是一个命题特点】3.（★★★★）已知集合具有性质：对任意，与至少一个属于，（1）分别判断集合与是否具有性质，并说明理由；（2）①求证：；②求证：；（3）研究当和时，集合中的数列是否一定成等差数列？解：（1）对于集合：∴集合具有性质．对于集合：，∴集合不具性质．（2）①②．（3）①当时，集合中元素一定成等差数列．证明：当时，即又，∴．故成等差数列．②当时，集合中元素不一定成等差数列．如：中组成等差数列；中不组成等差数列．③当时，成等差数列．证明：当时，又成等差数列．【评述：此题还是和数列的单调性、逻辑推理能力有关，近年热点考法】回顾总结通过本专题的学习，你对研究新数列题型了解了多少？有没有发现这些题目在命题特点上和解法上有没有什么共性？涉及到了哪些知识点？又要注意些什么？大致题型：（1）新定义型数列，把满足一个或者多个条件的数列放在一个集合中，给一个统一名称；（2）新性质型数列，把满足一个特定性质的数列，单独拿出；（3）新生成型数列，按照某个法则，由已知数列生成新数列，也