人教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题17.14 勾股定理（折叠问题）（培优篇）（专项练习）

专题17.14勾股定理（折叠问题）（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在长方形纸片中，，.把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（

）A． B． C． D．2．在△ABC中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（

）A．5 B． C． D．3．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为（

）A．3 B． C． D．94．如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（

）A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或15．如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（

）A． B．10 C．11 D．6．如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（）A． B． C． D．7．如图①是一个直角三角形纸片，，，将其折叠，使点落在斜边上的点处，折痕为，如图②，再将②沿折叠，使点落在的延长线上的点处，如图③，则折痕的长为A．cm B．cm C．cm D．3cm8．如图，直角三角形纸片中，，，D为斜边中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为（）A． B． C． D．二、填空题9．如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为______．10．如图，长方形中，，点是射线上一点，将沿折叠得到，点恰好落在的垂直平分线上（直线也是的垂直平分线），线段的长为___________．11．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则________12．如图，已知中，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，折痕的长为___________．13．如图，已知中，，，，点D是AC边上的一个动点．将沿BD所在直线折叠，点C的对应点为点E．如图，若，则C，E两点之间的距离为________．14．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的直角三角形时，BD的长可能是______．15．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，O是BC的中点，D是腰AB上一点，把△DOB沿OD折叠得到△DOB′，（1）当DB′∥BC时，∠BDO＝_____；（2）当∠ADB′＝45°时，BD的长度为_____．16．如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，若，则_____．17．如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为________．18．如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点作于点，交于点，连接若，则的长为______，的值为______．19．如图，中，，是斜边上一个动点，把沿直线折叠，点落在同一平面内的处，当平行于的直角边时，的长为______．20．如图，将长方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，点D的对应点为，连接交边于点E，连接，若，，点为的中点，则线段的长为________．三、解答题21．如图，在中，，，，P是线段上一动点，将沿直线折叠，使点B落在点D处，交于点E，连结．(1)求的长．(2)若，求证：．(3)当是直角三角形时，求所有符合条件的长．22．在中，点是上一点，将沿翻折后得到，边交线段于点．如图1，当，时．和有怎样的位置关系，为什么？若，，求线段的长．如图2，若，折叠后要使和，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时的度数．23．如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，轴于点，点是轴正半轴上动点，连接，将折叠得到，点与点对应，折痕为．填空：______，______，______．如图，的边与分别与交于点，，．①求证：；②求的长．连接，当是以为直角顶点的直角三角形时，直接写出点坐标．24．如图1，直线，垂足为O，直线l分别与射线、相交于点A、B，且，，连接．(1)求线段的长；(2)若点C为直线l上的一个动点，求点O到点C的距离的最小值；(3)如图2，将沿直线l折叠，点O落在点D处，，垂足为点E，求的长；(4)若点F为直线或上的一个动点，使得以A、B、F为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有点F的个数为______个．25．如图1，在中，，，，点为边上一动点，将沿直线折叠，得到，请解决下列问题．______；当点恰好落在斜边上时，______；连接，当是以为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点到直线的距离；如图3，为边上一点，且，连接，当为直角三角形时，______．（请写出所有满足条件的长）26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在四边形OABC中，顶点A（0，2），，，且点B在第一象限，△OAB是等边三角形．(1)如图①，求点B的坐标；(2)如图②，将四边形OABC沿直线EF折叠，使点A与点C重合，求点E，F的坐标；(3)如图③，若将四边形OABC沿直线EF折叠，使，设点A对折后所对应的点为，△AEF与四边形EOBF的重叠面积为S，设点E的坐标为（0，m）（0＜m＜1），请直接写出S与m的函数关系式．参考答案1．A【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm，故选择A.【点拨】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.2．C【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G，证明△DHE≌△EGD，利用勾股定理求出，即可得到BE.解：∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8，∴，∵D是AB的中点，∴AD=BD=CD=5，由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC，CE=AC=6，∴BD=DE，作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G，∴∠DHE=∠EGD=90，∠EDH=∠BDE=（180-2∠EDC）=90-∠EDC，∴∠DEB=90-∠EDH=90-(90-∠EDC)=∠EDC，∵DE=DE，∴△DHE≌△EGD，∴DH=EG，EH=DG，设DG=x，则CG=5-x，∵=，∴，∴，∴，∴BE=2EH=，故选：C.【点拨】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明△DHE≌△EGD，由此求出BE的长度.3．C【分析】做点F做交AD于点H，因此要求出EF的长，只要求出EH和HF即可；由折叠的性质可得BE=DE=9-AE，在中应用勾股定理求得AE和BE，同理在中应用勾股定理求得BF，在中应用勾股定理即可求得EF．解：过点F做交AD于点H．∵四边形是四边形沿EF折叠所得，∴ED=BE，CF=，∵ED=BE，DE=AD-AE=9-AE∴BE=9-AE∵，AB=3，BE=9-AE∴∴AE=4∴DE=5∴∴，,∴∴BF=5，EH=1∵，HF=3，EH=1∴故选：C．【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．4．C【分析】分两种情况：①当E点在线段DC上时，②当E点在线段DC的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可．解：分两种情况讨论：①当E点在线段DC上时，如图所示：∵△AD'E≌△ADE，∴∠AD'E=∠D=90°，∵∠AD'B=90°，∴∠AD'B+∠AD'E=180°，∴B、D'、E三点共线，∵△ABE的面积=BE×AD'=AB×AD，AD'=AD，∴BE=AB=5，∵BD'==4，∴DE=D'E=5-4=1；②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，满足条件，如图所示：∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，∴∠CBE=∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE=AB=5，∵BD''==4，∴DE=D″E=BD''+BE=4+5=9；综上所知，DE的长为1或9，故选C．【点拨】本题考查了翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键，有一定难度．5．A【分析】过点D作AB的垂线，垂足为G，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，分别求出△DEA和△DFC的面积，利用S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）可得结果．解：过点D作AB的垂线，垂足为G，∵∠BAC＝120°，∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°，∴AG＝，DG＝，设AE＝x，则BE＝12－x＝DE，在Rt△DGE中，，即，解得：x＝，∴S△ADE＝DG×AE＝＝，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，∵，∴AN＝AB＝6，BN＝，∴BC＝，设DF＝y，则CF＝，DH＝，CH＝，则有，即，解得：，则S△DFC＝，∴S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）＝＝＝故选A．【点拨】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出AE、BF的长是解题关键．6．C【分析】在Rt中，求出，设，则，在中，由勾股定理得，求得，在中，求出，过点怍于点，则，设，则，在Rt中，，可求，在Rt中，，可求，则．解：由折叠可知，，等腰Rt中，，，是的中点，，在Rt中，，，设，则，在中，，，，在Rt中，，过点作于点，，，设，则，在Rt中，，在Rt中，，，，，故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．7．A【分析】根据折叠的性质得出，，证明出为等腰三角形，得，在中，用勾股定理求，根据折叠的性质，证明为等腰三角形，过点作的垂线，在中，利用勾股定理进行求解即可．解：是直角三角形，，，沿折痕折叠点落在斜边上的点处，，，，为等腰三角形，，在中，，设，则由勾股定理：，解得：，，，根据折叠的性质，，为等腰三角形，，过点作的垂线，如下图：由等腰三角形三线合一的性质，，设，则，在中，，即，解得：，，故选：A．【点拨】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定及性质、勾股定理、含角的直角三角形，解题的关键是利用勾股定理来求解．8．D【分析】先求出AD的长，再由折叠的性质可得AP1=AD1，AP2=AD2，AP3=AD3，计算出AD3的长度，可得AP3的长．解：∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BC==10，∵D为斜边BC中点，∴AD=BC=5，由折叠可知：AD1=AD，AP1=AD，∴AP1=AD1，AD2=AD1=AD，AP2=AD1=AD，∴AP2=AD2，可知：AP3=AD3，AD1=AD=，AD2=AD1=AD=，∴AD3=AD2==，∴AP3=AD3=，故选D．【点拨】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；灵活运用翻折变换的性质，正确找出命题中隐含的数量关系是关键；对运算求解能力提出了较高的要求．9．或【分析】连接，过作，交于点，于点，作交于点，先利用勾股定理求出，再分两种情况利用勾股定理求出．解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点点的对应点落在的角平分线上，，设，则，，又折叠图形可得，，解得或，即或．在中，设，当时，，，，，解得，即，当时，，，，，解得，即．故答案为：或．【点拨】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．10．或15【分析】设直线与交于点，分两种情况讨论：当点在线段上时，设，设；当点在射线上时，设，分别利用勾股定理求解即可．解：根据题意，四边形为长方形，直线是、的垂直平分线，则，，设直线与交于点，可分两种情况讨论：①如下图，当点在线段上时，设，在中，∵，，，∴，∵，∴，∴在中，可有，即有，解得，即；②如下图，当点在射线上时，设，在中，∵，，，∴，∵，∴，∴在中，可有，即有，解得，即．综上所述，线段的长为或15．故答案为：或15．【点拨】本题主要考查了折叠的性质、垂直平分线、勾股定理等知识，解题关键是熟练运用分类讨论的思想分析问题．11．或##或【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时，三点共线，根据可求得，再由勾股定理可得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值；②当点E在射线CD上时，设，则，，由勾股定理可解得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值即可．解：根据题意，四边形ABCD为长方形，，，将沿AE折叠得到，则，，，①如图1，当点E在线段CD上时，∵，∴三点共线，∵，∴，∵，∴；∴在中，；②如图2，当点E在射线CD上时，∵，，，∴，设，则，∴，∵，即，解得，∴，∴在中，．综上所述，AE的值为或．故答案为：或．【点拨】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．12．或【分析】由为直角三角形，分两种情况进行讨论：分别依据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕的长．解：分两种情况：如图，当时，是直角三角形，在中，，，由折叠可得，，，，，，，，，；如图，当时，是直角三角形，由题可得，，，，又，，过作于，则，，由折叠可得，，是等腰直角三角形，，．故答案为：或．【点拨】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．13．【分析】连接CE，交BD于点F，由折叠性质知，BE=BC，CD=ED，得到BD垂直平分CE，推出CF=EF=CE，根据BC=6，CD=2，∠ACB=90°，求出，根据三角形面积公式得到，得到，求出，推出．解：连接CE，交BD于点F，由折叠知，BE=BC，CD=ED，∴BD垂直平分CE，∴CF=EF=CE，∵BC=6，CD=2，∠ACB=90°，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题主要考查了折叠，线段垂直平分线，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握折叠图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，勾股定理解直角三角形，面积法求直角三角形斜边上的高．14．3或或【分析】分，，三种情况，分别作出图形，解直角三角形即可．解：由折叠性质可得：，，，在中，，，，①如图，当时，为直角三角形，，，，，为等边三角形，，；②如图，当时，为直角三角形，；③当时，为直角三角形，，为等边三角形，，在中，，，，，，，，综上，或或，故答案为：3或或．【点拨】本题考查直角三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是分类讨论，将图形作出．15．

或【分析】（1）根据平行线的性质求出，再由折叠的性质得到，由此求解即可；（2）分点在AB右侧时，如图1所示，点在AB左侧时，如图2所示，两种情况讨论求解即可．解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵，∴，由折叠的性质可知，∴，故答案为：；（2）若点在AB右侧时，如图1所示，，，，，是的中点，，把沿折叠得到，，，，，，，，．若点在AB左侧时，如图2所示，∵，沿折叠得到，∴，∴，过点O作OH⊥AB于H，作∠HDF=45°交OH于F，∴∠HDF=∠HFD=45°，，∴，∴DH=HF，，∵，∠ABC=45°，BH⊥OH，∴△BHO是等腰直角三角形，∴OH=BH=2，∴，∴，∴；综上所述，或；故答案为：或．【点拨】本题主要考查了折叠，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，熟知相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．16．【分析】先根据30°直角三角形的特点求出CD、，再根据折叠求出BC的长，最后证明即可利用30°直角三角形的特点求出．解：∵等边三角形∴，∵，∴∴∴∵折叠∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题考查折叠的性质、勾股定理、30°的直角三角形的性质、等边三角形的性质，证明是解题的关键．17．2或【分析】分情况讨论：当时，当时，当时三种情况下，分别利用勾股定理和翻折的性质可得到答案．解：当为直角三角形时，可有：①当时，如图1，此时，由折叠性质可知，，∵，∴，∴；②当时，如图2，由折叠性质可知，，，，∴，即M、E、C三点共线，设，则，在中，，∴，在中，有，即，解得，即，③当时，点E在直线CD上，此时，故此种情况不符合题意．综上所述，满足条件的BN的长为2或．故答案为：2或．【点拨】本题主要考查了翻折的性质和勾股定理的运用，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．18．

【分析】根据设，由，列比例式可得，设，则，由勾股定理可解答．解：设，由折叠得：，∵∴∴∴，即，∴，∴，∴，设，则，由勾股定理得：，∴解得：，∴∴∴故答案为：．【点拨】本题考查的是翻折变换的性质，解直角三角形，勾股定理，掌握翻折变换的性质是解题的关键．19．或【分析】在Rt△ABC中，BC＝AC＝，于是得到AB＝2，∠B＝∠A′CB＝45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，根据折叠的性质得到∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，推出A′C⊥AB，求得BH＝BC＝1，DH＝A′D＝x，然后列方程即可得到结果，②如图2，当A′D∥AC，根据折叠的性质得到AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，根据平行线的性质得到∠A′DC＝∠ACD，于是得到∠A′DC＝∠A′CD，推出A′D＝A′C，于是得到AD＝AC＝．解：Rt△ABC中，BC＝AC＝，∴AB＝2，∠B＝∠A′CB＝45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，∵∠B＝45°，∴A′C⊥AB，∴BH＝BC＝1，DH＝A′D＝x，∴x＋x＋1＝2，∴x＝2-，∴AD＝2-；②如图2，当A′D∥AC，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，∵∠A′DC＝∠ACD，∴∠A′DC＝∠A′CD，∴A′D＝A′C，∴AD＝AC＝，综上所述：AD的长为：或．【点拨】本题考查了翻折变换−折叠问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．20．##2.25【分析】连接，勾股定理求得，进而证明，设，根据,以及三边关系建立方程组，解方程组求解即可．解：如图，连接，折叠，，四边形是长方形，，，,，设则是的中点，在中，在中，即解得,又∵设在中即①又②由①可得③将②代入③得④②-④得解得即故答案为：【点拨】本题考查了勾股定理，折叠问题，因式分解，三角形全等的性质与判定，解二元一次方程组，掌握折叠的性质是解题的关键．21．(1) (2)见分析 (3)或【分析】(1)根据等角对等边及折叠的性质，即可求得；(2)根据折叠的性质，平行线的性质及等角对等边，即可证得，，据此即可证得结论；(3)分两种情况：当，设，根据勾股定理列方程即可求得；当，过点C作于点H，根据直角三角形的性质，平行线的性质及三角形外角性质，可证得，即可得，据此即可求得．（1）解：，．由折叠知，；（2）证明：，，．，，，，，，即；（3）解：设．①当，如图．此时，．，．由，得：，解得，即；②当，如图，作于点H．由①知，．，，，，，，，．综上所述，当是直角三角形时，或．【点拨】本题考查了等角对等边，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，三角形外角的性质，平行线的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．22．(1)，见分析； (2)的值为【分析】（1）由折叠可知，，由平行可知，，根据三角形内角和得到，再由，利用等量代换可求，即可求解；设，则，在Rt中，，解得：，设，由折叠可知，，则，在Rt中，，解得：，即可求解；（2）设，则，当时，；当时，当时，，不符合题意，舍去；当时，，；当时，，；当时此时，，不成立；当时，此时不成立；当时，此时不成立；当时，当时，此时不成立；当时，；当时，此时不成立．（1）解：，理由如下：由折叠可知，，，，，，，，，，；设，则，由折叠可知，，在Rt中，，，解得：，，设，由折叠可知，，则，在Rt中，，，解得：，即；（2）解：，设，则，由折叠可知，，当时，是直角三角形则是等腰三角形，，；当时，是直角三角形，则是等腰三角形，，，当时，，此时，不符合题意，舍去；当时，，此时，所以；当时，，此时，所以；当时此时，，不成立；当时，是直角三角形，此时不能是等腰三角形，否则与边没有交点；当时，是直角三角形，则是等腰三角形，所以，所以；此时，与题意不符合，不成立；当时，是直角三角形，则是等腰三角形，所以，所以，当时，，此时，不成立；当时，，此时，所以；当时，，此时，不成立．综上所述，的值为．【点拨】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．23．(1)，， (2)①证明见分析；② (3)点坐标为或【分析】（1）根据题意，结合点的坐标，求解即可；（2）①连接，根据等边对等角，得出，再根据折叠的性质，得出，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论；②设，则，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据勾股定理，得出，解出即可得出结果；（3）分两种情况：当点在线段时和当点在线段的延长线上时，根据折叠的性质和勾股定理求解即可．（1）解：∵点，轴于点，轴于点，∴，，，∴，故答案为：，，；（2）①证明：如图，连接，∵，∴，∵将折叠得到，∴，，，∴，又∵，，∴，∴；②解：设，则，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴；（3）解：∵是以为直角顶点的直角三角形，∴点在直线上，如图，当点在线段时，∵将折叠得到，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴点，当点在线段的延长线上时，同理可求，∴，∵，∴，∴，∴点，综上所述：点坐标为或．【点拨】本题是几何变换综合题，考查了坐标与图形、等边对等角、全等三角形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解本题的关键．24．(1) (2)点O到点C的距离的最小值为 (3) (4)8【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；（2）过点O作于点C，此时最小，根据等积法求出即可；（3）连接，交于点C，根据对称性求出：，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得到x的值，最后根据勾股定理求出结果即可；（4）分类进行讨论得出结果即可．（1）解：∵，∴，∵，，∴．（2）解：过点O作于点C，此时最小，如图所示：∵，∴，即点O到点C的距离的最小值为．（3）解：连接，交于点C，如图所示：∵点O与点D关于对称，∴垂直平分，即，，∴，∴，根据折叠可知，，设，则，在中，，在中，∴，解得：，∴．（4）解：当，点F在上时，如图所示：当，点F在上时，如图所示：当，点F在上时，如图所示：当，点F在上时，如图所示：当，点F在上时，如图所示：当，点F在上时，如图所示：综上分析可知，满足条件的所有点F的个数为8个．故答案为：8．【点拨】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的定义，轴对称的性质，解题的关键是注意进行分类讨论．25．(1)， (2)图见分析，到直线的距离为 (3)或或【分析】（1）直接根据勾股定理可得的长度，画出点恰好落在斜边上时的图形，