中考数学复习图形的运动

分类例析中考试题中图形的运动图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折，图形在运动的过程中，对应线段、对应角的大小不变．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等．图形在旋转的过程中，对应线段的夹角相等，这个夹角就是旋转角．图形在翻折前后，对应点的连线的垂直平分线就是对称轴．图形的运动是近几年新课程考试的热点问题，常见的题型有：一、判断题．这类题目主要考察中心对称图形、轴对称图形的概念．【例1】（2006，烟台）从一副扑克牌中抽出如下四张牌，其中是中心对称图形的有（）．A.1张；B.2张；C.3张；D.4张．【例2】（2006，宁波）下列图形中，只有一条对称轴的是（）．A.B.C.D.【例3】（2006，深圳）下列图形中，是轴对称图形的为（）．ＡＢＣＤ【例4】（2006，广安）下面的希腊字母中,是轴对称图形的是（）．ΧδλΨABCD【例5】（2006，南京）下列图形中，是中心对称图形的是（）．A.菱形；B.等腰梯形；C.等边三角形；D.等腰直角三角形．【例6】（2006，金华）将叶片图案旋转1800后，得到的图形是()．[解答]例1——6：B、C、D、D、A、D.二、计算题．解答这类题目，关键是寻找图形在运动过程中的等量线段和相等的角．【例7】（2006，苏州）如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=1300，∠B=1100．那么∠BCD的度数等于（）．A.400；B.500；C．600；D.700.[解析]对称轴把五边形分成了两个全等的四边形，再根据四边形的内角和等于3600，可以算得∠BCD＝2×300＝600．选C．【例8】（2006，淄博）将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后在同一条直线上，则∠CBD的度数（）．A.大于90°；B.等于90°；C.小于90°；D.不能确定．[解析]由轴对称图形的对应角相等，知∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，所以∠CBD＝90°．选B．【例9】（2006，内江）如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，则AE的长为()．A.；B.3；C.2；D.．[解析]由轴对称图形的对应边相等，知AB＝AB′；由垂直平分线的性质，知BB′＝AB′．因此△ABB′是等边三角形，AE＝2．选C．【例10】（2006，绍兴）如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、BC的中点，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE∶BE等于()．A．2∶1；B．1∶2；C．3∶2；D．2∶3．[解析]连结MN交DE于F，根据轴对称图形的性质，知MF=NF；由中位线的性质，知MF=AE，NF=BE，因此AE∶BE=2∶1．选A．【例11】（2006，浙江）在Rt△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是（）．A．；B．；C．；D．．[解析]Rt△ABC绕点B旋转60°的过程，线段BC扫过的图形是一个圆心角为60°、半径为2的扇形，点C运动的路线就是一条弧，弧长为．选B．【例12】（2006，临安）如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至E，连AE、DE，则△ADE的面积是（）．A．1；B．2；C．3；D．不能确定．[解析]已知△ADE的底AD，从探求AD边的高入手设法解决问题．过点D作DF⊥BC于F，则FC=1．将△DFC绕点D逆时针旋转90°得△DEG，那么AD边的高EG=1．选A．【例13】（2006，绵阳）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°后，得到△AB′C′，且C′为BC的中点，则C′D∶DB′等于（）．A．；B．；C．；D．．[解析]判断△ABC的特征是解决这个题的关键．由旋转图形的性质很容易判断△ACC′是等边三角形，进而判断△ABC是30°角的直角三角形，那么AB⊥B′C′．选D．【例14】（2006，青岛）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，则点P与点P'之间的距离为_______，∠APB＝______°．[解析]这是一道典型题，第一个填空为解答第二个填空作了暗示．由旋转图形的性质很容易判断△APP′是等边三角形，由勾股定理的逆定理可以判定△BPP′是直角三角形，因此∠APB＝150°．三、画图题．这是考察概念难度较高的题目，不仅要理解概念，还要根据概念动手画图．【例15】（2006，上海）在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性．如图是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形．[解析]这个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，一般情况下学生不会画错，体现了命题的人性化，但是在不用尺规随意用手画的情况下是要扣分的．【例16】（2006，嘉兴）如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换：①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°；③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°．其中，能将△ABC变换成△PQR的是（）．（A）①②； （B）①③； （C）②③； （D）①②③．[解析]这道题目含而不笑，不要求画图但是画图的每一个过程都要在脑海里显现．选D．四、探究图形运动过程中的等量关系．【例17】（2006，河北课改区）如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM、FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想；图1A(G)B(E)COD(F)图2EABDG图1A(G)B(E)COD(F)图2EABDGFOMNC图3图3ABDGEFOMNC[解析]从图1到图2到图3，不变的是OE=OF=OB=OD和45°的角，变化的是因图形的位置关系而导致的∠OBM与∠OFN的度数不同，在图2中，∠OBM＝∠OFN＝45°，在图3中，∠OBM＝∠OFN＝135°．总之，△OBM≌△OFN的性质不变，全等三角形的对应边BM=FN．五、因图形的运动而产生的函数关系问题．【例18】（2006，重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△和△两个三角形（如图2所示）.将纸片△沿直线（AB）方向平移（点始终在同一直线上），当点与点B重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与分别交于点F、P.当△平移到如图3所示的位置时，猜想图中的与的数量关系，并证明你的猜想；设平移距离为，△与△重叠部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；对于（2）中的结论是否存在这样的的值，使得重叠部分的面积等于原△面积的；若不存在，请说明理由.图1图2图3[解析]图形在运动的过程中，对应线段平行且相等，对应点的连线平行且相等．在图3中，与始终平行且相等，与保持垂直关系，====5，因此=，△∽△，△∽△，△∽△．[解答]（1）=，证明略．（2）由△∽△，得．因此由△∽△，得所以（0≤≤5）．（3）存在.当时，即．整理，得解得，．即当或时，重叠部分的面积等于原面积的．【例19】（2006，济南）如图1，以矩形的两边和所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点的坐标为点的坐标为．将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的正半轴上，旋转后的矩形为相交于点．（1）求点的坐标与线段的长；（2）将图1中的矩形沿轴向上平移，如图2，矩形是平移过程中的某一位置，相交于点，点运动到点停止．设点运动的距离为，矩形与原矩形重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（3）如图3，当点运动到点时，平移后的矩形为．请你思考如何通过图形变换使矩形与原矩形重合，请简述你的做法．ＡＡＯＣＢＭＡＯＣＢＡＯＢＣ(Ｐ)图1图2图3[解析]本题中图1是矩形的旋转，对应边的大小不变；图2是矩形的平移，对应点平移的距离相等；图3是开放题，条条道路回“罗马”．图1与图2中，所有的直角三角形都是相似的，对应边成比例，面积比等于对应边比的平方．第（1）小题求点的坐标与线段的长为第（2）小题用表示线段的长奠定了基础．在坐标平面内，要用数形结合的数学思想将线段的长度用点的坐标表示出来．[解答]（1）如图1，因为，所以点的坐标为．．（2）在矩形沿轴向上平移到点与点重合的过程中，点运动到矩形的边上时，求得点移动的距离．，，．当自变量的取值范围为时，如图2，由，得．所以．因此．当自变量的取值范围为时，，求得（或）．（3）部分参考答案：①把矩形沿的角平分线所在直线对折．②把矩形绕点顺时针旋转，使点与点重合，再沿轴向下平移4个单位长度．③把矩形绕点顺时针旋转，使点与点重合，再沿所在的直线对折．④把矩形沿轴向下平移4个单位长度，再绕点顺时针旋转，使点与点重合．提示：本小题只要求整体图形的重合，不必要求图形原对应点的重合．【例20】（2006，泰州）将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在轴上，OA=6，OC=10.（1）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标.（2）如图2，在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G∥A′O交E′F于T点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′.（3）在（2）的条件下，设T（，）.①探求：与之间的函数关系式.②指出变量的取值范围.（4）如图3，如果将矩形OABC变为平行四边形OA＂B＂C＂，使OC＂=10，OC＂边上的高等于6,其它条件均不变,探求：这时T（，）的坐标与之间是否仍然满足（3）中所得的函数关系,若满足,请说明理由；若不满足,写出你认为正确的函数关系式.图1图2图3[解析]本题从特殊到一般研究三角形的翻折问题，把图形放置在坐标平面内，又深入探究图形运动过程中的函数关系．图1的特殊性是矩形纸片折叠时的折痕过点C，图2的一般性是矩形纸片折叠时的折痕过线段OC上的一点，图3的一般性是将矩形纸片换成了平行四边形．第（1）小题在Rt△ADE中用勾股定理及数形结合思想探究点E的坐标的过程，为第（3）小题探究函数关系提供方法依据．第（2）、（3）小题的探究过程又为第（4）小题探究函数关系奠定基础．[解答]（1）在Rt△BCD中，BC=6，DC=OC=10，所以BD=8．在Rt△AED中，AD=2，DE=OE，AE=6－OE，由勾股定理，得，解得，所以．（2）由∠D′E′F=∠OE′F，∠D′E′F=∠D′TE′，得∠D′E′F=∠D′TE′．因此D′T=D′E′=OE′，所以TG=A′E′．（3）①因为T（，），所以A′D′=，TG=A′E′=，D′T=D′E′=OE′=6－．由勾股定理，得，整理，得．②2≤≤6．（4）将平行四边形OA＂B＂C＂可以割补为图2中的矩形OA′B′C′，当时，仍然满足；当≥6时，点T不存在．六、和图形的运动相关的问题．【例21】（2006，北京课改区）已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最