保险精算学-利息理论基础

本课程研究以单个被保险人为承保对

象

，

以

被

保

险

人

的生

、

死为

保

险

事

故

的

单

个

被

保

险

人

型人

身

保

险的

精

算

方

法

。人

身

保

险

精

算□

基础■

利息理论基础

生命表基础口

核

心■

保

费

计

算责

任

准

备

金

计

算口

拓

展i

特

殊

年

金

与

寿

险资

产

份

额课程结构●

利息的度量●

利息问题求解的原则

●

年金●

收益率第

1

章

利

息

理

论

基

础第

一

节利

息

的

度

量口

定

义

1利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场

合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者

的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能

支配该笔资金而蒙受的损失。一、利息的定义口

定

义

2

:本金：每项业务开始时投资的金额。终值：业务开始一定时间后回收到的总金额称为

该时刻的终值(或累计值)。利息：累计值与本金的差额就是这一时期的利息

金

额

。终值

=本

金

+

利

息A

=S

+I口影响利息大小的三要素：本

金

金

额利

率投

资

时

间二

、

利

息

的

度

量口

按

照

计

息时

刻

划

分

：1.

期

末

计

息

：

利

率2.

期初计息：贴现率按

照

积

累

方

式

划

分1.

线

性

积

累

(

1

)

单

利

计

息

(

2

)

单

贴

现

计

息2.

指

数

积

累

(

1

)

复

利

计

息

(

2

)

复

贴

现

计

息□按照利息转换频率划分1.

一年转换一次：实质利率(实质贴现率)2.

一

年

转

换

m

次

：

名

义

利

率

(

名

义

贴

现

率

)

3.

连续计息(一年转换无穷次)

:利息效力二

、

利

息

的

度

量三、

利息理论基础本

金

：

每

项

业

务

开

始

时

投

资

的

金

额

。积

累

值

：

过

了

一

定

时

间

再

回

收

的

总

金

额

。利

息

：

积

累

值

减

去

本

金

。积

累

函

数：

在

时

刻

0

时

投

资

1

单

位

本

金在时

刻t

的

积

累

值

，

用

a(t)

表

示

；金

额

函

数

：在

时

刻

0

时

投

资

C

单位本

金在

时刻t时的积累值，用A(t)

表示。0

tA(t)=Ca(t)Z=

-a(t)(C--

-------A(■积累函数

a(t)■金额函数

A(t)终

值本

金积

累

函

数a(t)

的

性

质

：

.

(t)是

t的连续函数；

4.若

a(0)=C,

则

A(t)=C

a(t).a(t)的

四

种

情

况

：1.线

性

金

额

函

数

；2.

非线性函数；3.水平的积累额函数；4.阶梯上升的积累额函数。a；时，函数生增产递续为连常1;321设

a(t)=at²+b,

且

A(O)=100,A(3)=370,求A(5)=

100

时

的

A(10).□

某

一

度

量

期

的

实

际

利

率，

是

指

该

度

量

期内

得

到

的

利

息

金

额

与此

度

量

期

开

始

时

投

入

的

本

金

金

额

之

比。

实

际

利

率

通

常

用

字

母i

表

示

。口对于多个度量期的情形

，

可以分别定义各个度量期的实际

利率。用i

表示

从

投资日

算

起

第n个

度

量

期的

实际

利

率，

则口利息率

：

单位本金在单位时间内所孳生的利息

。实际

利

率□

单

利

的

计

算

：只

有

本

金

计

息

，

利

息

不

计

息

的

计

息

方

式

。口

复利的计算：本

周

期

的

利

息

由

上

周

期

的本

利

和产

生

，

也就

是

利

息

也

将

产

生

利

息

。2.单利与复利(对多个利息周期而言))单利计算(利息不计

)累积函数

：a(t)=1+i₁+i₂+……+i₄(2)复利计算(利息也计息)累积函数：a(t)=(1+i₁)(1+i₂)(1+i₃)……(1+i)is息……1ii设

在

0

到t时

刻

，

利

率

河

以

变

动

，

如

第

一

个时

间

段

i=i₁,

第二个时间段

i=i₂

……如下图所示：本金

1利率|i₁

时间t

0工32●

●

●

●

●

●●●t-131t等

利

率

情

况

下单利累积函数：a(t)=1+i

t金额函数：A(t)=A(0)(1+it)=A(0)a(t)复利累积函数：a(t)=(1+i)金额函数：A(t)=A(0)(1+i)t=A(0)a(t)时

间

(

年

)各

年

实

际

利

率时

间

(

年

)各

年

实

际

利

率O-22%5-63%2-54%口本金1000元，6年投资如下，分别按单利和复

利

，

求

资

本

总

额

以

及

利

息

总

额

。例3.现

值(Present

Value单利与复利的现值(单个度量周期)已知：本金为1的投资在一个度量周期期末将会有

1+i积累值，1+i称为累积因子。反之：为使一个度量周期期末的积累值为1,在期初

投

资

的

本

金

金

额

须

是

(

1

+i)-1,

把

(

1

+i)-1

称为贴现因子，记为：

故有单利与复利的现值(多个度量周期)t年现值：我们把现在1单位元在t年前的值或者未来t年1单位元在现在的值称为t年的现值。1单位本金经过t年后成为

a()

那么

1单位累计值在t年前的值便为

a¹lg)a(t)t累积值1/a(t)-t现值10本金复利下的现值和累计值单利下的现值和累计值金额时间-1

0

1

2

t金额时间(1+i)²2(1+i)t严-2+-11+i1+-21011+ti11+i1+ti1+2i1+i-七-七十1■■■dt)A(t)------------1积

累

函

数

a(t)金

额

函

数A(t)贴现函数a-¹(t)第n期利息I(n)0tI(n)=A(n)-A(n-1)终

值本

金a-¹(t)学学学学学学学学学学学0

如

果

应

在

将

来

某

个

时

期

支

付

的

金

额

提

前

到

现

在

来

支

付

，

则

支

付

额

中

应

扣

除

一

部

分

金

额

，

这

个

扣除额称为贴现额。。它相当于资金投资在期初的预付利息。贴

现

和

利

息

的

区

别

在

于

分

析

的

出

发

点

不

同

：利息是在本金基础上的增加额

，

而贴现则是在累积

额

基

础

上

的

减

少

。

它

相

当

于

利

率

在

每

一

利

息

计

算

期

的

起

点

时

刻

被

记

入

。贴现额○某

人

以

年

利

率

5

%

向

银

行

借

1

0

0

元

，

则

银

行

将付给借款人100元。

1年后，该借款人将

还

给

银

行

贷

款

本

金

1

0

0

元

，

外

加

5

元

的

利

息

，

共

计

1

0

5

元

。o

如

果

此

人

不

是

以

年

实

际

利

率

5

%

而

是

以

年

实

际

贴

现

率

5

%

向

银

行

借

1

0

0

元

，

为

期

1

年

，

则

银

行

将预收5%(即5元)的利息，而仅付给借款人95元

。

一

年

后

，

该

借

款

人

将

还

给

银

行

1

0

0

元

。

单位

时

间

以

年

度

衡

量

时

，

称

为

实

际

贴

现

率

。实际

贴

现

率

为

该

年内

得

到

的

利

息

金

额

与

此

年

末

的

累

计

金

额之比。

简

称

为

贴

现

率。

第n年的贴

现

率

记

为dn。一

年的

贴

现

率

简

化

表示

为d,

有

实际

贴

现率第

n

年的

贴

现率

为●

使积累值为一个单位，须在一个度量周期期初支

付

的

利

息

。●解

释

：为

了

在

时

间

1

能

得

到

1

元

的

返

还

，

投

资人

必

须在时间0投入(1-d)

元资金。这就相当于单位

时

间

后

到

期

的

1

元

钱

，

在

单

位

时

间

里

产

生

的

利

息

是d

。d

即

为

单

位

时

间

的

实

际

贴

现

率

。实

际

贴

现

率d:-t-10

1

t复

利

下

的

现

值

和

累

计

值(1-d)t

1-d1

=

a-ay金

额时

间t;1-d==U

某

人

存

1

0

0

0

元

进

入

银

行

，

第

1

年

末

存

款

余

额

为

1

0

2

0

元

，

第

2

年

存

款

余

额

为

1

0

5

0

元

，

求

：

i₁

、i

₂

、d1、d₂分

别

等

于

多

少

?例

实质利率/贴现率---A(O)=1000,A(1)=1020,A(2)=1050-.I₁=A(1)—A(O)=20I₂=A(2)—A(1)=30答

案例

已

知

某

投

资

在

一

年

中

能

得

到

的

利

息

金

额

是

4

2

0

元

，

而

等

价

的

贴

现

金

额

是

3

0

0

元

，

求

本

金

。●

实际利率和实际贴现率都是用来度量利息的。

实际利率6%并不等于实际贴现率6%。然而，

在实际利率和实际贴现率之间存在着一个确定

的

关

系

。●

若对给定的投资金额，在同样长的时期内，它

们产生同样的积累值，则称这两个“率”是“

等

价

”

的

。设本金为A,

则A

i=420,Ad=300,

所

以i/d=1.4,即1

+i=1.4,i=0.4从而得A=420/0.4=1050

元，即投资的本金为1050元。解初始值利

息积累值1Z1+iVd1实际利率与实际贴现率ν=1-d=(1+i)-1□

实际利率(贴现率)“实际”

:指利息在每个度量期(期末或期中)支付

一

次

。口

问题：如果在一个度量期中利息支付不止一次，或

多个度量期利息才支付一次，该如何刻画利率?口

答案：此种情况下称相应的一个度量期的利率为名义利率(贴现率)(

4

)

名

义

利

率(4)名

义

利

率

(Nominal

Interest

Rates)考虑如下的多次性结算问题：假设年利率(annulnterestrate)为

i,现在

需

要在

一

年

内

等

周

期

地

进

行多次结算，

比如每半年(semiannually)、一个季度(quarterly)或一个月(monthly)结算一次，应该如何操作呢?通

常采用如下

的结算方式

：假设一年

内进行

m

次结算

，

则

以

i的算术平均数作为每次结算

的利

率

：

.子

立

·

·

·

于

是

，

每

次

结

算

的

累积

值

为

,k

=1,2,·.,m此时，我们称

为名义(复)利率，并记m次结算的名义利率为

j(m,(

5

)

多

次

结

算

方

式

下

的

实

际

利

率●

问题：

一年多次结算与一次结算的效果有什么区别?考虑如下的计算实例：·

婆李金为1秀：整类年结算的名义利率为10%

,

则结算利●

第一次结算结果：1×(1+0.05)=1.05元，●第二次结算结果：1.05×(1+0.05)=1.1025元，●—年的利息额：1.1025-1=0.1025元，●

实际的年利率：10.25%.我

们

称

“

1

0

%

的

名

义

复

利

率”

与

“

1

0

.

2

5

%

的

年

利

率

”为等价利

率(equivalentrates)由此可见，在使

用

名

义

利

率

进行多

次

结

算时，客观上产生了一个实

际利率

(

或有

效

利

率：EffectiveInterestRates)i,

即0

第1季度

第2季度

第3季度

1年1

l

1+i实际利率……

……………...名

义

利

率

(n

与

实

际

利

率j[+

[+*][丁1+4)

1反

之

也

有i(m)=m(Vl+i-1).

故

在

多

次

结

算

下的

实

际

利

率

为时的实际贴现率为若记实际年贴现率为d,则有(

6

)

名

义

贴

现

率

与

实

际

贴

现

率设d(m)为一年m

次结算的名义贴现率，则每次结算f-“丁

[-44]

1-a4)

1名

义

贴

现

率d(m)第

2

季

度d1

年1-d第

3

季

度第

1

季

度01口在单利下由于利率只在本金上记息，所以

没有名义利率和实际利率的区别。(7)利息力现在考虑一个反问题：

如果保持实际利率i

不变，而让结算次数趋向与无穷，那么,名义利率的变化趋势将是怎样的呢?计算可得所以得到

δ=ln(1+i)以及

i=e⁰-1

现在解释利息力的意义：

设累积函数为a(t)=(1+i)',这是利息力的又一表达方式。则利息强度口在下面的讨论中，如果不作特别的说明，我们总是

考

虑离

散的时间周

期，

通

常

以

一年为单位，

多年的资金运行按复利计算.

[+

”

+4]

[+]

11利

息i

1+i1…

…1—dd1

.....时

间

0

1/p

2/p

3/p

(p-1)/p

dd(P)/p

d(P)/p

d(P)/p-------d(P)/pi(P)/pi(P)/pi(P)/p

-----------

i(P)/p五

种

利

息

支

付

方

式

：δi1、

确

定

5

0

0

元

以

季

度

转

换

8

%

年

利

率

投

资

5

年的积累值

。2、

如

以

6

%

年

利

，

按

半

年

为

期预

付及

转

换，

到

第

6

年

末

支

付

1

0

0

0

元

，

求

其

现

时

值

。3、

确定季度转换的名义利率，使其等于

月

度

转

换

6

%

名

义

贴

现

率

。例1、2、3、答

案=6.0605%利息问题求解原则第

二

节口

原始投资本金口

投资时期长度口

利率及计息方式期初/期末计息：利率/贴现率积

累

方

式

：

单

利

计

息

、

复

利

计

息■

利息转换时期：实质利率、

名义利率、利息

效

力口

本金在投资期末的积累值一、利息问题求解四要素第一年的年初第一年的年末、第二年的年初0

1

2

3kk+1

年

份k年的年末、第

k+1年

的年初我们先介绍时间周期的坐标表示方法，

如图所示：二

、

利

息

问

题

求

解

原

则□本质：任何一个有关利息问题的求解本质都

是

对

四

要

素

知

三

求

一

的

问

题□

工

具

：

现

金

流

图口方法：建立现金流分析方程(等值方程)□

间参照点，等值方程等号两边

现

时

值

相

等原则：在任意DPo

P₁

D

P

n现金流时间坐标tT

200t●

某人为了能在第7年末得到1万元款项，他

愿