广东省韶关市重阳中学高三数学文期末试题含解析

广东省韶关市重阳中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则A．-2

B．-1

C．0

D．1

参考答案：D2.定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|；②f（2x）=cf（x）（c为正常数），若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c的值是（）A．1 B．±2 C．或3 D．1或2参考答案：D【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由已知中定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|．我们可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，进而根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．【解答】解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|），此时当x=时，函数取极大值；当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|；此时当x=3时，函数取极大值1；当4＜x≤8时，2＜≤4，则f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|），此时当x=6时，函数取极大值c．∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴=，解得c=1或2．故选D．【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．3.如右图，OA=2（单位：m）,OB=1(单位：m),OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交与点C.甲。乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位:ms）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：ms）沿圆弧行至点C后停止，乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止。设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图像大致是

参考答案：A当时，甲经过的路程为乙经过的路程为所以三角形的面积为，为抛物线，排除B,D.当时，甲到B,乙到达A.此时,即圆的半径为，由图象可知，当时，面积越来越大，当甲到C处，乙到A处时，甲乙停止，此时面积将不在变化，为常数，排除C，选A.4.已知关于x的方程，则下列说法错误的是A.当时，方程的解的个数为1个

B.当时，方程的解的个数为1个C.当时，方程的解的个数为2个

D.当时，方程的解的个数为2个参考答案：D5.若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．【解答】解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．6.如图已知中,点在线段上,点在线段上且满足,若,则的值为A．

B．

C.

D．参考答案：A因为，所以。7.已知i是虚数单位，则复数i13（1+i）=

A．l+i

B．l－i

C．-l+I

D．-l－i参考答案：C略8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A． B． C．或 D．或参考答案：D【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B为或故选D【点评】本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人会考虑对于角B的取舍问题，而此题两种都可以，因为我们的过程是恒等变形．条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了．虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点9.定义两个平面向量的一种运算?=||?||sin＜，＞，则关于平面向量上述运算的以下结论中，①?=?，②λ（?）=（λ）?，③若=λ，则?=0，④若=λ，且λ＞0，则（+）?=（?）+（?）．恒成立的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】①由新定义可得?=|=?，即可判断出；②由新定义可得=λ，而=，当λ＜0时，λ（?）=（λ）?，不成立；③若=λ，可得，故?=0，即可判断出；④若=λ，且λ＞0，则，由新定义可得?=，而==．即可判断出．【解答】解：①∵?=|=?，故，故恒成立；②∵=λ，而=，当λ＜0时，λ（?）=（λ）?，不成立；③若=λ，则，得到?=0，故恒成立；④若=λ，且λ＞0，则+=（1+λ），∴+?=，而+=+=|1+λ|．故（+）?=（?）+（?）恒成立．综上可知：只有①③④恒成立．故选B．10.从存有号码为1,2，…,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到的次数581871313610119则取到号码为奇数的频率是(

)

A

0.53，B

0.5，

C

47，

D

0.37。

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.平面向量的单位向量是

参考答案：12.某多面体的三视图，如图所示，则该几何体的外接球的表面积为

.参考答案：

13.已知为锐角，则___________参考答案：【分析】先求出，再利用两角和的正弦公式展开，带值计算即可.【详解】解：为锐角，则为钝角，则，，故答案为：.【点睛】本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，关键是要找到已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，是基础题.14.定义一种运算，令，且，

则函数的最大值是______.参考答案：令，则

∴由运算定义可知，∴当，即时，该函数取得最大值.由图象变换可知，

所求函数的最大值与函数在区间上的最大值相同.15.已知正实数,则的值为__________.

参考答案：略16.执行右面的程序框图，若输入的的值为0.25，则输入的n的值为

参考答案：3第一次循环，，此时不成立。第二次循环，，此时成立，输出。17.过点P(,3)的直线，交圆于A、B两点，Q为圆上任意一点，且Q到AB的最大距离为，则直线l的方程为

。参考答案：或

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD．（Ⅰ）求证：l是⊙O的切线；（Ⅱ）若⊙O的半径OA=5，AC=4，求CD的长．参考答案：【考点】圆的切线的判定定理的证明；与圆有关的比例线段．【专题】选作题；立体几何．分析；（Ⅰ）连接OP，由AC与BD都与直线l垂直，得到AC与BD平行，由AB与l不相交得到四边形ABDC为梯形，又O为AB中点，P为CD中点，所以OP为梯形的中位线，根据梯形中位线性质得到OP与BD平行，从而得到OP与l垂直，而P在圆上，故l为圆的切线；（Ⅱ）过点A作AE⊥BD，垂足为E，求出BE，利用勾股定理，即可得出结论．（Ⅰ）证明：连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD．又OA=OB，PC=PD，所以OP∥BD，从而OP⊥l．因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．（Ⅱ）解：由上知OP=（AC+BD），所以BD=2OP﹣AC=6，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE=BD﹣AC=6﹣4=2，在Rt△ABE中，AE==4，∴CD=4．【点评】此题考查了切线的判定，梯形中位线性质及直线与圆的位置关系．证明切线时：有点连接圆心与这点，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径，是经常连接的辅助线．19.（12分）（2015秋?河南月考）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（3）=1．（Ⅰ）集合A={x|f（x）＞f（x﹣1）+2}，B={x|f（）＞0}，且满足A∩B=?，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）设a＜b，比较f（）与f（）的大小，并说明理由．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；构造法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先证明函数的单调性，在分别求出集合A，B，根据A∩B=?，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）首先判断﹣的正负情况，利用构造函数得出g（x）=x+2+（x﹣2）ex，根据导函数，判断函数的单调性，从而得出上述表达式的正负，利用单调性得出函数值的大小．【解答】解：（Ⅰ）设0＜x1＜x2＜+∞，则由条件“对任意正数x，x都有f（xy）=f（x）+f（y）”，可知：f（x2）=f（．x1）=f（）+f（x1），∵＞1∴由已知条件f（）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=f（）＞0即f（x2）＞f（x1），因此f（x）在（0，+∞）上为增函数；∵f（3）=1，∴f（9）=2，∴f（x）＞f（x﹣1）+2，∴f（x）＞f（9x﹣9），∴x＞9x﹣9，x＞0，x﹣1＞0，∴A=（1，），令x=y=1，得f（1）=0，∵f（）＞0=f（1），∴f（）＞1，∴＞0，∴B=（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），∵A∩B=?，∴≥，∴0＜a≤；（Ⅱ）﹣=，令b﹣a=x，g（x）=x+2+（x﹣2）ex，x＞0，∴g'（x）=1+（x﹣1）ex，令h（x）=g'（x）=1+（x﹣1）ex，∴h'（x）=xex＞0，∴g'（x）在（0，+∞）上递增，g'（0）=0，∴g'（x）＞g（0）=0，∴g（x）在（0，+∞）上递增，g（0）=0，∴g（x）＞g（0）=0，∵b﹣a＞0，∴﹣=＞0，∴＞，∴f（）＞f（）．【点评】考查了抽象函数的单调性判断，利用函数单调性，利用定义法求解实际问题，利用导函数判断函数的单调性问题．20.已知函数定义域为，若对于任意的，，都有，且>0时，有>0.⑴证明:为奇函数;⑵证明:在上为单调递增函数;⑶设=1,若<,对所有恒成立,求实数的取值范围.参考答案：（1）令，令，，为奇函数

(2）在上为单调递增函数;

(3）在上为单调递增函数，，使对所有恒成立,只要>1,即>0令21.已知函数.(1)讨论极值点的个数；(2)若是的一个极值点，且，证明:.参考答案：(1)当时，无极值点；当时，有1个极值点；当或时，有2个极值点；(2)证明见解析【分析】（1）求导得到；分别在、、和四种情况下根据的符号确定的单调性，根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数；（2）由（1）的结论和可求得，从而得到，代入函数解析式可得；令可将化为关于的函数，利用导数可求得的单调性，从而得到，进而得到结论.【详解】（1）①当时，当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增为的唯一极小值点，无极大值点，即此时极值点个数为：个②当时，令，解得：，⑴当时，和时，；时，在，上单调递增；在上单调递减为的极大值点，为的极小值点，即极值点个数为：个⑵当时，，此时恒成立且不恒为在上单调递增，无极值点，即极值点个数为：个⑶当时，和时，；时，在，上单调递增；在上单调递减为的极大值点，为的极小值点，即极值点个数为：个综上所述：当时，无极值点；当时，有个极值点；当或时，有个极值点（2）由（1）知，若是的一个极