人教版九上《解一元二次方程》

1——以人教版九上“21.2一元二次方程解法”单元为例一、单元信息基本信息年级教材版本单元名称数学九年级第一学期人教版21.2解一元二次方程单元组织方式自然单元□重组单元课时信息序号课时名称对应教材内容1配方法2第21.2.2；21.2.4(P9-12，P15-16)34(P5-18)二、单元分析(一)课标要求经历一元二次方程解法的探究过程，体会数学的从特殊到一般、从具体到抽象的思想方法，领会“化归”思想和“降次”策略在方程中的作用.能用直接开平方法、因式分解法解一元二次方程.理解用配方法解一元二次方程的基本思路，掌握求根公式并会用配方法和公式法解一元二次方程.理解一元二次方程的根的判别式的意义，会用判别式判断一元二次方程根的情况，能根据一元二次方程根的情况确定判别式的值的符号.理解二次三项式的因式分解与一元二次方程的根之间的内在联系.课程标准中明确：本章应注重联系实际，体现建模思想，培养和发展学生的应用意识；在教学中应重视知识的联系，要建立合理的逻辑过程，突出解方程的基本策略；在教学过程中应注重培养学生发现和提出问题、分析问题和解决问题的能力.(二)教材分析21.知识网络《一元二次方程》是《课标(2011年版)》“方程与不等式”内容中在一元一次方程(七年级上)，二元一次方程组(七年级下)，分式方程(八年级上)的最后一章。主要研究一元二次方程概念、解法和应用。它是在学生已经学习了一次方程和分式方程内容之后安排的。知识结构上，遵循方程研究的一般路径(概念-解法-应用)；研究方法上，让学生经历“具体情境抽象概念—研究特例归纳解法—运用解法解决问题”的学习过程，渗透类比、特殊到一般和一般到特殊等研究问题的思想方法，发展数学抽象、数学运算、数学推理等能力。通过本单元的学习，学生能够建立起比较完善的方程的知识结构，进一步感受从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，并通过将一般性问题化归为特殊问题，获得这一类问题的解法，从而形成具有普适性的数学思想方法.同时，也为二次函数的学习奠定了基础。因此，本单元的学习重点是：一元二次方程的解法。(三)学情分析从学生的认知规律看：学生在一元一次方程(七年级上)，二元一次方程组(七年级下)，分式方程(八年级上)的学习中已经获得了“方程”学习的一般路径和过程，体会到了“方程”和代数研究的一般路径，这些都为一元二次方程的学习打下思想方法基础。从学生的学习习惯、思维规律看：九年级学生在数学的学习上已经具备一定的自主学习能力和独立思考能力，也积累了一定的数学学习活动经验。学生的抽象逻辑思维已经开始占主导地位并且逐步由经验型向理论型转化。学生的观察力、记忆力、想象力都有着一定的发展，能够通过感知事务提出猜想，然后进行推理论证，但推理过程还依旧需要感性经验的支撑。因此，本单元的学习难点是：灵活运用一元二次方程的解法解决实际问题，培养模型思想和应用意识.三、单元学习与作业目标31.会用直接开平方法、因式分解法解特殊的一元二次方程.2.理解用配方法解一元二次方程的基本思路，掌握求根公式并能用配方法和公式法解一元二次方.3.经历一元二次方程解法的探索过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法，领会“化归”思想和“降次”策略.4.会列一元二次方程的解法解决简单的实际问题，体会方程思想，培养模型意识.四、单元课程及作业设计思路1.单元课程整体的调整设计：人教九年级“一元二次方程解法”，本单元教师用书共计安排7个课时，依据教材编排呈现的自然课时(自然课时以“练习”为标志)，如下表所示：21.2.2公式法分解法21.2.4一元二次方程根与系数的关系复习、机动2课时2课时从单元整体教学角度，笔者对课时进行了重新划分：将第1、2自然课时合并成1个课时，目的体现数学的整体性、思想的一致性；将第3自然课时与第5自然课时的部分内容合并成一个课时，目的是体现数学的思想逻辑的连贯性、思维的系统性.这样就有4个机动课时，给教师和学生腾出更多的时间，可以利用这个时间进行综合训练或开展综合实践活动.21.2.2公式法21.2.4一元二次方程根与系数的关系复习、机动4课时2.单元作业的分层设计：每个课时的作业由“基础性作业”和“发展性作业”组成.基础性作业面向全体学生，紧扣课标要求，题量为2-3大题，要求学生必做并上交老师批改订正；发展性作业主要体现学生个性化发展的需要，因此探究性、实践性较强，题量2-3大题，要求学生有选择的完成，不必上交，可以与老师单独交流。具体设计体系如下：4五、课时作业第一课时(21.2.1配方法)作业1(基础性作业)1.作业内容(1)解下列方程：(2)解下列方程：3(x-1)2+6=0；④(x+3)2=0,填空:①x2+10x+____=(x+____)2；②x2-12x+____=(x-____)2；x2+5x+____=(x+____)2；④x2-x+____=(x-____)2.2.时间要求(20分钟以内)3.评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。C，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等，解法有新意和独到之处，答案正确。B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。综合评价等级BC等。54.作业分析与设计意图(1)本题作业的前三题是“P6练习”中的(1)(2)(6)课本原题，④是补充练习，练习反映了一元二次方程解的不同情况,由此明确了形如x2=p(Ⅰ)的一元二次方程根的三种情况.巩固形如x2=p(Ⅰ)的一元二次方程根的解法.(2)本题作业的前两题是“P6练习”中的(3)(5)原题，③是原题(4)的改编④是补充练习，由此明确并归纳得到形如(x+n)2=p(Ⅱ)的一元二次方程根的三种情况.这样的作业设计，一方面将课本的习题进行了处理，另一方面补充与改编的题目是为了强化学生对一元二次方程的根可能有三种情况的感性认识、体会“降次”的依据——开平方运算，同时为后面学习根的判别式埋下伏笔.巩固形如(x+n)2=p(Ⅱ)的一元二次方程根的解法，体会“降次”思想。(3)本题作业时课本P9练习1，通过这个练习，让学生明确配方，配什么？基础性作业主要考虑有具有基础性，重视所学内容中的“四基”，培养学生的“四能”，同时具有针对性，是根据教学目标与教学过程中的学生表现而设计，配合教学进度、教学内容进行设计便于及时反馈，避免进行大量的、无针对性的、机械性的练习.作业2(发展性作业)(1)解下列方程：①x2+4x-9=2x-11；(2)课本P18阅读与思考3.评价设计x(x+4)=8x+12；作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。C等，过程不规范或无过程，答案错误。6解法的创新性A等，解法有新意和独到之处，答案正确。B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。综合评价等级BC等。4.作业分析与设计意图(1)本题作业是课本练习题，是对基础性作业(3)补充拓展，要求学生能通过对方程的变形整合达到配方的目的；(2)本题需要学生认真阅读相关材料然后再联系所学知识，运用所学一元二次方程的解法分析、解决问题，旨在培养学生用数学的眼光观察世界与用数学的思维思考世界.体会数学的应用价值。第二课时(21.2.2公式法、21.2.4一元二次方程根与系数的关系)作业1(基础性作业)1.作业内容(1)用公式法解方程：(2)解下列方程：(3)不解方程求下列方程两个根的和与积.xx2.时间要求(20分钟)73.评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。C，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等，解法有新意和独到之处，答案正确。B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。综合评价等级AAAAABA等；ABB、BBB、AAC综合评价BC等。4.作业分析与设计意图PP过练习体会用求根公式解方程的步骤，明晰用求根公式前要化方程为“一般形式”，确定a、b、c的值时要注意它们的符号；(2)本题是“P12练习1”(2)(3)(5)(6)，因为不同学生的数学水平参差不齐，学习能力也不同，个性千差万别，此处遵循“因材施教”原则，对同一问题尽可能多角度设计阶梯形题组，使各个层次的学生在各自的起点上都有所收获；(3)本题前三题是“P16练习”，让学生体会用一元二次方程根与系数关系前要化方程为“一般形式”。这部分内容为选学内容，重在体会关系式。8作业2(发展性作业)1.作业内容(1)利用判别式判断下列方程的根的情况：①2x2-3x-=0；②16x2-24x+9=0；(2)求下列方程两个根的和与积：2.时间要求(20分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性错误、或无过程。答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。C等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等，解法有新意和独到之处，答案正确。B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。综合评价等级合评价为B等；其余情况综合评价为C等。4.作业分析与设计意图(1)本题是P17习题21.2“复习巩固”第4题，在本题中学生通过练习体会用一元二次方程根与系数的关系，明晰根与系数关系的“一般形式”，确定a、b、c的作用；(2)本题是P17习题21.2“复习巩固”第7题，本题是习题中带有星号的题目，是选学内容，通过本题的练习旨在让学生初步理解一元二次方程根与系数的关系并能灵活运用解题。9第三课时(21.2.3因式分解法)作业1(基础性作业)1.作业内容(1)解下列方程：③3x2-6x=-3；④4x2-121=0.(2)如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍。求小圆形场地的半径.2.时间要求(15分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性错误、或无过程。答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。C等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等，解法有新意和独到之处，答案正确。B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。综合评价等级合评价为B等；其余情况综合评价为C等。4.作业分析与设计意图(1)本题是P14练习第1题(1)(2)(3)(4)，在本题中学生通过练习运用提公因式法、公式法进行因式分解进而解一元二次方程，体会“降次”的基本思路明确各种解法的特点，学会根据题目特点做出适当的选择；(2)本题是P14练习第2题，本题是一个实际问题通过本题的练习旨在让学生可以根据具体问题构造出一元二次方程解决问题，体会数学问题来源于生活又服务于生活.作业2(发展性作业)1.作业内容(1)解下列方程：①3x(x-1)=2(x-1)；②(x-4)2=(5-2x)2；xxxx3-x)2(2)参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加了商品交易会？2.时间要求(15分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性错误、或无过程。答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。C等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等，解法有新意和独到之处，答案正确。B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。综合评价等级合评价为B等；其余情况综合评价为C等。4.作业分析与设计意图(1)本题是P14练习第1题(5)(6)和习题21.2“复习巩固”第6题(3)(4)，在本题的学生解题中容易犯经验主义错误，第①③题学生容易方程两边同除以一个一次式，从而只得到一个一次方程，第②④题学生容易直接将平方去掉从而得到一个一次方程，通过本题的训练旨在让学生理解因式分解的方法解一元二次方程必须先把方程化为一般形式，再分解为两个一次式的积等于；(2)本题是P17习题21.2“综合运用”第9题，通过实际问题的训练使学生能建立数学模型用所学知识分析问题，解决问题；机动课时作业1(基础性作业)1.作业内容(1)解方程：2x2+2x-4=0(2)解方程：x2-75x+350=0(3)P18阅读与思考黄金分割数画五角星.2.时间要求(15分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性错误、或无过程。答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。C等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等，解法有新意和独到之处，答案正确。B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。综合评价等级合评价为B等；其余情况综合评价为C等。4.作业分析与设计意图第(1)题是章前引言中实际问题所列方程，第(2)题时21.1一元二次方程引例中的问题1所列方程.在日常教学中，常出现章前图的问题得不到解决的情况，把这两个问题组成题组，更能突出问题解决，也能给学生留下深刻印象.运用数学知识与方法解决实际问题的实践性作业，学生可以通过解决这两个问题体会数学来源于生活，并体验问题解决带来的乐趣；第(3)题是P18的阅读与思考，本题可让学生课下小组交流画法，并得到至少两种画五角形的方法，渗透项目式学习.联系七上的数学活动练习2(人教版七上P144)动手做一个实物五角星，尝试说明为什么这样做得到的是五角星.培养学生的模型思想和应用意识.作业2(发展性作业)1.作业内容(1)无论p取何值，方程(x-3)(x-20)-p2=0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由.(2)上网查阅有关黄金数与优选法、斐波那契数列等资料.2.时间要求(20分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性错误、或无过程。答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。C等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等，解法有新意和独到之处，答案正确。B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。综合评价等级合评价为B等；其余情况综合评价为C等。4.作业分析与设计意图(1)本题是P17习题21.2“拓广探索”第13题，本题含有参数，目的是通过将方程转化为一般形式，对判别式的取值进行分析，加强学生对判别式的理解和认识.(2)通过上网查阅资料开阔视野，进一步了解黄金分割数的应用，使学生认识到现实中的许多现象都可以借助这个奇妙的数进行研究，激发学生的求知欲.六、单元质量检测作业(一)单元质量检测作业内容一、选择题(单项选择)1．已知一元二次方程x2+x+1＝0，下列判断正确()A．该方程有两个不相等的实数根B．该方程有两个相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况无法确定2．方程x2+x﹣2＝0的两个根为()3．下列一元二次方程中，有两个实数根的和为2是()AxxB．x2﹣2x+2022＝04．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可能是()