特训06 圆和扇形面积 压轴题（解析版）

特训06圆和扇形面积压轴题一、解答题1．（2022上·上海·六年级专题练习）等边三角形的边长是3厘米，现将沿一条直线翻滚30次，如图所示，求点经过的路程的长．【答案】125.6cm【分析】翻转第一次转动，它走的路程是圆心角是的圆弧；翻转第二次转动，它走的路程是圆心角是的圆弧；第三次点是不动的，因此每翻滚一次，就有一次固定不动，以此类推，根据圆的周长公式求出点经过的路程，由此求解．【解析】A点运动一次走过的路程是圆心角为半径为3厘米的扇形的弧长，但连续运动两次之后，第三次A点是不动的，因此每翻滚一次，就有一次固定不动，A点经过的路程的长为：．【点睛】本题综合性较强，一方面要分清楚点的运动路径，另一方面要确定三角形在旋转时的旋转中心．2．（2022上·上海宝山·六年级校考期末）如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为4米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地，(1)若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积（结果保留）(2)为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积（结果保留）【答案】(1)平方米(2)平方米【分析】（1）先根据题意画出图形，列出算式，再求出即可；（2）先根据题意画出图形，列出算式，再求出即可．【解析】（1）解：假设羊绷着绳子跑，则羊能到达的区域就是最大区域的边界，当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大区域为图中阴影部分，则面积（平方米），答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是平方米；（2）如图，当绳长为6米时，羊活动的最大区域为阴影部分，其中分为扇形，扇形，扇形，∵，，，∴，，∴阴影部分面积为．【点睛】本题考查了扇形的面积计算，能根据题意画出图形，列出算式是解此题的关键．3．（2022上·上海·六年级专题练习）正方形的边长为4厘米．(1)分别以点A、C为圆心，4厘米为半径的弧、弧与边、所形成的阴影部分如图1，求图1阴影部分的面积．(2)以点B为圆心，4厘米为半径的弧与以、为直径的两个半圆所形成的阴影部分如图2，求图2阴影部分的面积．(3)若以为直径的半圆与三角形的边、所形成的阴影部分如图3，请试求图3阴影部分的面积．【答案】(1)3.44(2)4.56(3)4【分析】（1）因为四边形为正方形，所以，可通过可求出阴影部分的面积；（2）如图2，连接，，交点为O，则可将阴影①绕点O顺时针旋转至③，将阴影②绕点O逆时针旋转至④，则通过可求出阴影部分的面积；（3）如图3，将阴影①沿的垂直平分线翻折至②，则，求出的面积即可．【解析】（1）解：∵四边形为正方形，∴，∴(平方厘米)；（2）解∶如图2，连接，，交点为O，则可将阴影①绕点O顺时针旋转至③，将阴影②绕点O逆时针旋转至④，则(平方厘米)；（3）如图3，将阴影①沿的垂直平分线翻折至②，则，∵厘米，∴（平方厘米），∴（平方厘米）．【点睛】本题考查了与圆有关的计算，阴影部分的面积等，解题关键是能够将不规则图形的面积转化为几个规则图形面积的差或和等．4．（2021上·上海徐汇·六年级上海市第四中学校考期末）小明用边长为3厘米的木条做了个正三角形框架，之后又用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈．

(1)求这个圆扫过的面积是．(2)小明又用同样长度的木条做了个正五边形（五条边相等，五个内角相等的图形）的框架，那么再用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈其扫过的面积又是．(3)当用同样长度的木条做正n边形（n条边相等，n个内角相等的图形）的框架，再用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚一圈．圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成，现标记这个扇形的圆心角大小为，正n边形的内角大小为，请写出与之间的数量关系，并用含n的式子表示的大小，则．【答案】(1)(2)(3)；．【分析】（1）根据题意，求得三个长方形和一个圆的面积即可求解；（2）根据（1）的方法，面积为五个长方形和一个圆的面积，即可求解；（3）根据，即可求解．【解析】（1）解：依题意，这个圆扫过的面积是，故答案为：．（2）根据题意，这个圆扫过的面积是故答案为：．（3）解：依题意，长方形的每个角为，根据题意，圆扫过的图形中扇形的圆心角之和为，则边形中，每一个扇形的角度又∵∴故答案为：；．【点睛】本题考查了求圆的面积，扇形的圆心角度数，理解题意是解题的关键．5．（2022下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案：方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．(1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是______．(2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？(3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取3）【答案】(1)20π(2)不省料，因为方案B与方案A的周长相等．(3)甲可以得到360元【分析】（1）根据圆的周长公式：c=πd，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可．（2）首先根据圆的周长公式：c=πd，求出直径是8米、和12米的圆的周长和，然后与图1进行比较．（3）因为圆的周长和直径成正比例，所以5个小圆的周长和等于直径20米的圆的周长．设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米，据此列方程解答．【解析】（1）π×10×2=20π（米），答：修的花坛的周长是20π米．（2）2+3=520×=8（米）20×=12（米），8π+12π=20π（米），答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等．（3）综合前两问可得，花坛的总周长为20π，修完花坛共花费20π×10=200π=600元，设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米，4x+（x+x）×（8-4）=20π解得x=4，（4×4+4××4）×10=360（元），答：甲可以得到360元．【点睛】此题解答关键是明确：圆的周长和直径成正比例，（3）找出等量关系列方程解答．6．（2023上·上海杨浦·六年级统考期末）在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想．(1)小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并量的这个长方形的长是厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？(2)生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图），它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱体的高．小明在学习了《圆的面积》后，也想用类似的方法研究圆柱体的体积，他将一个圆柱体等分成若干分，拼成了一个近似的长方体（如图），他发现把圆柱体等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱体的体积，故由长方体的体积推导出圆柱体的体积.如果设这个圆柱体底面的半径为，高为，体积为，那么这个长方体的长=，宽=，所以圆柱体的体积．(3)将一个底面周长是厘米的圆柱体斜着截去一段，截后的形体如图所示，求这个截后的体积是多少立方厘米？【答案】(1)平方厘米(2)，，(3)立方厘米【分析】（1）求出圆的半径，再根据圆的面积公式求出结果即可；（2）由（1）可知拼成的长方体的长、宽，再根据长方体体积的计算公式进行计算即可；（3）求出圆柱的底面半径，再根据截后的体积底面半径为2，高为2的圆柱体体积的一半底面半径为2，高为3的圆柱体的体积进行计算即可．【解析】（1）解：设圆的半径为厘米，由题意得，，解得，圆的面积为（平方厘米），答：这个圆的面积是28.26平方厘米；（2）由（1）可知，所拼成的长方体的长为圆周长的一半，即，宽为圆的半径，由于长方体的体积为长宽高，所以圆柱的体积为，故答案为：，，；（3）设圆柱底面半径为厘米，则，解得，所以截后的体积为（立方厘米），答：截后的体积为50.24立方厘米．【点睛】本题考查认识立体图形，截一个几何体，掌握圆面积、圆周长、长方体体积、圆柱体积的计算方法是正确解答的前提．7．（2019上·六年级单元测试）某服装厂有形状为等腰三角形的边角布料，测的得，米，现要从此三角形中剪出若干扇形，以制作不同形状的玩具，要求扇形的两条半径恰好都在的边上，扇形的弧与的一边有一个公共点（或两边各有一个公共点）．如第一幅图所示的扇形符合题意．现请设计其他符合题意的一种方案，要求在第二幅图中画出图形，请直接写出半径并求扇形的周长（结果保留π），若想不出其他方案，可以直接根据第一幅图写出半径并求该扇形的周长（结果保留π），若还有更多方案，可以画在后面的图中．

【答案】（米），（米）；（米），（米），图形见解析【分析】第一幅图中的扇形半径等于等腰三角形腰的一半，用弧长公式求出弧长，再算扇形周长，第二幅图可以以B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，画出一个扇形，用同样的方法求出扇形周长．【解析】解：方案一，如图，过点O作于点D，作于点E，O是AB的中点，四边形ODCE是正方形，（米），即半径（米），弧长（米），扇形周长（米）；

方案二，如图，以B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，半径（米），弧长（米），周长（米），

综上：（米），（米）；（米），（米）．【点睛】本题考查扇形的周长的求解，解题的关键是掌握扇形的周长的求解方法．8．（2020上·六年级单元测试）如下图，是一个电动玩具，它是由一个的长方形盘（单位：）和一个半径为的小圆盘（盘中画有娃娃脸）组成的，它们的连接点为，．如果小圆盘沿着长方形内壁，从点出发按逆时针方向不停地滚动（无滑动），直到回到原来的位置．（1）请你计算一下，小圆盘中的娃娃脸在，，的位置是怎样的？请画出示意图；（2）小圆盘共自转了几圈？（3）计算小圆盘绕长方形盘滚动一周，扫过长方形盘的面积．【答案】（1）见解析；（2）3圈；（3）．【分析】（1）求小圆盘从A到B到C再到D，这些过程滚过的路程长，看小圆盘转动了几圈，画出对应的“娃娃脸”；（2）把整个过程分成四段去分析每段小圆盘自转了几圈，最后加起来；（3）确定小圆盘绕长方形滚动一周扫过的图形的形状，然后利用割补法求面积．【解析】（1）小圆盘的周长=（cm），从A处到B处，小圆盘滚动的距离=（cm），∴小圆盘从A滚动到B刚好转一圈，那么B处的“娃娃脸”刚好和A处一样，从B处到C处，小圆盘滚动的距离=（cm），∴小圆盘从B滚动到C刚好转半圈，那么C处的“娃娃脸”应该是倒过来的，从C到D的过程和从A到B一样，综上，小圆盘中娃娃脸的位置如图所示：；（2）根据（1）中的分析，小圆盘从A到B自转了1圈，从B到C自转了圈，从C到D自转了1圈，从D到A自转了圈，所以一共自转了3圈；（3）如图，小圆盘扫过的面积是图中阴影部分面积，四个角上的空白部分面积和=边长是2cm的正方形面积-半径是1cm的圆的面积=（），中间空白长方形的面积=（），阴影部分面积=整体面积-空白部分面积=（）．【点睛】本题考查的是圆的周长和面积的综合运用题，解题的关键是搞清楚题目中这个小圆盘滚动的过程，利用它的周长和面积去解决问题．9．（2011·四川南充·中考真题）有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm.最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等．（1）直接写出其余四个圆的直径长；（2）求相邻两圆的间距．【答案】解：（1）其余四个圆的直径依次为：2.8cm,2.6cm,2.4cm,2.2cm（2）cm．【分析】（1）通过总长21cm，右侧边缘1.5cm，左侧边缘1.5cm，大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm，即可求得其余四个圆的直径．（2）相邻两圆的间距d均相等即可求得．【解析】解：（1）其余四个圆的直径依次为：2.8cm,2.6cm,2.4cm,2.2cm（2）依题意得，，∴，∴答：相邻两圆的间距为cm.．10．（2020上·六年级单元测试）已知正方形的边长为8，圆的半径为1．（1）如图①，若圆在正方形的内侧沿着正方形的四条边无滑动地滚动一周回到原来的位置，求圆心经过的路程和圆扫过区域的面积；（结果保留）（2）如图②，若圆在正方形的外侧沿着正方形的四条边无滑动地滚动一周回到原来的位置，求圆心经过的路程和圆扫过区域的面积．（结果保留）【答案】（1）路程为24，面积为；（2）路程为，面积为【分析】（1）如图①，圆心经过的路程，就是边长为6的正方形的周长；圆滚动一周，滚不到的面积（阴影部分）是四周的角以及中间的一个小正方形，四周的角合起来相当于一个边长为2的正方形减去一个半径为1的圆的面积，中间小正方形的边长为，然后用大的正方形面积减去滚动不到的面积，即可解得；（2）如图②，圆形经过的路程，是四周的角和四条长度为8的线段组成的图形的周长，四个角合起来相当于一个半径为1的圆的周长，然后求和即可解得；如图③，圆滚动一周，扫过的面积（阴影部分）是四周的角以及四个长方形组成，四周的角合起来相当于一个半径2的圆的面积，四个长方形的边长是长为8和宽为2，然后将两部分面积求和，即可解得；【解析】（1）如图①，圆心经过的路程=大的正方形面积=中间小的正方形面积=四周角的面积=则圆扫过区域的面积=（2）如图②，圆心经过的路程=如图③，圆扫过区域的面积=【点睛】本题主要考查正方形和圆的组合图形的周长和面积的计算，解题的关键是弄清楚圆心经过的图形的形状和圆滚动的地方由哪几部分组成．11．（2023上·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）圆形是自然界中最完美的形状之一，具有独特的美感和魅力，它通过一种简单的方式展现了和谐和平衡．小红同学在学习了圆之后，设计了一个以圆为主体的图案，如图所示，它是由三个圆组成，其中最小圆半径与最大圆半径的比是，中圆半径与最小圆半径的比是，已知最大圆的周长为．（取）(1)求中圆的半径；(2)图中分别用红色、黄色、蓝色填涂阴影部分，其中蓝色部分面积是红色部分面积与黄色部分面积之和的，红色部分面积是黄色部分面积的，分别求红色部分面积和黄色部分面积；(3)为了使图案更加精美，小红在空白区域内镶嵌银色水钻，每平方厘米所需银色水钻的原价是元，购买时正赶上商家促销，每平方厘米现价比原价少，求小红购买银色水钻花了多少钱？【答案】(1)中圆半径为(2)红色部分面积为，黄色部分面积为(3)【分析】本题考查了圆的周长以及面积公式，分数的混合运算；（1）先根据周长公式求得圆的半径，根据比例的性质求得中圆的半径，即可求解；（2）先求得红色部分面积与黄色部分面积之和，进而根据红色部分面积是黄色部分面积的，列出算式求得黄色部分面积与红色面积即可求解；（3）先求得单价与空白部分面积，进而即可求解．【解析】（1）解：∵最大圆的周长为．∴大圆的半径为∵最小圆半径与最大圆半径的比是，中圆半径与最小圆半径的比是，∴最小圆的半径为，中圆半径为；（2）解：蓝色部分面积是小圆的面积，即，∵蓝色部分面积是红色部分面积与黄色部分面积之和的，∴红色部分面积与黄色部分面积之和为，∵红色部分面积是黄色部分面积的，∴黄色部分面积，红色部分面积为，答：红色部分面积为，黄色部分面积为；（3）解：空白区域内的面积为，，∴小红购买银色水钻花了元，答：小红购买银色水钻花了．12．（2023上·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）哈尔滨成功申办2025年亚冬会，筹备工作已逐步进入新阶段，为践行“冰天雪地也是金山银山”发展理念，推动向北开发新高地，进一步打造城市新形象，某公园计划在公园广场上浇筑一块冰上娱乐场地，由两个半圆和一个长方形组成，两个半圆区域为冰尕区，直径为12米；中间长方形区域为狗拉冰车区，长为80米．（取3）

(1)需要浇筑区域为多少平方米？(2)为缓解客流紧张，狗拉冰车区域被如图分成了三条80米长、4米宽的跑道可供更多游客同时娱乐，现计划用一些漂亮的LED灯线装饰场地各区域外围和跑道分割线（不考虑边框线宽度），且每米装饰灯线40元，浇筑冰场每平方米300元，完成场地建设共需要费用多少元？【答案】(1)平方米(2)335600元【分析】本题考查圆的周长和面积，长方形的周长和面积．（1）用两个半圆的面积加上长方形的面积进行求解即可；（2）根据总费用等于装饰灯线的费用加上浇筑冰场的费用，列式计算即可．读懂题意，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键．【解析】（1）解：平方米；答：需要浇筑区域为平方米；（2）（元）（元），

（元）；答：完成场地建设共需要费用335600元．13．（2023上·黑龙江大庆·六年级统考期中）求下列图形的阴影部分面积（单位：）．（结果保留）(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查不规则图形面积的求解，涉及圆的面积公式、直角三角形面积公式，根据题中图形，数形结合，间接表示不规则图形面积，利用公式代值求解是解决问题的关键．（1）不规则图形可以看着一个大圆里面含着一个小圆，利用圆的面积公式代值求解即可得到答案；（2）根据图形，不规则图形面积可以看着两个半圆与直角三角形面积和去掉一个大圆的面积，利用圆的面积公式、直角三角形面积公式代值求解即可得到答案．【解析】（1）解：；（2）．14．（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）探究圆的面积时，我们把圆面积转化为近似长方形面积，其实圆的面积还可以转化为三角形面积，如图，是一个由若干粗细一致的麻绳围成的圆形茶杯垫，沿半径剪开，展开后得到一个近似的三角形．

(1)这个三角形的底相当于圆的______，高相当于圆的______．A．半径

B．直径

C．周长

D．周长的一半(2)如果圆的半径是r，我们也可以推导出圆形的面积公式：圆形的面积＝三角形的面积＝______×____________．【答案】(1)C，A(2)，【分析】（1）根据转化过程选择即可；（2）利用（1）中的关系补充公式即可．【解析】（1）解：由图可得，这个三角形的底相当于圆的周长，高相当于圆的半径，故选：C，A；（2）解：由（1）可知，这个三角形的底相当于圆的周长，高相当于圆的半径，∵圆的半径是r，∴圆形的面积＝三角形的面积，故答案为：，r，．【点睛】本题考查对圆的面积公式的推导过程的理解，根据题意可得三角形的底相当于圆的周长，高相当于圆的半径是解题的关键．15．（2023上·广西南宁·七年级南宁十四中校考开学考试）【问题背景】学校运动场如图①，两端是半圆形，中间是正方形运动场，周长是257米．中间正方形的边长是多少米？（π取3．14）

(1)【分析与解答】某小组采取合作学习的方式探究此问题，以下是该小组三位同学的对话：甲：“把运动场进行平移变换（如图②），则圆的周长正方形边长运动场周长．”乙：“圆的周长可以看作是正方形边长的3.14倍．”丙：“我们可以用方程的思想来解决问题！”亲爱的同学，请你帮助他们完成解答．(2)【拓展延伸】学校计划在此运动场内部修建一条宽是5米的塑胶跑道（图③中阴影部分），每平方米塑胶跑道的造价是80元，一共需要多少元？【答案】(1)米(2)一共需要125818元【分析】（1）通过正方形周长先求出正方形边长，即圆的直径，用圆的周长正方形边长运动场周长，计算即可；（2）用圆环面积两个长方形面积，求出塑胶跑道面积，再乘每平方米造价即可．【解析】（1）解：（米）；（2）（米）；（米）；（平方米）；（元）．答：一共需要125818元．【点睛】本题考查了组合图形的周长和面积，圆环面积．16．（2023上·黑龙江大庆·六年级统考期末）（1）求下图阴影部分的周长和面积．（单位：厘米）

（2）求阴影部分的面积．（单位：厘米）

【答案】（1）厘米；（2）平方厘米．【分析】（1）由图看出，三个半圆弧的长即为阴影部分的周长；用大半圆面积减去两个小半圆面积即为阴影部分的面积，进而求解即可；（2）由图看出，用正方形面积减去一个两个半圆面积即为阴影部分的面积，进而求解即可．【解析】解：（1）周长：（厘米），面积：（平方厘米）；（2）（平方厘米）．【点睛】本题考查不规则图形的面积和周长，涉及圆面积、周长公式，会利用割补法求解是解答的关键．17．（2023·上海·六年级假期作业）数学思考．如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积．（单位：平方厘米）

【答案】平方厘米【分析】如下图所示；连接，P点为半圆周的中点，作三角形的高，则G是的中点，所以的长度为正方形的边长加半圆的半径，正方形的边长是10厘米，半圆的直径是10厘米，所以的长度是15厘米，可得三角形PAB的面积是75平方厘米；Q点为正方形一边的中点，所以三角形的面积是平方厘米，据此列式解答即可．【解析】解：如图，作三角形的高，连接，

所以三角形的面积：（平方厘米）三角形的面积：（平方厘米）所以（平方厘米）答：空白部分的面积是平方厘米．【点睛】此题考查了三角形、正方形和圆的面积公式的综合应用，连接，找出这两个白色三角形的高是解决本题的关键．18．（2021上·上海青浦·六年级校考期末）如图，准备在一个广场中心建一个直径为24m的圆形花坛，并将圆形花坛分割成面积相等的四个部分．(1)请你求出花坛中小圆部分的周长；(2)如果在花坛中小圆以外的三个区域内种上不同品种的花卉，已知A品种与B品种的费用之比为：0.5，B品种和C品种的费用之比为2：3，如果购买C品种花卉比购买A品种花卉多花了7000元，那么购买三种花卉总费用多少元？【答案】(1)(2)33000元