高数下（川大版）习题

习题9-1

1.求下列函数的定义域。，并画出。的图形。

22

厂+.一.；(2)z=ln(/-4x+8)；

J2x-x2-/

11.x'2+2y

(3)z=/H—/；(4)z=arcsin-。

“+yyjx-y4

解析：本题考查对于多元函数的定义域的求解，对于该题，要根据函数的基

本概念来进行定义与的求解。

Ix2+y2-x

解：(1)已知

px-x2-y2

22

那么要使得函数:十学一：20且2%-42—尸H0,

2x-x-y

即函数的定义域为｛(尤,y)|%«3+y2<2%｝；

(2)已知Z=ln(y2-4%+8),

刃B么要使得了2—4x+8〉0,

即函数的定义域为｛(苞切3-4%+8>0｝；

那么要使得x+y>0,x-y>0,

即函数的定义域为｛(x,y)|x>o,-x<y<x｝；

_,.x+y

(4)已知z=arcsm-----,

4

x2+y2

那么要使得一^41，

4

2

即函数的定义域为｛(x,y)\x+/<4｝o

八1

24

I...I

2,用不等式组表示下列曲线围成的区域。，并画出图形。

（1）。由y=L,y=%,%=2围成；

%

（2）。由『二2%无一y=4围成；

（3）。由y—2x,y=2,y=—围成。

x

解析：本题考查对于多元函数的定义域的求解，对于该题，要根据函数的基

本概念以及函数图像来进行定义与的求解。

fl<x<2

解：（1）已知Z）由y=工，y=羽尤=2围成，即。：<1；

x—<y<x

y

(2)已知。由y?=2%,%-y=4围成，即°：.亍""+4；

-2<y<4

3.设圆锥的高为人母线长为/,将圆锥的体积V表示为的函数。

解析：本题考查对于函数的理解与应用，对于该题，根据题意构建体积函数

式即可。

解：已知圆锥的高为人母线长为/,

那么圆锥的体积丫=3万打([22)。

4.灌溉水渠的横截面是一等腰梯形，梯形的腰长为y,下底(小于上底)长为X,

渠深为人求水渠横截面面积的函数表达式。

解析：本题考查对于函数的理解与应用，对于该题，根据题意构建体积函数

式即可。

解：灌溉水渠的横截面是一等腰梯形，梯形的腰长为y,下底(小于上底)

长为x,渠深为/?,

那么水渠横截面面积的函数表达式S=(X+V7二庐)〃O

5.(1)已知/(%,))=%—,求”x+y,I);

(2)已知/(%+y,*)=%2—,2,求/(九,y)。

X

解析：本题考查对于函数的表达式的理解与应用，对于该题，根据原函数表

达式进行新函数的表达式的求解。

解：(1)已知/(无»)二f一y2,

那么/(%+y,马二(%+y)2一(与2；

XX

22

(2)已知/(x+y,—)=x—y9

x

UUV

那么设"=x+y,v=—,贝!J有x=,y=,

xv+1v+1

则/(%+y,")=/(w,v)=(-^-)2-(-^-)2=〃2(1^)，

Xv+1v+11+V

那么f(x,j)=x2(^-^)。

i+y

6.试证函数/(苍y)=Inxlny满足关系式

F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)。

解析：本题考查对于多元函数的理解与应用，对于该题，根据原函数式对关

系式进行证明即可。

证明：已知F(x,y)=Inxlny，

刃B么F(xy,uv)=ln(xy)ln(wv)=Inxln(wv)+Inyln(wv)

=1wc1B+InIpfl少ntAny

=F(x,M升F(x,用F(乂也)F(

7.设z=/Cx+y)+jr—y,当x=0时，Z=y,求函数/(%)及z。

解析：本题考查对于多元函数的理解与应用，对于该题，根据原函数式对关

系式以及已知条件进行求解即可。

解：已知z=/(x+y)+x—y,

且当％=0时，Z=y,

那么有z=/(>)+o—丫=,化简可得/(y)=y+y

即f(x)=x2+x,

那么/(%+y)=(%+y)2+%+y

则有z=/(x+y)+x—y=(x+y)2+2%。

8.求下列函数的极限。

(1)limSin(f+(2)lim,孙

旦x+y

1

（3）limCl+sinxy）^o

yf0

解析：本题考查对于二元函数的极限的求解，对于该题，根据二元函数的极

限的求解方法进行求解即可。

解：（1）lim吗3-lim£±E=l;

旦％+y+y

(G2)1li•m—肛j=——=--3---=3;

.J孙+1T2-1

1

(3)lim(l+sinxy)^=lim(l+0)°°=eo

x->0x->0

y70yf0

9.证明下列函数的极限不存在。

⑴⑵lim(善=/；

Xfgx+V

yf0,y—>+coJ

解析：本题考查对于二元函数的极限的求解，对于该题，根据二元函数的极

限的求解方法进行求解与判断即可。

2

证明：（1）由于在X轴上，lim-J=0,

子+y

2x41

沿着y=%?路径时1加i三hrm—-=—

r1+yT2x42

yf0,尸

所以lim—匕不存在;

得y+y

沿着路径时孙x

(2)y=Xlim(•22)=lim।=0，

+oox+yX—>+oo

J—>+ooJ—>+oo

由于在x轴上，lim(，移/2=1,

2

a+coX+yZ

yf+oo，

所以lim(f干产不存在。

Xf2X+V

y—>+oo，

10.求下列函数的偏导数。

222

(1)w=x+y+z-xyz；(2)z=In—;

x

x+y

(3)z=；(4)z=43x+4y；

2

(5)z=e~xsiny；(6)z=sin(xy)+cos(xy)；

x+yy

(7)z=arctan----；(8)u=xz\

1-xy

(9)M=arctan(x-y)z；(10)u=.---------o

222

Jx+y+Z

解析：本题考查对于多元函数的偏导数的求解，对于该题，根据多元函数的

偏导数的求解方法进行求解即可。

解：（1）已知W=%+y~+z-xyz,

那么屋=2x-yz,wy'=2y-xz,暝'=2z一孙；

(2)已知z=ln),

x

,ix,y、1X11

那么z/=—•(=一一Zy

yxx

_,x+y

(3)已知z=—

x-y

,_(x-y)-(x+y)_2y,_(x-y)+(x+y)_lx

(x—y)2(x-y)2'Z)，(x—4(x-y)2

(4)已知Z=43X+”,

那么z：=3•43x+4jIn4,z：=4•43*〉In4；

(5)已知z=efsiny,

那么z：=-e~xsiny,z；=excosy;

(6)已知z=sin(盯)+cos2ay),

那么z；=ycos(孙)-ysin(2盯)，z；=xcos(xy)-xsin(2xy)；

_,x+y

(7)已知z=arctan——-

1-xy

_，1(1—孙)+y(x+y)1

SZ,.=-------------------------------------;-------=-------7,

用么“x+y)2(z)2i+v

l-xy

z'=----1--■-(-l-f-)-+-x-(-x+-y-)=--1-.

2

y11产12(1-孙)21+y'

1-xy

2

(8)已知u=xz9

y--1,1-,y-

fzz

可B么％=—V,u=—xInx,uz=一一-xInx；

zzz

(9)已知〃=arctana-yy,

那么八"一二.一y)zin(x_y)

l+(x-y)2z

(10)已知M=]

7%2+y2+z2

33_3

那么=-x(12+y2+z?)2,Uy+y2+z2)~-z(x2+y2+z2)20

11.设f(x,y)=Jx4-sin2y,求上(1,0),力(1,0)。

解析：本题考查对于多元函数的偏导数的求解，对于该题，先根据多元函数

的偏导数的求解方法求解出函数的偏导数，然后代入求解即可。

解：已知f(x,y)=y/x4-sin2y,

_11,1

422

那么人(尤,y)=2尤“J—sidy)2,fy(x,y)=--sin2y(x-siny),

则有川,0)=2,力(1,0)=0。

12.设z=ln(&+4),试证：x~+y~=~°

"oxoy2

解析：本题考查对于多元函数的偏导数的求解与应用，对于该题，先根据多

元函数的偏导数的求解方法求解出函数的偏导数，然后代入等式证明即可。

证明：已知z=ln(6+方)，

ii

，=7^7?，=7^77

那么片+/=上L+4£=

1

dxr

-sin^2dlldz.y

13.验证函数〃=k，满足方程厂＜+孙k="sin-。

oxoyx

解析：本题考查对于多元函数的偏导数的求解与应用，对于该题，先根据多

元函数的偏导数的求解方法求解出函数的偏导数，然后代入等式证明即可。

2sin2

证明：已知〃=y**,

那么等式两边取对数可得In"=2sin2Iny,

XX

，2

等式两边对x求导可得"=^sin—Iny-^r-cos—Iny,

UXXXX

uy.y.uy2y.

用41|5rz么z有％———-sin—ln）；-----cos—Iny,

xxxx

等式两边对y求导可得&-uZsin,lny+ecos,lny,

UXXXX

刃B么有Uy=—sin—In^+^-cos—Iny+—sin—,

~yyyyyy

用023udz

则九丁+孙丁

dxdy

.y.uyy..y.yuy..y

=-wysin—Iny------cos—Iny+伐ysm—InyH-------cos—In^+wysm—

.y

=yusin—o

x

14.求下列函数的二阶偏导数。

(1)z=x2y；

(2)z=sin2(ax+by)(a,Z?均为常数);

(3)z=arctan—。

x

解析：本题考查对于多元函数的偏导数的求解，对于该题，根据多元函数的

偏导数的求解方法进行求解即可。

解：（1）已知Z=F,

那么匕=2,上=2/Inx,

dxdy

%=2y(2y—1)X2>-2,CA=2x2v-1+4yx2y-'In=4x2v(lnx)2；

dxdxdydy

(2)已知z=sin?(ox+Z?y)(a,b均为常数)，

a?a?

那么一=asin2(ax+by),一=bsin2(ax+by)，

dxdy

222

QZQZQZ

--=2a2cos2(ax+by),------=labcos2(ax+by),--=2b2cos2(ax+by)；

dxdxdydy

(3)已知2=arctan),

x

_2_1

那么为二3二y为二九二九

222222

dxyx+y'dy1yx+y'

1+*,,1+*

xx

d2z_2xyd2z_y2-x2d2z_2xy

dx2(x2+y2)29dxdy(x2+j2)2?dy2(x2+y2)2

15.设/(%》/)=町2+田+2%2,求匕(0,0,1)/<0,—1,0)及乙(1,0,2)。

解析：本题考查对于多元函数的偏导数的求解，对于该题，根据多元函数的

偏导数的求解方法进行求解，然后代入求解即可。

解：已知/(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,

那么力(x,y,z)=y2+2zx,%(%,y,z)=2孙+z?,工(%,y,z)=2yz+x2,

则有匕(羽y，z)=2z/z(羽y,Z)=2z,£(羽Xz)=2x9

那么匕(0,0,1)=2,4(0,-1,0)=0,九(1,0,2)=20

22

“、儿r~222、T口口92Kdudu2

16.设u=+y+z证明：—TH-----7H-----Y=1°

9dxdydzu

解析：本题考查对于多元函数的偏导数的求解，对于该题，根据多元函数的

偏导数的求解方法进行求解，然后代入等式进行证明。

证明：已知〃=Jx'+V+z.,

那么导ydu_z

d2u_y1+z2d2u_x2+z2d2u_x2+y1

，a2-

.(/+35(x2+/+z2rr龙(42)5I

那HR,d2ud2u么d2u2x2+/2y2+2rz2.-\2c

17.设z=arccos口，验证：°'=0'。

Nydxdydydx

解析：本题考查对于多元函数的偏导数的求解，对于该题，根据多元函数的

偏导数的求解方法进行求解，然后代入等式进行证明。

证明：已知z=arccos,

1

-------2

那么包=26=6Oz=2y2=«

，

&1+£2y/x(x+y)dy1+£2y[y(x+y)

yy

22

dxdy4x(x+y)4A/j^(x+y)?'办4A/^(x+y)

d2z

那么有诉

dydx

分27C)7C)7

18.证明：z=9(x)〃(y)满足方程z.二〃(°(x),〃(y)可微)。

oxoyoxoy

解析：本题考查对于多元函数的偏导数的求解，对于该题，根据多元函数的

偏导数的求解方法进行求解，然后代入等式进行证明。

证明：已知z=°(x)〃(y),

a7a?z

那么—==9(x)〃'(y)，——=d(x)/(y)，

oxoyoxoy

那么=9(x)以y)9'(x)/(y)=与当

oxoyoxoy

19.证明：z=ln(ex+/)满足方程7y7y-()2=0。

oxoydxoy

解析：本题考查对于多元函数的偏导数的求解，对于该题，根据多元函数的

偏导数的求解方法进行求解，然后代入等式进行证明。

证明：已知z=ln(e"+ey),

那么包=上_

dxex+ey

取_a2z8Z_-产

，犷~(ex+ey)2dxdy(靖+e，)2

则有△乏=(口

)2=0。

dx2dy2dxdy

20.求下列函数的全微分。

(1)z=x2y2；

(3)z=e2；(4)z=In，+3,2)；

2

(5)z-xy+—；(6)z=ex；

y

=x+y

(7)UJ%2+/+z2•(8)z=arctan-----

1-xy

解析：本题考查对于多元函数的全微分的理解与求解，对于该题，先求解出

该函数的偏导数，然后写出其全微分即可。

解：(1)已知Z=%2y2,

那么包=2封2,包=2/，

dxdy

贝！Jdz=2xy2dx+lx1ydy；

(2)已知z=『

那么包=」2=-£

Ox2dxydy2y,y

贝Ijdz=-^=dx-

2dxy

(3)已知z="+2y,

那么导0X+2y包2*2"

，dy

贝ij必=/+2，公+2/+2,力；

(4)已知z=ln(x2+39),

那十2xdz_6y

x2+3y2"d^~x2+3y2

2x

贝I」dz-dx+------dy；

x2+3y2x+3y

(5)已知z=«xy+工

y

那么

oxyoyy

1Y

贝Udz=(yH—)dx+(x--T)dy；

y

(6)已知z=d

那么冷y-dz12

-e二一一e

oxxoyx

,v212

贝1Jdz=--^-rexdx+—exdy；

xx.

(7)已知z/=J/+/+z2,

ydu_z

xdx+ydy+zdz

则du

4x2+y2+zT

(8)已矢口z=arctan,

1-xy

18z_1

1+炉’②1+y2

则dz=-^dx+-^dy

1+x21+y2

21.求函数z=lnJl+X2+y2在点(1,1)处的全微分。

解析：本题考查对于多元函数的全微分的理解与求解，对于该题，先求解出

该函数的偏导数，然后写出其全微分即可。

解：已知z=hiy]l+x2+y2,

那十xdz_y

1+J+/1+%2+y2

x

则dz=dx+ydy,

l+x2+/1+炉+

在点(LD处，dz=g+g。

22.试求函数z=x2y3当x=2,y=-1,Ar=0.02,Ay=-0,01时的全增量和全微分。

解析:本题考查对于多元函数的全增量以及全微分的理解与应用，对于该题,

根据相关性质与定义进行求解即可。

解：已知2=必丁3,

则有导2孙嚼

那么当％=2,y=—1,Ar=0.02,Ay=-0.01时,

Az=f(2+0,02,-1-0.01)-/(2,—1)=-0,204,

dz=2xy3\dx+3jcy~\dy=-0.08-0.12=-0.20

1(2-1)1(2-1)，

23.试求函数z=当x=1,y=1,Av=。15,Ay=0.1时的全微分。

解析：本题考查对于多元函数的全微分的理解与应用，对于该题，根据相关

性质与定义进行求解即可。

解：已知z=e

则有丝=万孙,丝二兄/

dxdy

当％=1»=1,8=0.15,年=0.1时,

dz-ye^Idx+xe^^=O.15e+O.le=0.25e。

l(i,i)l(M)

24.利用全微分计算近似值。

(1)5(1.02)3+(1.97)3；

203

(2)(1.O4)o

解析：本题考查对于多元函数的全微分对于函数近似值的计算，对于该题,

要先假设出二元函数，求解出函数的全微分，然后求解近似值即可。

解：(1)设f(x,y)=y/x3+y3,

那么/(1,2)=3,£(1,2)=1,/；(1,2)=2,

则有-1.02)3+(1.97)3=/(1,2)+工'(1,2)Ax+<(1,2)Ay

=3+--0.02-2-0.03=2.95；

2

(2)设/(x,y)=,

那么/(1,2)=1,f(1,2)=2,/；(l,2)=0,

则有(1.04)203=f(l,2)+f；(l,2)Ar+f；(1,2)Aj

=1+2-0.04+0=1.08-

25.当扇形的中心角c=60。增加△c=l。，为了使扇形的面积保持不变，则应当把

扇形的半径从火=20。篦减少多少？

解析：本题考查对于多元函数的理解与应用，对于该题，根据题意写出函数

表达式，然后建立等式求解即可。

解：扇形的面积表达式为s=2a，

360

当扇形的中心角。=60。增加△£=1。，R=20cm时，

要使得扇形的面积保持不变，

即61.汝(2°一溷2=60=202,可以解得.=0.16,

360360

也就是为了使扇形的面积保持不变，则应当把扇形的半径从R=20s减少

0.16cmo

26.有一用水泥和沙砌成的无盖长方体水池，它的外形长5根，宽4加，高3相，又

它的四壁及底的厚度均为20s,试求所需水泥和沙的体积的近似值。

解析：本题考查对于多元函数的理解与应用，对于该题，要先根据题意构建

函数表达式，然后进行求解即可。

解：设长方体水池的长为x机，宽为ym,高为zm,

那么所需水泥和沙的体积公式为V=0.2孙+0.4yz+0.4xz,

则当外形长5根，宽4根，高3加时，

此时有V=14.8加。

27.设z=u2v-uv2，而"=xcosy,v=xsiny,—。

dxdy

解析：本题考查对于复合函数的求解，对于该题，根据复合函数的偏导数的

求解方法进行求解即可。

解：已知zu/v-HV?,而"=xcosy,v=xsiny,

工7/dzdzdudzdv

刃B么一=-----+------

dxdudxdvdx

=(2uv-v2)cosy+(u2-2uv)siny

=3x2sinycosy(cosy-siny)

dzdzdudz(

—=—,—1.

dydudydv(

=-(2wv-v2)xsiny+(u2-2mo%cosV

=-2x3sinycosy(siny+cosy)+x3(sin3y+cos3y)

28.设z=二沈=lnx,v=e",求隹。

udx

解析：本题考查对于复合函数的求解，对于该题，根据复合函数的偏导数的

求解方法进行求解即可。

解：已知z=—,u^lnx,v=ex,

u

力/dzdzdudzdv

dxdudxdvdx

v11

+ex

=--U2'~X~u'

Inxxlnx

、s［、.dzSz

29.设M=arctan—,5=x+y,t=x-y,求一,一。

tdxdy

解析：本题考查对于复合函数的求解，对于该题，根据复合函数的偏导数的

求解方法进行求解即可。

解：已知"=arctan',s=x+y/=X-y,

那么导dzdsdzdt

dsdxdtdx

i卫

t-s_y

222

t+/x+y

&_dzdsdz

dxdsdydt(

%+s_x

22

d+dX+-y

、［、.dz

30.设z=arcsin(x-y),而x=3%,y=4/，求一。

dt

解析：本题考查对于复合函数的求解，对于该题，根据复合函数的偏导数的

求解方法进行求解即可。

解：已知z=arcsin(x-y),而x=3%,y=4/，

力,dzdzdxdzdy

dtdxdtdydt

_312/

Ji-。-.yJ"。-yf

3-12r2

一11—(3"4P)2

31.求下列函数的一阶偏导数。

(1)z=f(x2-y2.xy)；⑵""(公);

2

(3)u=f(x.xy.xyz)；(4)u=f(x+xy+xyz)o

解析：本题考查对于复合函数的求解，对于该题，根据复合函数的偏导数的

求解方法进行求解即可。

解：(1)已知z=/，一丁.孙)，

w/dzdzdudzdv。bzdz

dxdudxdvdxdudv

dzdzdudzdv_dzdz

——---------1---------——2y----Fx—；

dydudydvdydudv

(2)已知M=/(工马，

yz

那么,du1一r儿du一1方r/+1—r力，du一y彳力r；

oxyoyyzozz

(3)已知u=f(x,xy,xyz)，

双/du支£duq£du£

那么==/+比+y班r，丁=正+9,=二砧3

oxoyoz

(4)已知〃=/(x2+xy+xyz),

月口么=二(2%+V+=(x+xz)/\—=xyf'o

oxoyoz

、y、3z3z

32.^z=xy+xF(u),u=—,证明：x--Fy一=z+xy

xdxdyo

解析：本题考查对于复合函数的求解，对于该题，根据复合函数的偏导数的

求解方法先进行偏导数的求解，然后对等式进行证明即可。

证明：已知z=xy+xF(u\u=—,

x

那么丝=y+尸®)—X•3F'(u)=y+F(u)-^-F'(u),

dxxx

Qz1

——=x+x-—Fr(u)=x+F'(u),

dyx

SzSz

刃B么x---Fy——-xy+xF(u)-yFf(u)+孙+yFf(u)=z+xy

dxdyo

cc、几y、丁口口11dzz

33.设z=----------,证明：-----1-------——大o

/(x2-y2)xdxydyy

解析：本题考查对于复合函数的求解，对于该题，根据复合函数的偏导数的

求解方法先进行偏导数的求解，然后对等式进行证明即可。

证明：已知z=—4^,

/(X2-/)

°z=：-2肛fdzf+2y2f

一一尸‘豆—一一，

顼,118z-lyff+2y2f1z

xdxydy广y厂yfy

、、dz。2

34.函数z=z(x,y)由cos2x+cos2y+cos2z=1所确定,求一,一。

dxdy

解析：本题考查对于多元隐函数的偏导数的求解，对于该题，根据隐函数的

偏导数的求解方法进行求解即可。

解：已知函数z=z(x,y)由cos2x+cos2+cos2z=1所确定，

等式两边对x求导可得-sin2x-sin2z——=0,

dx

化简可得包=-包生，

dxsin2z

._dz

等式两边对y求导可得一sin2y-sin2?——=0,

dy

化简可得包=-也包。

dysin2z

35.函数z=z(x,y)由=xyz所确定，求一□

oxoy

解析：本题考查对于多元隐函数的偏导数的求解，对于该题，根据隐函数的

偏导数的求解方法进行求解即可。

解：已知函数z=z(x,y)由=型所确定，

等式两边对x求导可得e，包