概率论习题解答(第4章)

概率论习题解答(第4章)第4章习题答案三、解答题1.设随机变量的分布律为X–202pi0.40.30.3求，，．解：E(X)==+0+2=-0.2E(X2)==4+0+4=2.8E(3X+5)=3E(X)+5=3+5=4.42.同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望．解：记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi，则Xi的分布律为记掷8颗骰子所掷出的点数为X，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验，E(Xi)=1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6E(X)=8×21/3=283.某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1，借阅乙种图书的概率为p2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的．(1)某天恰有n个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．(2)某天恰有n个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望．解：(1)设借阅甲种图书的人数为X，则X~B(n,p1),所以E(X)=np1(2)设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y,则Y~B(n,p),记A={借甲种图书}，B={借乙种图书}，则p=｛A∪B｝=p1+p2-p1p2所以E(Y)=n(p1+p2-p1p2)4.将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X表示n个考生中收到自己通知书的人数，求E(X)．解：依题意，X~B(n，1/n)，所以E(X)=1.5.设，且，求E(X)．解：由题意知X～P（），则X的分布律P=，k=1,2,...又P=P,所以解得，所以E(X)=6.6.设随机变量X的分布律为问X的数学期望是否存在？解：因为级数，而发散，所以X的数学期望不存在.7.某城市一天的用电量X（十万度计）是一个随机变量，其概率密度为求一天的平均耗电量．解：E(X)==6.8.设某种家电的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为求这种家电的平均寿命E(X)．解：由题意知，随机变量X的概率密度为当>5时，，当5时，0.E(X)=所以这种家电的平均寿命E(X)=10年.9.在制作某种食品时，面粉所占的比例X的概率密度为求X的数学期望E(X)．解：E(X)==1/410.设随机变量X的概率密度如下，求E(X)．解：.11.设，求数学期望．解：X的分布律为，k=0，1，2，3，4，X取值为0，1，2，3，4时，相应的取值为0，1，0，-1，0，所以12.设风速V在(0，a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W是V的函数：，（k>0，常数），求W的数学期望．解：V的分布律为，所以13.设随机变量(X,Y)的分布律为YX01203/289/283/2813/143/14021/2800求E(X)，E(Y)，E(X–Y)．解：E(X)=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+2×(1/28+0+0)=7/14=1/2E(Y)=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+2×(3/28+0+0)=21/28=3/4E(X-Y)=E(X)-E(Y)=1/2-3/4=-1/4.14.设随机变量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY)解：E(X)=15.某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量，具有分布律X1011121314pi0.20.30.30.10.1所得利润（以元计）为,求E(Y)，D(Y)．解：E(Y)=E［1000(12-X)］=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1]=400E(Y2)=E［10002(12-X)2］=10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1+（12-14）2×0.1]=1.6×106D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=1.6×106-4002=1.44×10616.设随机变量X服从几何分布，其分布律为其中0<p<1是常数，求E(X)，D(X)．解：令q=1-p,则D(X)=E(X2)-E(X)=2q/p2+1/p-1/p2=(1-p)/p217.设随机变量X的概率密度为，试求E(X)，D(X)．解：E(X)=D(X)=E(X2)=18.设随机变量(X，Y)具有D(X)=9，D(Y)=4，，求，．解：因为，所以=-1/6×3×2=-1,19.在题13中求Cov(X，Y)，XY．解：E(X)=1/2,E(Y)=3/4,E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14,E(X2)=02×（3/28+9/28+3/28）+12×(3/14+3/14+0)+22×(1/28+0+0)=4/7,E(Y2)=02×（3/28+3/14+1/28）+12×(9/28+3/14+0)+22×(3/28+0+0)=27/28,D(X)=E(X2)-［E(X)］2=4/7-(1/2)2=9/28,D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=27/28-(3/4)2=45/112,Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=3/14-(1/2)×(3/4)=-9/56,XY=Cov(X，Y)/()=-9/56()=-/520.在题14中求Cov(X，Y)，XY，D(X+Y)．解：,21.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．解：，所以Cov(X，Y)=0，XY=0，即X和Y是不相关.当x2+y2≤1时，f(x,y)≠fX(x)fY(y),所以X和Y不是相互独立的22.设随机变量(X,Y)的概率密度为验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．解：由于f(x,y)的非零区域为D:0<x<1,|y|<2x,,,所以Cov(X，Y)=0，从而，因此X与Y不相关.所以，当0<x<1,-2<y<2时，，所以X和Y不是相互独立的.四、应用题.1.某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致n元的损失，再者，他们预测销售量Y（件）服从参数的指数分布，问若要获利的数学期望最大，应该生产多少件产品？（设m,n,均为已知）.解：设生产x件产品时，获利Q为销售量Y的函数y0<y<xx 2.设卖报人每日的潜在卖报数为X服从参数为的泊松分布，如果每日卖出一份报可获报酬m元，卖不掉而退回则每日赔偿n元，若每日卖报人买进r份报，求其期望所得及最佳卖报数。解：设真正卖报数为Y,则，Y的分布为设卖报所得为Z,则Z与Y的关系为当给定m,n,λ之后，求r，使得E(g(Y))达到最大.(B)组题1.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数X的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率．解：(1)X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布律为，k=0,1,2,3.即X0123pi因此(2)设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于，，，构成完备事件组，因此根据全概率公式，有==2.随机变量X的概率密度为，对X独立重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求Y2的数学期望解：依题意，Y~B(4,p),p=P{X>}=所以E(Y)=4p=2，D(Y)=4p(1-p)=1，E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=1+4=53.设随机变量U在区间(-2，2)上服从均匀分布，随机变量试求：(1)和的联合分布律；(2)．解：(1)P{X=-1,Y=-1}=P{U≤-1且U≤1}=P{U≤-1}=，P{X=-1,Y=1}=P{U≤-1且U>1}=0，P{X=1,Y=-1}=P{-1<U≤1}=，P{X=1,Y=1}=P{U>-1且U>1}=P{U>1}=，所以和的联合分布律为XY-11-11/41/2101/4(2)和的边缘分布律分别为X–11pi1/43/4Y–11pi3/41/4所以E(X)=-1/4+3/4=1/2，E(Y)=-3/4+1/4=-1/2，E(XY)=1/4-1/2+1/4=0，E(X2)=1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/4，Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=24.设随机变量X的期望E(X)与方差存在，且有，，证明．证明：首先证明E（Y）存在(1)若随机变量X为离散型随机变量，分布律为：则由E(X)存在知，绝对收敛，且记,则绝对收敛，所以E（Y）存在，,14/9024/91/9(2)E(U)=4/9+2×5/9=14/9，E(V)=(4/9+2/9+2/9)+2×1/9=10/9，E(UV)=4/9+2×4/9+4×1/9=16/9,Cov(U，V)=16/9-140/81=4/817.随机变量X的概率密度为令为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求Co