北师大版初中代数知识点

北师大版初中代数知识点2有理数及其运算2.1数怎么不够用了1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号(2、0既不是正数也不是负数(0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数(3、用正负数表示两种具有相反意义的量(具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量(1、有理数的概念:整数和分数统称为有理数(2、有理数的分类:?按整数、分数的关系分类;?按正数、负数与0的关系分类(有理数{整数{正整数0负整数分数{正分数负分数有理数{正数{正整数正分数0负数{负整数负分数注意:如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数(2.2数轴(1)数轴的概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴(数轴的三要素:原点，单位长度，正方向((2)数轴上的点:所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数((一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数()(3)用数轴比较大小:一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大((1)相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数((2)相反数的意义:掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等((3)多重符号的化简:与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正((4)规律方法总结:求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-(m+n)，这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号(2.3绝对值(1)概念:数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值(?互为相反数的两个数绝对值相等;?绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数(?有理数的绝对值都是非负数((2)如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定:?当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a;?当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a;?当a是零时，a的绝对值是零(即|a|={a(a,0)0(a=0)-a(a,0)(1)有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序(在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大);也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小((2)有理数大小比较的法则:1?正数都大于0;?负数都小于0;?正数大于一切负数;?两个负数，绝对值大的其值反而小(任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0(根据上述的性质可列出方程求出未知数的值(2.4有理数的加法(1)有理数加法法则:?同号相加，取相同符号，并把绝对值相加(?绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值(互为相反数的两个数相加得0(?一个数同0相加，仍得这个数((在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号:是同号还是异号，是否有0(从而确定用那一条法则(在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”()(2)相关运算律交换律:a+b=b+a;结合律(a+b)+c=a+(b+c)(2.5有理数的减法(1)有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数(即:a-b=a+(-b)(2)方法指引:?在进行减法运算时，首先弄清减数的符号;?将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号:一是运算符号(减号变加号);二是减数的性质符号(减数变相反数);【注意】:在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换;因为减法没有交换律(减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算(2.6有理数的加减混合运算(1)有理数加减混合运算的方法:有理数加减法统一成加法((2)方法指引:?在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式(?转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化(2.7水位的变化2.8有理数的乘法(1)有理数乘法法则:两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘((2)任何数同零相乘，都得0((3)多个有理数相乘的法则:?几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负;当负因数有偶数个时，积为正(?几个数相乘，有一个因数为0，积就为0((4)方法指引:?运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘(?多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单(2.9有理数的除法(1)倒数:乘积是1的两数互为倒数(一般地，a•1/a=1(a?0)，就说a(a?0)的倒数是1/a((2)方法指引:?倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”(正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要(倒数是伴随着除法运算而产生的(?正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同(2(1)有理数除法法则:除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即:a?b=a•1/b(b?0)(2)方法指引:(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除(0除以任何一个不等于0的数，都得0((2)有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”(如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分(乘除混合运算时一定注意两个原则:?变除为乘，?从左到右(2.10有理数的乘方(1)有理数乘方的定义:求n个相同因数积的运算，叫做乘方(nnn乘方的结果叫做幂，在a中，a叫做底数，n叫做指数(a读作a的n次方((将a看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂()(2)乘方的法则:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数;0的任何正整数次幂都是0((3)方法指引:?有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值(?由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减(偶次方具有非负性(任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0(2.11有理数的混合运算(1)有理数混合运算顺序:先算乘方，再算乘除，最后算加减;同级运算，应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号，要先做括号内的运算((2)进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化(2.12计算器的使用(1)计算器的面板是由键盘和显示器组成((2)开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键((3)显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置(键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用(2(4)开方运算按用到乘方运算键x的第二功能键和的第二功能键2(5)对于开平方运算的按键顺序是:2ndfx被开方数ENTE((6)对于开立方运算的按键顺序是:32ndf?被开方数ENTE((7)部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键:MRC、M-、M+、MU(键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M-则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC(注意:由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作(计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下:(1)键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用(DEL)键消去一次数值，再重新输入正确的数字((2)直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算((3)按下(-)键可输入负数，即先输入(-)号再输入数值(32(4)开方运算按用到乘方运算键x的第二功能键和的第二功能键2(5)对于开平方运算的按键顺序是:2ndfx被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“=”即可((6)对于开立方运算的按键顺序是:32ndf?被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“=”即可注意:由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作(3字母表示数3.1字母能表示什么3.2代数式代数式:代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子(单独的一个数或者一个字母也是代数式(带有“,(?)”“,(?)”“=”“?”等符号的不是代数式(例如:ax+2b，-13，2b/23，a+2等(注意:?不包括等于号(=)、不等号(?、?、?、,、,、?、?)、约等号?(?可以有绝对值(例如:|x|，|-2.25|等((1)定义:把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式((2)列代数式五点注意:?仔细辨别词义(列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义(如“除”与“除以”，“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分(?分清数量关系(要正确列代数式，只有分清数量之间的关系(?注意运算顺序(列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来(?规范书写格式(列代数时要按要求规范地书写(像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号;除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号(注意代数式括号的适当运用(?正确进行代换(列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换(3.3代表式求值(1)代数式的值:用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值((2)代数式的求值:求代数式的值可以直接代入、计算(如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值(题型简单总结以下三种:?已知条件不化简，所给代数式化简;?已知条件化简，所给代数式不化简;?已知条件和所给代数式都要化简(3.4合并同类项(1)定义:所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项(同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等((2)注意事项:?一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可;?同类项与系数的大小无关;?同类项与它们所含的字母顺序无关;?所有常数项都是同类项((1)定义:把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项((2)合并同类项的法则:把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变((3)合并同类项时要注意以下三点:4?要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准:带有相同系数的代数项;字母和字母指数;?明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的;?“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变(3.5去括号(1)去括号法则:如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反((2)去括号规律:?a+(b+c)=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号;?a-(b-c)=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号(说明:?去括号法则是根据乘法分配律推出的;?去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值((3)添括号法则:添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号(添括号与去括号可互相检验(3.6探索规律探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律((1)探寻数列规律:认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法((2)利用方程解决问题(当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程(图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解(探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题(5一元一次方程5.1你今年几岁了(1)方程的定义:含有未知数的等式叫方程(方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点?等式;?含有未知数((2)列方程的步骤:?设出字母所表示的未知数;?找出问题中的相等关系;?列出含有未知数的等式----方程((1)方程的解:解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解(注意:方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性(而解方程是求方程解的过程，具有动词性((2)规律方法总结:无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算的方法((1)等式的性质性质1、等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式;性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式((2)利用等式的性质解方程利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化(应用时要注意把握两关:5?怎样变形;?依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的((1)一元一次方程的定义只含有一个未知数(元)，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程(通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a?0)(一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式(一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0(我们将ax+b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a?0)叫一元一次方程的标准形式(这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1((2)一元一次方程定义的应用(如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值)这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面(求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法(5.2解方程定义:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解(把方程的解代入原方程，等式左右两边相等((1)解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化((2)解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母;若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号((3)在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即(a+b)x=c(使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想(将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时;二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负(解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解(例如:解方程|x|=2解:去掉绝对值符号x=2或-x=2方程的解为x=2或x=-2(12定义:如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程((或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程()5.3日历中的方程5.4我变胖了5.5打折销售5.6“希望工程”义演5.7能追上小明吗5.8教育储蓄审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程((1)“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，6然后利用它们之间的等量关系列方程((2)“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法(通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程((一)、一元一次方程解应用题的类型有:(1)探索规律型问题;(2)数字问题;(3)销售问题(利润=售价-进价，利润率=利润进价×100%);(4)工程问题(?工作量=人均效率×人数×时间;?如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量);(5)行程问题(路程=速度×时间);(6)等值变换问题;(7)和，差，倍，分问题;(8)分配问题;(9)比赛积分问题;(10)水流航行问题(顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度)((二)、利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答(1整式的运算1.1整式(1)概念:单项式和多项式统称为整式(他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数((2)规律方法总结:?对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“-”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“-”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字(?对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论((1)单项式的定义:数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式(用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义((2)单项式的系数、次数单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数(在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或-a这样的式子的系数是1或-1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式((1)几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项(多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数((2)多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式(1.2整式的加减(1)几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接;然后去括号、合并同类项((2)整式的加减实质上就是合并同类项((3)整式加减的应用:?认真审题，弄清已知和未知的关系;?根据题意列出算式;?计算结果，根据结果解答实际问题(给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算(1.3同底数幂的乘法(1)同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘，底数不变，指数相加(mnm+na•a=a(m，n是正整数)7mnpm+n+p(2)推广:a•a•a=a(m，n，p都是正整数)35222223在应用同底数幂的乘法法则时，应注意:?底数必须相同，如2与2，(ab)3与(ab)4，(x-y)与(x-y)等;?a可以是单项式，也可以是多项式;?按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加((3)概括整合:同底数幂的乘法，是学校整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键(在运用时要抓住“同底数)这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂(1.4幂的乘方与积的乘方(1)幂的乘方法则:底数不变，指数相乘(mnmn(a)=a(m，n是正整数)注意:?幂的乘方的底数指的是幂的底数;?性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别((2)积的乘方法则:把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘(nnn(ab)=ab(n是正整数)注意:?因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用;?运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果1.5同底数幂的除法同底数幂的除法法则:底数不变，指数相减(mnm-na?a=a(a?0，m，n是正整数，m,n)?底数a?0，因为0不能做除数;?单独的一个字母，其指数是1，而不是0;?应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么(0零指数幂:a=1(a?0)mmmmm-m00由a?a=1，a?a=a=a可推出a=1(a?0)0注意:0?1(-p负整数指数幂:a=1ap(a?0，p为正整数)注意:?a?0;-2?计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现(-3)=(-3)×(-2)的错误(?当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数(?在混合运算中，始终要注意运算的顺序(1.6整式的乘除运算性质:单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式(注意:?在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积;?注意按顺序运算;?不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式;?此性质对于多个单项式相乘仍然成立(1)单项式与多项式相乘的运算法则:单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加((2)单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题:?单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式;?用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘;?注意确定积的符号((1)多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加((2)运用法则时应注意以下两点:?相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏;?多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积8的项数应等于原多项式的项数之积(1.7平方差公式(1)平方差公式:两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差(22(a+b)(a-b)=a-b(2)应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题:?左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数;?右边是相同项的平方减去相反项的平方;?公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式;?对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便((2)运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释(1.8完全平方公式222(1)完全平方公式:(a?b)=a?2ab+b(可巧记为:“首平方，末平方，首末两倍中间放”((2)完全平方公式有以下几个特征:?左边是两个数的和的平方;?右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍;其符号与左边的运算符号相同((3)应用完全平方公式时，要注意:?公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式;?对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式;?对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式((1)运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释((2)常见验证完全平方公式的几何图形222(a+b)=a+2ab+b((用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系)2完全平方式的定义:对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B，则称A是完全平方式(222a?2ab+b=(a?b)完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方(另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方(算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央((就是把两9项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，后边的符号都用+)”1.9整式的除法整式的除法:(1)单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式(关注:从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤:?系数相除;?同底数幂相除;?对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式((2)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加(说明:多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式(多项式除以单项式的结果仍是一个多项式((1)有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似((2)“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来(先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值(有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似(6变量之间的关系6.1小车下滑的时间6.2变化中的三角形6.3温度的变化6.4速度的变化2实数2.1数怎么又不够用了(1)、定义:无限不循环小数叫做无理数(说明:无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数(如圆周率等((2)、无理数与有理数的区别:?把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如?2=1.414213562..(?所有的有理数都可以写成两个整数之比;而无理数不能((3)学习要求:会判断无理数，了解它的三种形式:?开方开不尽的数，?无限不循环小数，?含有π的数，如分数π/2是无理数，因为π是无理数(2.2平方根(1)定义:如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根(一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根((2)求一个数a的平方根的运算，叫做开平方(一个正数a的正的平方根表示为“?a”，负的平方根表示为“-?a”(正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作?a(零的算术平方根仍旧是零(2(1)算术平方根的概念:一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根(记为?a((2)非负数a的算术平方根?a有双重非负性:?被开方数a是非负数;?算术平方根a本身是非负数((3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方10运算来寻找((1)非负数的性质:算术平方根具有非负性((2)利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解(非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题(2.3立方根3(1)定义:如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根(这就是说，如果x=a，那么x叫3做a的立方根(记作:?a((2)正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数(即任意数都有立方根((3)求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数(3注意:符号?a中的根指数“3”不能省略;对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根(2.4公园有多宽实数大小比的较(1)任意两个实数都可以比较大小(正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小((2)利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小(估算无理数大小要用逼近法(思维方法:用有理数逼近无理数，求无理数的近似值(2.5用计算器开方正数a的算术平方根?a与被开方数a的变化规律是:当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大(或缩小)100倍，?a相应扩大(或缩小)10倍(2.6实数把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力(二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法((1)实数的定义:有理数和无理数统称实数((2)实数的分类:实数{有理数{正有理数0负有理数&无理数{正无理数负无理数或实数{正实数0负实数((1)实数与数轴上的点是一一对应关系(任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数(数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数((2)在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离((3)利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小((1)在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样(实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离((2)实数的绝对值:正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0((3)实数a的绝对值可表示为|a|={a(a?0)-a(a,0)，就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|?0(并且有若|x|=a(a?0)，则x=?a(11实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1;反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数((1)实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方((2)在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行(另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用(二次根式的定义:一般地，我们把形如?a(a?0)的式子叫做二次根式(?“?”称为二次根号??a(a?0)是一个非负数;学习要求:理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围(判断二次根式有意义的条件:(1)二次根式的概念(形如?a(a?0)的式子叫做二次根式((2)二次根式中被开方数的取值范围(二次根式中的被开方数是非负数((3)二次根式具有非负性(?a(a?0)是一个非负数(学习要求:能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题(2(1)二次根式的基本性质:??a?0;a?0(双重非负性)(??(a)=a(a?0)(任何一个非负数都可以写成一2个数的平方的形式)(?(?a)=a(a?0)(算术平方根的意义)(2)二次根式的化简:?利用二次根式的基本性质进行化简;?利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简(?ab=?a•?b?a/b=?a/?b(3)化简二次根式的步骤:?把被开方数分解因式;?利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来;?化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2(最简二次根式的概念:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式(我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式(最简二次根式的条件:(1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式(如:不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a(a?0)、x+y等;2222含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a、(x+y)、x+2xy+y等((1)积的算术平方根性质:?a•b=?a•?b(a?0，b?0)(2)二次根式的乘法法则:?a•?b=?a•b(a?0，b?0)(3)商的算术平方根的性质:?a/b=?a/?b(a?0，b,0)(4)二次根式的除法法则:?a/?b=?a/b(a?0，b,0)规律方法总结:在使用性质?a•b=?a•?b(a?0，b?0)时一定要注意a?0，b?0的条件限制，如果a,0，b,0，使用该性质会使二次根式无意义，如?(-4)×(-9)??-4×?-9;同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除12法运算也是如此((1)分母有理化是指把分母中的根号化去(分母有理化常常是乘二次根式本身(分母只有一项)或与原分母组成平方差公式(例如:?1/?a=?a/?a•?a=?a/a;?1/?a+?b=?a-?b/(?a+?b)(?a-?b)=?a-?b/a-b((2)两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式(一个二次根式的有理化因式不止一个(例如:?2-3的有理化因式可以是?2+3，也可以是a(?2+3)，这里的a可以是任意有理数(同类二次根式的定义:一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式(合并同类二次根式的方法:只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变((1)法则:二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变((2)步骤:?如果有括号，根据去括号法则去掉括号(?把不是最简二次根式的二次根式进行化简(?合并被开方数相同的二次根式((3)合并被开方数相同的二次根式的方法:二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并(合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变((1)二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用(学习二次根式的混合运算应注意以下几点:?与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的(?在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“((2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式((3)在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍(二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值(二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰(5位置的确定5.1确定位置平面内特殊位置的点的坐标特征(1)各象限内点P(a，b)的坐标特征:?第一象限:a,0，b,0;?第二象限:a,0，b,0;?第三象限:a,0，b,0;?第四象限:a,0，b,0((2)坐标轴上点P(a，b)的坐标特征:?x轴上:a为任意实数，b=0;?y轴上:b为任意实数，a=0;?坐标原点:a=0，b=0((3)两坐标轴夹角平分线上点P(a，b)的坐标特征:?一、三象限:a=b;?二、四象限:a=-b(5.2平面直角坐标系(1)我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)((2)平面直角坐标系的相关概念?建立平面直角坐标系的方法:在同一平面内画;两条有公共原点且垂直的数轴(13?各部分名称:水平数轴叫x轴(横轴)，竖直数轴叫y轴(纵轴)，x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点(它既属于x轴，又属于y轴((3)坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限(坐标轴上的点不属于任何一个象限((4)坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系(1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面:?到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关;?距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号(2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律(3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题(两点间的距离公式:22设有两点A(x，y)，B(x，y)，则这两点间的距离为AB=?(x-x)+(y-y)(11221212说明:求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式((1)关于x轴对称点的坐标特点:横坐标不变，纵坐标互为相反数(即点P(x，y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x，-y)((2)关于y轴对称点的坐标特点:横坐标互为相反数，纵坐标不变(即点P(x，y)关于y轴的对称点P′的坐标是(-x，y)(关于原点对称的点的坐标特点(1)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点是P′(-x，-y)((2)关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质(但它主要是用坐标变化确定图形(注意:运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标(5.3变化的“鱼”(1)关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数((2)关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数((3)关于直线对称?关于直线x=m对称，P(a，b)?P(2m-a，b)?关于直线y=n对称，P(a，b)?P(a，2n-b)(1)平移变换与坐标变化?向右平移a个单位，坐标P(x，y)?P(x+a，y)?向左平移a个单位，坐标P(x，y)?P(x-a，y)?向上平移b个单位，坐标P(x，y)?P(x，y+b)?向下平移b个单位，坐标P(x，y)?P(x，y-b)(2)在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度((即:横坐标，右移加，左移减;纵坐标，上移加，下移减()(1)关于原点对称的点的坐标P(x，y)?P(-x，-y)14(2)旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标(常见的是旋转特殊角度如:30?，45?，60?，90?，180?(6一次函数6.1函数(1)变量和常量的定义:在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量((2)方法:?常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面:一是它是否在一个变化过程中;二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化;?常量和变量是相对于变化过程而言的(可以互相转化;?不要认为字母就是变量，例如π是常量(函数的定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量(说明:对于函数概念的理解:?有两个变量;?一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化;?对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应(用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式(注意:?函数解析式是等式(?函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数(?函数的解析式在书写时有顺序性，列y=x+9时表示y是x的函数，若写成x=-y+9就表示x是y的函数(自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义(?当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数(例如y=2x+13中的x(?当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零(例如y=x+2/x-1(?当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零(?对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义(函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值(注意:?当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值;当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程;?当自变量确定时，函数值是唯一确定的(但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个(函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象(注意:?函数图形上的任意点(x，y)都满足其函数的解析式;?满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上;?判断点P(x，y)是否在函数图象上的方法是:将点P(x，y)的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上;如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上((函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力(用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图(函数的三种表示方法:列表法、解析式法、图象法(其特点分别是:列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛;解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然;图象法直观地反15映函数值随自变量的变化而变化的规律(注意:?它们分别从数和形的角度反映了函数的本质;?它们之间可以互相转化(6.2一次函数(1)一次函数的定义:一般地，形如y=kx+b(k?0，k、b是常数)的函数，叫做一次函数((2)注意:?又一次函数的定义可知:函数为一次函数?其解析式为y=kx+b(k?0，k、b是常数)的形式(?一次函数解析式的结构特征:k?0;自变量的次数为1;常数项b可以为任意实数(?一般情况下自变量的取值范围是任意实数(?若k=0，则y=b(b为常数)，此时它不是一次函数((1)正比例函数的定义:一般地，形如y=kx(k是常数，k?0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数(注意:正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求:k是常数，k?0，k是正数也可以是负数((2)正比例函数图象的性质正比例函数y=kx(k是常数，k?0)，我们通常称之为直线y=kx(当k,0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大;当k,0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小((3)“两点法”画正比例函数的图象:经过原点与点(1，k)的直线是y=kx(k是常数，k?0)的图象(根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题(需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定(?描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题(?函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化;有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式(6.3一次函数的图象(1)一次函数的图象的画法:经过两点(0，b)、(-b/k，0)或(1，k+b)作直线y=kx+b(注意:?使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确(?一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线(正比例函数是过原点的直线)，但直线不一定是一次函数的图象(如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象((2)一次函数图象之间的位置关系:直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到(当b,0时，向上平移;b,0时，向下平移(注意:?如果两条直线平行，则其比例系数相等;反之亦然;?将直线平移，其规律是:上加下减，左加右减;?两条直线相交，其交点都适合这两条直线(一次函数的性质:k,0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升;k,0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降(由于y=kx+b与y轴交于(0，b)，当b,0时，(0，b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴;当b,0时，(0，b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴(由于y=kx+b与y轴交于(0，b)，当b,0时，(0，b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴;当b,0时，(0，b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴(?k,0，b,0?y=kx+b的图象在一、二、三象限;?k,0，b,0?y=kx+b的图象在一、三、四象限;16?k,0，b,0?y=kx+b的图象在一、二、四象限;?k,0，b,0?y=kx+b的图象在二、三、四象限(一次函数y=kx+b，(k?0，且k，b为常数)的图象是一条直线(它与x轴的交点坐标是(-b/k，0);与y轴的交点坐标是(0，b)(直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b(直线y=kx+b，(k?0，且k，b为常数)?关于x轴对称，就是x不变，y变成-y:-y=kx+b，即y=-kx-b;(关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数)?关于y轴对称，就是y不变，x变成-x:y=k(-x)+b，即y=-kx+b;(关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数)?关于原点对称，就是x和y都变成相反数:-y=k(-x)+b，即y=kx-b((关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数)6.4确定一次函数表达式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:(1)先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b;(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式(注意:求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值(6.5一次函数图象的应用直线y=kx+b，(k?0，且k，b为常数)，当k相同，且b不相等，图象平行;当k不同，且b相等，图象相交;当k，b都相同时，两条线段重合((1)两条直线的交点问题两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解((2)两条直线的平行问题若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同(例如:若直线y=kx+b与直线y=kx+b平行，那么k=k(111222121、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际(2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数(3、概括整合(1)简单的一次函数问题:?建立函数模型的方法;?分段函数思想的应用((2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键((1)一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积((2)一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值((3)用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题(177二元一次方程组7.1谁的包裹多(1)二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程((2)二元一次方程需满足三个条件:?首先是整式方程(?方程中共含有两个未知数(?所有未知项的次数都是一次(不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程((1)定义:一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解((2)在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解((3)在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数(一般是系数绝对值较大的)的值，再依次求出另一个的对应值(二元一次方程有无数解(求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数(一般是系数绝对值较大的)的值，再依次求出另一个的对应值((1)二元一次方程组的定义:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组((2)二元一次方程组也满足三个条件:?方程组中的两个方程都是整式方程(?方程组中共含有两个未知数(?每个方程都是一次方程((1)定义:一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解((2)一般情况下二元一次方程组的解是唯一的(数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数(7.2解二元一次方程组(1)用代入法解二元一次方程组的一般步骤:?从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来(?将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程(?解这个一元一次方程，求出x(或y)的值(?将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值(?把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解((2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:?方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数(?把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程(?解这个一元一次方程，求得未知数的值(?将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值(?把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ay=b的形式表示(同解方程组定义:如果两个方程组的解相同，那么这两个方程组就是同解方程组(关于两个方程组同解的问题，要知道两个方程组四个二元一次方程都有同一组公共解，即随便把其中两个方程联立成方程组，解仍然相同((1)三元一次方程组的定义:方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组((2)解三元一次方程组的一般步骤:?首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组(?然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值(?再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程(?解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值(?最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可(187.3鸡兔同笼7.4增收节支7.5里程碑上的数(1)由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系((2)一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足:?方程两边表示的是同类量;?同类量的单位要统一;?方程两边的数值要相符((3)找等量关系是列方程的关键和难点(常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式(二元一次方程的应用(1)找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系((2)找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来((3)挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程((4)根据未知数的实际意义求其整数解((1)由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系((2)一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足:?方程两边表示的是同类量;?同类量的单位要统一;?方程两边的数值要相符((3)找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法:?确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系(?将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“;”时一般“;”前后各一层，分别找出两个等量关系(?借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系(?图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系((一)、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤:(1)审题:找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系((2)设元:找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来((3)列方程组:挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组((4)求解((5)检验作答:检验所求解是否符合实际意义，并作答((二)、设元的方法:直接设元与间接设元(当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元(无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程(在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程((1)把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础((2)通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中优越性(7.6二元一次方程与一次函数1)一次函数与一元一次方程的关系:由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a?0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值((2)二元一次方程(组)与一次函数的关系19(3)一次函数和二元一次方程(组)的关系在实际问题中的应用:要准确的将条件转化为二元一次方程(组)，注意自变量取值范围要符合实际意义(1一元一次不等式与一元一次不等式组1.1不等关系(1)不等式的概念:用“,”或“,”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“?”号表示不等关系的式子也是不等式。(2)凡是用不等号连接的式子都叫做不等式。常用的不等号有“,”、“,”、“?”、“?”、“?”。另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数。1.2不等式的基本性质(1)不等式的基本性质?不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即:若a,b，那么a?m,b?m;?不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即:若a,b，且m,0，那么am,bm或a/m,b/m;?不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即:若a,b，且m,0，那么am,bm或a/m,b/m;(2)不等式的变形:?两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号;?两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变。1.3不等式的解集(1)不等式的解的定义:使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。(2)不等式的解集:能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集。(3)解不等式的定义:求不等式的解集的过程叫做解不等式。(4)不等式的解和解集的区别和联系不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示;不等式的解集是一个范围，用不等号表示。不等式的每一个解都在它的解集的范围内。用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”:一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可。定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点;二是定方向，定方向的原则是:“小于向左，大于向右”。1.4一元一次不等式(1)一元一次不等式的定义:含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。(2)概念解析一方面:它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接。20另一方面:它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数。但两者也有联系，即一元一次不等式是属于不等式。根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤:?去分母;?去括号;?移项;?合并同类项;?化系数为1。以上步骤中，只有?去分母和?化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向。注意:符号“?”和“?”分别比“,”和“,”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式。一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解。可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题。用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号。因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系。(1)由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案。(2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系。因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵。(3)列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤:?弄清题中数量关系，用字母表示未知数。?根据题中的不等关系列出不等式。?解不等式，求出解集。?写出符合题意的解。1.5一元一次不等式与一次函数(1)一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合。(2)用画函数图象的方法解不等式ax+b,0(或,0)对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为(-b/k，0)。当k,0时不等式kx+b,0的解为:x,-b/k，不等式kx+b,0的解为:x,-b/k;当k,0，不等式kx+b,0的解为:x,-b/k，不等式kx+b,0的解为:x,-b/k。1.6一元一次不等式组(1)一元一次不等式组的定义:几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。(2)概念解析形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组。但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个。(1)一元一次不等式组的解集:几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。(2)解不等式组:求不等式组的解集的过程叫解不等式组。(3)一元一次不等式组的解法:解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。方法与步骤:?求不等式组中每个不等式的解集;?利用数轴求公共部分。解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到。21(1)利用数轴确定不等式组的解(整数解)。解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解。(2)已知解集(整数解)求字母的取值。一般思路为:先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案。由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系。往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方。所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目。对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解。一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤:(1)分析题意，找出不等关系;(2)设未知数，列出不等式组;(3)解不等式组;(4)从不等式组解集中找出符合题意的答案;(5)作答。2分解因式2.1分解因式1、分解因式的定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式。因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式。例如:3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验。2.2提公因式法1、定义:多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式。2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”:?定系数，即确定各项系数的最大公约数;?定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);?定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂。1、提公因式法:如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。2、具体方法:(1)当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式，多项式的次数取最低的。(2)如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。3、口诀:找准公因式，一次要提净;全家都搬走，留1把家守;提负要变号，变形看奇偶。4、提公因式法基本步骤:(1)找出公因式;(2)提公因式并确定另一个因式:?第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母;?第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式;?提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。222.3运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。22222平方差公式:a-b=(a+b)(a-b);完全平方公式:a?2ab，b,(a?b);2、概括整合:?能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。?能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止。1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式。2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式:?二二分法，?三一分法。例如:?ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)22222?2xy-x+1-y=-(x-2xy+y)+1=1-(x-y)=(1+x-y)(1-