高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形2第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式新题培优练文含解析新人教A版

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式[基础题组练]1．计算：sineq\f(11π,6)＋coseq\f(10π,3)＝()A．－1B．1C．0D．eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)解析：选A.原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,3)))＝－sineq\f(π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2)－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－1.2．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))的值为()A．2eq\r(2)B．－2eq\r(2)C．eq\f(\r(2),4)D．±2eq\r(2)解析：选D.因为sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，所以sinα＝eq\f(1,3)，则cosα＝±eq\f(2\r(2),3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝eq\f(cosα,sinα)＝±2eq\r(2).故选D.3．(2019·湖南衡阳联考)若eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(1,6)tanα，则tanα＝()A．eq\f(1,2)或eq\f(1,3) B．－eq\f(1,2)或－eq\f(1,3)C．2或3 D．－2或－3eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(1,6)tanα，所以eq\f(tanα－1,tanα＋1)＝eq\f(1,6)tanα，整理可得tan2α－5tanα＋6＝0，解得tanα＝2或tanα＝3.故选C.4．已知m为实数，且sinα，cosα是关于x的方程3x2－mx＋1＝0的两个根，则sin4α＋cos4α的值为()A．eq\f(2,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(7,9)D．1，得sinαcosα＝eq\f(1,3)，因此sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,9).故选C.5．设α是第三象限角，tanα＝eq\f(5,12)，则cos(π－α)＝________．解析：因为α为第三象限角，tanα＝eq\f(5,12)，所以cosα＝－eq\f(12,13)，所以cos(π－α)＝－cosα＝eq\f(12,13).答案：eq\f(12,13)6．化简：eq\f(cos（α－π）,sin（π－α）)·sin(α－eq\f(π,2))·cos(eq\f(3π,2)－α)＝________．解析：eq\f(cos（α－π）,sin（π－α）)·sin(α－eq\f(π,2))·cos(eq\f(3π,2)－α)＝eq\f(－cosα,sinα)·(－cosα)·(－sinα)＝－cos2α.答案：－cos2α7．sineq\f(4π,3)·coseq\f(5π,6)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))的值是________．解析：原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π－\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×(－eq\r(3))＝－eq\f(3\r(3),4).答案：－eq\f(3\r(3),4)8．已知α为第三象限角，f(α)＝eq\f(sin（α－\f(π,2)）·cos（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）).(1)化简f(α)；(2)若cos(α－eq\f(3π,2))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝eq\f(sin（α－\f(π,2)）·cos（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）)＝eq\f(（－cosα）·sinα·（－tanα）,（－tanα）·sinα)＝－cosα.(2)因为cos(α－eq\f(3π,2))＝eq\f(1,5)，所以－sinα＝eq\f(1,5)，从而sinα＝－eq\f(1,5).又α为第三象限角，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(6),5)，所以f(α)＝－cosα＝eq\f(2\r(6),5).[综合题组练]1．已知sin(3π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，则sinαcosα＝()A．－eq\f(2,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(2,5)或－eq\f(2,5) D．－eq\f(1,5)解析：选A.因为sin(3π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，所以sinα＝－2cosα，所以tanα＝－2，所以sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,tan2α＋1)＝eq\f(－2,（－2）2＋1)＝－eq\f(2,5).故选A.2．(2019·辽宁沈阳模拟)若eq\f(1＋cosα,sinα)＝2，则cosα－3sinα＝()A．－3B．3C．－eq\f(9,5)D．eq\f(9,5)eq\f(1＋cosα,sinα)＝2，所以cosα＝2sinα－1，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋(2sinα－1)2＝1，5sin2α－4sinα＝0，解得sinα＝eq\f(4,5)或sinα＝0(舍去)，所以cosα－3sinα＝－sinα－1＝－eq\f(9,5).故选C.3．化简eq\f(\r(1－2sin40°cos40°),cos40°－\r(1－sin250°))＝________．解析：原式＝eq\f(\r(sin240°＋cos240°－2sin40°cos40°),cos40°－cos50°)＝eq\f(|sin40°－cos40°|,sin50°－sin40°)＝eq\f(|sin40°－sin50°|,sin50°－sin40°)＝eq\f(sin50°－sin40°,sin50°－sin40°)＝1.答案：14．(综合型)若f(α)＝eq\f(sin[（k＋1）π＋α]·cos[（k＋1）π－α],sin（kπ－α）·cos（kπ＋α）)(k∈Z)，则f(2018)＝________．解析：①当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，原式＝eq\f(sin（2nπ＋π＋α）·cos（2nπ＋π－α）,sin（－α）·cosα)＝eq\f(sin（π＋α）·cos（π－α）