高一上学期期中复习讲义02逻辑用语

期中复习专题02：常用逻辑用语解析版考点一：充分条件与必要条件【知识点梳理】1、命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论．2、充分必要条件与集合的关系若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．3、充分条件、必要条件的判断方法集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围.【典例例题】例1.（2022·新疆喀什地区第一中学期中）若为实数，则是的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意，“”等价于“或”，分析可得解【详解】由题意，若，则或，故充分性不成立；若，则，故必要性成立.因此，是的必要不充分条件.故选：B例2．（2022秋·广东东莞·高一校考期中）已知集合，集合(1)当时，求；(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据交集直接运算求解；（2）由题意分析可得：，分和两种情况，结合包含关系运算求解.【详解】（1）当时，，所以.（2）因为是的必要条件，则，①当时，，解得；②当时，，解得；综上所述：m的取值范围为.【变式训练】1.（2022·新疆塔城第三中学期中）“为整数”是“为整数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由当为整数时，必为整数；当为整数时，比一定为整数；即可选出答案.【详解】当为整数时，必为整数；当为整数时，比一定为整数，例如当时，.所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.故选：A.2.（2022·江西省南昌市中学期中）（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】化简得，再利用集合的关系判断得解.【详解】，所以.设,设选项对应的集合为,因为选项是“”的一个充分不必要条件，所以是的真子集.故选：BC.3.（2022·湖北省黄冈市麻城中学期中）“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：当时，成立，当时，不一定成立，如，故是的充分不必要条件，故选：A．4.（2022·海南省农垦实验中学期中）（多选）设，不等式的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】由可得，解得，因为，，，因此，不等式的一个必要不充分条件是BC选项.故选：BC.5.（2022·海南省农垦实验中学期中）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】解不等式化简集合A，B，再利用充分不必要条件的定义求解作答.【详解】解不等式，即，得或，于是，而，由是的充分不必要条件，得，因此，所以实数的取值范围是.故答案为：6.（2022·吉林省长春市外国语学校期中）已知p：实数x满足集合，q：实数x满足集合B＝{x|x≤﹣2或x≥3}.（1）若a＝﹣1，求A∪B；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）利用并集概念及运算即可得到结果；（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，结合数轴得到结果.【小问1详解】因为a＝－1，所以，又B＝{x|x≤﹣2或x≥3}.所以或【小问2详解】因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以或，所以或.考点二：全称量词与存在量词【知识点梳理】1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示．2、全称量词命题（1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．3、全称量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示．4、存在量词命题（1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。（2）符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为【典例例题】例1.（2022·海南省农垦实验学校期中）命题“，关于的不等式<5成立”为假命题，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】求出给定命题的否定，再结合均值不等式求解作答.【详解】依题意，命题“，关于的不等式成立”，当时，，当且仅当，即时取等号，因此，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：【变式训练】1．（2022秋·广东江门·高一校考期中）（多选）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（

）A．中国所有的江河都流入太平洋 B．有的四边形既是矩形，又是菱形C．存在，有 D．有的数比它的倒数小【答案】BD【分析】选项A是全称量词命题，排除；选项C为假命题，排除；选项BD满足；得到答案.【详解】对选项A：中国所有的江河都流入太平洋是全称量词命题，排除；对选项B：有的四边形既是矩形，又是菱形是存在量词命题且为真命题，比如正方形，正确；对选项C：存在，有是存在量词命题且为假命题，因为恒成立，排除；对选项D：有的数比它的倒数小是存在量词命题且为真命题，比如，正确；故选：BD2.（2022秋·广东·高一校联考期中）若，是真命题，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用参变量分离法可得出，当时，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围.【详解】对任意的，，则，因为，则，则，.故选：C.3.（2022·广东省揭阳市普宁市华侨中学期中）已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式恒成立求解实数的取值范围.【详解】由题意得是真命题，即，，当时，符合题意；当时，有，且，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选:D.4.（2022秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）已知命题，命题.(1)若为真命题，求的取值范围；(2)若“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件，求的取值范围.【答案】(1)或(2).【详解】（1）当，显然不存在使方程1=0成立；当时，一元二次方程的判别式，所以，解得或.（2）若命题为真，则，因为，所以，即，当且仅当时，等号成立.设命题为真时的取值集合为A，命题为真时的取值集合为B，因为命题为真是命题为真的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以，故.5．（2022秋·广东·高一校联考期中）已知命题p：，，命题q：，．(1)若命题p为真命题，求a的取值范围；(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围．【答案】(1).(2)或.【详解】（1）由题意命题p：，，当时，，不合题意；当时，命题p为真命题，则需满足，即；（2）由（1）知命题p为真命题时，a的取值范围为；命题q：，为真时，则，当命题p真而命题q假时，且，故；当命题p假而命题q真时，且，故；当命题p和命题q都真时，且，则，故命题p和命题q至少有一个为真命题，a的取值范围为或.6．（2022秋·广东广州·高一广东华侨中学校考期中）已知集合，．(1)命题p：，命题q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．(2)命题“r：，使得”是真命题，求实数m的取值范围．【答案】(1)或；(2)．【详解】（1）解：①当为空集时，，即，原命题成立；②当不是空集时，是A的真子集，所以，解得；综上①②，的取值范围为或.（2）解：，使得，为非空集合且，所以，即，当时或，所以或，的取值范围为．考点三：命题的否定【知识点梳理】1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．2、全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：．3、存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：．4、常见正面词语的否定：正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个【典例例题】例1.（2022·江西市南昌中学期中）命题，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定形式，即得解【详解】根据全称命题的否定形式，命题，的否定是：，.故选：C例2.（2022秋·广东江门·高一校考期中）（多选）下列说法正确的是（）A．命题“”的否定是“”B．命题“，”的否定是“，”C．“”是“”的必要条件.D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件【答案】BD【分析】根据全称、特称命题的否定判断选项AB；根据不等式与必要条件的判定判断选项C；根据充要条件的判定结合一元二次方程根与系数的关系判断选项D.【详解】对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项错误；对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；对于C选项，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；对于D选项，关于x的方程有一正一负根，则，解得，则“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D选项正确.故选：BD.【变式训练】1.（2022·吉林省长春市外国语学校期中）命题“”，则p为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定形式求解.【详解】命题“”为全称命题，其否定为特称命题，即p：.故选：C2.（2022·黑龙江省齐齐哈尔市中学期中）命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论而不是否定条件，所以D选项正确.故选：D3.（2022秋·广东江门·高一校考期中）已知命题，写出命题的否定【答案】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，解答即可.【详解】命题，则.故答案为：.4．（2022秋·广东清远·高一清远市第一中学校考期中）已知命题：“，”，命题：，，若的否定是假命题，是真命题，则实数的取值范围是.【答案】【分析】利用全称量词命题为真命题求出a的范围，再利用存在量词命题为真命题求出a的范围，即可求解作答．【详解】由，，得，由的否定是假命题，得是真命题，于是得；，，即方程有实根，则，解得，又是真命题，则；因此，由是真命题，也是真命题，可得，所以实数的取值范围是.故答案为：5.（2022秋·广东广州·高一广东实验中学越秀学校校考期中）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，命题“，”是真命题，分和两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.【详解】由题意可知，命题“，”是真命题.当时，则有，不合乎题意；当时，由，可得，则有，，当且仅当时，等号成立，所以，.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.6.（2022秋·广东深圳·高一统考期中）设，命题p：，命题q：.（1）若命题p是真命题，求的取值范围；（2）若命题¬p与q至少有一个为假命题，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据命题为真转化为，即可求解；（2）由题意转化为命题¬p与q不能同时为真，先求命题¬p与q同时为真时的范围，再求其补集即可.【详解】（1）若命题p是真命题时，，即，所以，（2）若命题q：为真时，则，解得，若命题¬p与q至少有一个为假命题，即命题¬p与q不能同时为真，若命题¬p与q同时为真时，则，解得，所以命题¬p与q不能同时为真时，或，一、单选选择（10道）1.（2022·江西市南昌中学期中）下列命题中，真命题是（）．A.， B.如果，那么C.， D.，使【答案】D【解析】【分析】A利用实数的范围判断；B举例判断；C由判断；D由总有判断.【详解】A显然是假命题，B中若虽然但不小于1，C中不存在，使得，D中对总有，∴，故D是真命题，故选：D．2.（2022·黑龙江省齐齐哈尔市中学期中）已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解分式不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】由得，等价于，解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.（2022·广东省东莞市万江中学期中）不等式成立必要不充分条件有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解得，再根据题意依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：不等式，所以对于A选项，互为充要条件；对于BD选项，是不等式成立的既不充分也不必要条件，对于C选项，∵，∴不等式成立的必要不充分条件是C.故选：C.4.（2022·甘肃省天水市武山县第一中学期中）a<0，b<0的一个必要条件为（）A.a＋b<0 B.a－b>0C. D.【答案】A【解析】【分析】根据必要条件的定义逐一判断即可.【详解】，而，则A正确；，，则B错误；，，则C错误；，，则D错误；故选：A5.（2022·甘肃省天水市武山县第一中学期中）“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既不是充分条件，也不是必要条件D.既是充分条件，也是必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：∵由""推不出”或”且由“或”也推不出“”，∴“”是“或”的既不充分条件，也不必要条件．故选：C6.（2022·甘肃省天水市武山县第一中学期中）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】∵a、b为实数，0＜ab＜1，∴“0＜a＜”或“0＞b＞”∴“0＜ab＜1”⇒“a＜”或“b＞”．“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件．故选A．7.（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：C．8.（2022·广东省揭阳市普宁市华侨中学期中）设集合，，那么“”是“”（）A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】根据集合的包含关系可得.【详解】由题知，所以，若，则有，反之不成立，故“”是“”必要非充分条件.故选：A9.（2022·广东省东莞市万江中学期中）命题“”的否定是A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】命题“”的否定是,所以选A.10.（2022·黑龙江佳木斯第八中学期中）命题“，”的否定是（

）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】全称命题的否定，先把全称量词改为存在量词，再把结论进行否定即可.【详解】由得，故命题“，”的否定是“，”.故选：B二、多项选择（4道）11.（2022·广东省东莞市万江中学期中）下列存在量词命题中，为真命题的是（）A.有些自然数是偶数 B.至少有一个，使能同时被和整除C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据存在量词命题的真假性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A：都是自然数，也都是偶数，A正确；对于B：是整数，能同时被和整除，B正确；对于C：因是真命题，则是假命题，C不正确；对于D：因，成立，则，为假，D不正确.故选：AB12.（2022·广东省东莞市万江中学期中）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值可以是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】CD【解析】【分析】根据充分不必要条件与集合之间包含关系的等价联系即可解出．【详解】由解得，或，由题意可知，，．故选：CD．13.（2022·广东省东莞市七校联考期中）若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可能是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】BCD【解析】【分析】由必要条件、充分条件的定义即可得出结果．【详解】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，∴{x|－1＜x＜4}{x|－3＜x＜a}，∴a≥4，∴实数a的值可以是4，5，6．故选：BCD．14.（2022秋·广东深圳·高一校考期中）下列命题为真命题的是（

）A．“，”是“”的必要条件B．“”是“”的充要条件C．“”是“”的充分不必要条件D．“x或y为有理数”是“为有理数”的既不充分又不必要条件【答案】CD【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐个分析判断即可.【详解】对于A，当，时，成立，而当时，，不一定成立，如满足，而不成立，所以“，”是“”的充分条件，所以A错误，对于B，若时，，所以由不能得到，所以B错误，对于C，当时，，而当时，不一定属于，所以“”是“”的充分不必要条件，所以C正确，对于D，若，则为无理数，而当时，为有理数，而为无理数，所以“x或y为有理数”是“为有理数”的既不充分又不必要条件，所以D正确，故选：CD三、填空题（9道）15.（2022·甘肃省天水市武山县第一中学期中）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是_______【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的分布并结合韦达定理得出的取值范围，再根据充分不必要条件与集合之间的关系得出结果判断各选项.【详解】一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件为，即.依题意选项所表示集合是集合的真子集，故选项C正确，ABD错误.故：.16.（2022·黑龙江佳木斯第八中学期中）“”是“”的________【答案】必要不充分条件【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由得不到，如，，满足，但是，故充分性不成立；由则，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件；故：必要不充分条件17.（2022·广东省东莞市七校联考期中）已知命题：，，则为______【答案】，【解析】【分析】将特称命题否定为全称命题即可【详解】因为命题：，，所以为，，故：，18.（2022秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为_______【答案】－1≤a≤3【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案.【详解】由题意:命题是假命题,其否定:为真命题,即，解得，故：－1≤a≤319.（2022秋·湖北武汉·高一期中）已知p：x>1或x<3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可.【详解】由已知得¬p：3≤x≤1，¬q：x≤a．设，若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q⇒¬p，所以集合是集合的真子集.所以．故答案为：.20．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是（满足条件即可）.【答案】0（答案不唯一，满足且均可）.【分析】利用充分不必要条件的定义求解.【详解】解：因为“”是“”的充分不必要条件，且，所以且，故可取0，故答案为：0（答案不唯一，满足且均可）21．（2022秋·福建福州·高一福建省连江第一中学校考期中）已知命题“”为假命题，则取值范围为【答案】【分析】根据题意将特称命题转化全称命题，然后分和两种情况求解即可【详解】因为命题“”为假命题,则为真命题,则当时,满足题意,当时,则,则，综上,的取值范围为.故答案为:.22．（2021秋·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）写出一个使得命题“任意的，恒成立”是假命题的实数的值.【答案】（任意取一个值即可）【分析】先根据二次表达式恒成立求得，再根据假命题满足的条件判断即可.【详解】当命题“任意的，恒成立”是真命题时，，所以，则，所以当上述命题为假命题时，，任意取一个值即可.故答案为：（任意取一个值即可）23．（2022秋·重庆北碚·高一西南大学附中校考期中）已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“”为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可.【详解】因为命题“”为假命题，所以命题“”为真命题，因为集合，当时，集合，符合；当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以，综上所述：实数的取值范围为，故答案为：.四、简答题（5道）24.（2022·广东省东莞市七校联考期中）命题p：，使得；命题q：，函数至少有一个零点.（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若p，q有且只有一个真命题，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用判别式即可求出的范围；（2）由（1）为假命题时，的范围，再分别求出为真命题和假命题时的范围，最后分类讨论即可得到答案.【小问1详解】当为真命题时，则，解得，∴a的取值范围为.【小问2详解】由（1）得当为假命题时，则若命题q为真命题，当时，函数有一个零点，则p真，当且，则p真，∴命题q为真时，；∴命题q为假命题时，则或，∵p，q有且只有一个真命题，∴p真q假，或p假q真，当p真q假时，，解得：，当p假q真时，，解得：，综上可知，或，故所求实数m的取值范围是25.（2022·江西市南昌中学期中）已知命题p:方程有两个不等的负根；命题q:方程无实根.（1）若为真命题，求m的取值范围；（2）若p，q两命题一真一假，求m的取值范围；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据判别式与韦达定理求解即可；（2）首先求出当两个命题是真命题时，的取值范围，再根据两命题中一真一假，列不等式求的取值范围.【详