15-16版：1.2-数列的函数特性(创新设计)

第1章——数列1.2

数列的函数特性[学习目标]1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.掌握数列的函数特性，会判断一个数列是递增数列还是递减数列．§1数列1预习导学

挑战自我，点点落实2课堂讲义

重点难点，个个击破3当堂检测

小试牛刀，体验成功[知识链接]以下4个结论正确的有________．(1)任何一个函数都对应着一个映射，任何一个映射也对应着一个函数；(2)任何一个函数都有一个确定的函数表达式；(3)函数的表示方法有：列表法、解析法、图像法；(4)对于函数f(x)，x1，x2为函数f(x)定义域内任意两个值，当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，那么f(x)是增函数．解析函数是非空数集A到非空数集B的一个映射，而映射中的A、B并非都是数集，故(1)错；某地区的某天的温度y是时间t的函数，这个函数只能用列表法表示，不能用表达式表示，故(2)错；(3)显然正确；(4)中的函数为减函数，故不正确．答案(3)[预习导引]1.数列与函数的关系我们知道数列可以看作是一个定义域为N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an＝f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图像是横坐标为正整数的一系列离散的点.2.数列的单调性名

称定

义判断方法递增数列从第二项起，每一项都

它前面的一项an＋1>an递减数列从第二项起，每一项都

它前面的一项an＋1<an常数列各项都

an＋1＝an大于小于相等3.数列的表示方法数列的表示方法有

、

、

.通项公式法图像法列表法要点一数列的图像例1

在数列{an}中，an＝n2－8n，(1)画出{an}的图像；解列表n123456789…an－7－12－15－16－15－12－709…描点：在平面直角坐标系中描出以下各点即得数列{an}的图像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…图像如下图.(2)根据图像写出数列{an}的增减性.解数列{an}的图像既不是上升的，也不是下降的，那么{an}既不是递增的，也不是递减的.规律方法数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像.因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的.跟踪演练1画出以下数列的图像，并判断数列的增减性.(1)2,4,6,8,10，…；解数列2,4,6,8,10，…的图像如图(1)所示.由图像知它是递增数列.(2)an＝－2n＋5.解由通项公式an＝－2n＋5，写出数列的前5项3,1，－1，－3，－5，描点可得数列{an}的图像如图(2)所示.由图像知它是递减数列.要点二判断数列的单调性∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an，方法二∵n∈N＋，∴an>0.∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，规律方法单调性是数列的一个重要性质.假设an＋1>an恒成立，那么{an}为递增数列；假设an＋1<an恒成立，那么{an}为递减数列.判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N＋)的大小，另外还可以用函数单调性法.用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论.跟踪演练2数列{an}的通项公式为an＝，试判断该数列的单调性.由n∈N＋，得an＋1－an>0，即an＋1>an.∴数列{an}是递增数列.要点三求数列的最大(小)项例3数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？解由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数.(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.又∵n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.解这个不等式组，得2≤n≤3，∴n＝2,3.∴a2＝a3且最小.∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.规律方法求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；假设数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项.跟踪演练3数列{an}的通项公式an＝(n＋1)()n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？假设有，求最大项和最大项的项数；假设没有，说明理由.解假设数列{an}中有最大项.当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an，故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，且a9＝a10＝

.12341.在数列{an}中，an＝n，那么{an}是()A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.以上都不是解析∵an＋1－an＝(n＋1)－n＝1>0，∴数列{an}是递增数列.A2.an＝3n－2，那么数列{an}的图像是()A.一条直线 B.一条抛物线C.一个圆 D.一群孤立的点解析∵an＝3n－2，n∈N＋，∴数列{an}的图像是一群孤立的点.D123412343.用火柴棒按以下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，那么所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_________.解析a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.an＝2n＋14.：数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an(1)写出数列的前5项；1234.(2)猜测数列的通项公式.1234课堂小结1.明确数列的分类：按项数可分为有穷数列和无穷数列；而按相邻项的大小又可分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数数列等.2.数列单调性的判定方法(1)作差比较法①假设an＋1－an>0恒成立，那么数列{an}是递增数列；②假设an＋1－an<0恒成立，那么数列{an}是递减数列；(2)作商比较法(3)函数法：将通项公式转化