奇偶性 教学设计二-人教A版高中数学必修第一册

3.2.2奇偶性(人教A版)

教材分析

《奇偶性》内容选自人教版A版第一册第三章第三节第二课时;函数奇偶性是研究函数的一个重要

策略，因此奇偶性成为函数的重要性质之一，它的研究也为今后指对函数、累函数、三角函数的性质等后

续内容的深入起着铺垫的作用.

教学目标与核心素养

课程目标

1、理解函数的奇偶性及其几何意义；

2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3、学会判断函数的奇偶性.

数学学科素养

1.数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性；

2.逻辑推理：证明函数奇偶性；

3.数学运算：运用函数奇偶性求参数；

4.数据分析：利用图像求奇偶函数；

5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题。

教学重难点

重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断;

难点：函数奇偶性概念的探究与理解.

课前准备

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程

一、情景导入

前面我们用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”(或“下降”)的性质.下

面继续研究函数的其他性质.

画出并观察函数/(%)=犬和g(x)=2-|x|、/(%)=兀和8(1)=工的图像，你能发现这两个函数图像

有什么共同特征码？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本82-84页，思考并完成以下问题

1.偶函数、奇函数的概念是什么？

2.奇偶函数各自的特点是？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.奇函数、偶函数

(1)偶函数(evenfunction)

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2)奇函数(oddfunction)

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

2、奇偶函数的特点

(1)具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点

不对称，就不具有奇偶性.因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。

(2)具有奇偶性的函数的图象具有对称性.偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称;

反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对

称，那么，这个函数是奇函数.

(1)

(3)由于奇函数和偶函数的对称性质,我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以

得到另一半定兴贴的陛到哪/⑴+/(_尤)=o

(4)偶函数：/(一幻=/(尤)O/(x)-/(一无)=0,

奇函数:

(5)根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

(6)已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。

四、典例分析、举一反三

题型一判断函数奇偶性

例1(课本P84例6)：判断下列函数的奇偶性

(1)/(x)=X4(2)f(x)=x5(3)f(x)=x+—(4)/(x)=

xx

【答案】(Df(x)为偶函数(2)f(x)为偶函数

(3)f(x)为奇函数(4)f(x)为偶函数

【解析】

(1)f(x)=x4的定义域为R,关于原点对称。且/(—X)=(—尤)4=/=/(%),

所以f(x)=x4为偶函数.

(2)/(X)=/的定义域为R,关于原点对称。且/(-x)=(-x)5=-X5=

5

所以f(X)=x为偶函数.

(3)f(x)=x+—的定义域为{%|九W0},关于原点对称.

且/(-%)=-x+—=-(x+-)=-/(%),所以/(%)=x+—为奇函数.

-XXX

(4)Z(-x)的定义域为{x|xwO},关于原点对称.且/(一%)=，±=+=/(£),

所以/(X)=3为偶函数.

解题技巧：(利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：)

1.定义法

(1).首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;

(2).确定f(—x)与f(x)的关系；

(3).作出相应结论：

若f(—x)=f(x)或f(―x)—f(x)=0,则f(x)是偶函数；

若f(-x)=-f(x)或f(—x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

2.图像法

跟踪训练一

1.判断下列函数的奇偶性：

(l)f(X)=2—|x|；

(2)f(x)=^/x2—1+-xjl—x2；

X

(3)f(x)='

X—1

x+1,x>0,

(4)f(x)=

—x+1,x<0.

【答案】(Df(x)为偶函数(2)f(x)既是奇函数又是偶函数

(3)f(x)是非奇非偶函数(4)f(x)为偶函数

【解析】(1”.•函数f(x)的定义域为R,关于原点对称，

又f(―x)=2—|—x|=2—|x|=f(x),

；.f(x)为偶函数.

(2”.•函数f(x)的定义域为{—1,1},关于原点对称,且f(x)=0,

又x)=—f(x),f(—x)=f(x),

f(x)既是奇函数又是偶函数.

(3)•••函数f(x)的定义域为{x|x#l},不关于原点对称，

；.f(x)是非奇非偶函数.

⑷f(x)的定义域是(一8,o)u(O,+8),关于原点对称.

当x>0时，-x<0,f(―x)=1—(―x)=l+x=f(x)；

当x<0时，-x>0,f(―x)=1+(―x)=1—x=f(x).

综上可知，对于xG(—8,0)U(0,+8),都有f(―x)=f(x),f(x)为偶函数.

题型二利用函数的奇偶性求解析式

例2已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2%2+3X+1,

⑴求f(T)；

⑵求f(x)的解析式.

f-2x2+3x+l,x>0,

【答案】(D-2(2)f(x)=10,x=0,

(2x2+3x-l,x<0.

【解析】(1)因为函数f(x)为奇函数，

所以f(T)=-f(1)=-(-2X12+3X1+1)=-2.

⑵当x<0时,-x>0,则

f(-x)=~2(—X)2+3(-x)+1=-2x2-3x+l.

由于f(x)是奇函数，则f(x)=-f(-x),

所以f(x)=2%2+3x-l.当x=0时，f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.

iOy、n

0,x=0,''

2x2+3x-l,x<0.

解题技巧：(求函数解析式的注意事项))

1.已知当xe(a,b)时,f(x)=4)(x),求当xe(-b,-a)时f(x)的解析式.

若f(x)为奇函数,则当x£(-b,-a)时,

f(x)=-f(-x)=一6(-x);

若f(x)为偶函数,则当x£(-b,-a)时,

f(x)=f(-x)=6(-x).

2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.

跟踪训练二

1.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2—2x+3,求f(x)的解析式.

X2—2x+3,x>0,

【答案】f(x)Jo,x=0,

、一x2—2x—3,xVO.

【解析】当xVO时，-x>0,

f(—x)—(—x)2—2(—x)+3=x2+2x+3,

由于f(x)是奇函数，故f(x)=—f(—x),

所以f(x)=—x2—2x—3.

即当x<0时，f(x)=—x2—2x—3.

x2—2x+3,x>0,

故f(x)=<0,x=0,

、一x2—2x—3,xVO.

题型三利用函数的奇偶性求参

例3(1)若函数f(x)=a%2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a—1,2a],则a=,b=；

⑵已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数，则实数a=.

【答案】(1)10(2)0

【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a—1=—2a,解得a=)

又函数f(x)=(x2+bx+b+l为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b=0.

(2)由奇函数定义有f(—X)+f(x)=0,得a(—x)2+2(—x)+ax2+2x=2ax2=0,故a=0.

解题技巧：(利用奇偶性求参数)

1.定义域含参数：奇偶函数的定义域为[a,b],则根据定义域关于原点对称，即a+b=O求参；

2.奇偶函数求参可利用特殊值法，若是奇函数则利用f(0)=0,或f(l)+f(-l)=O等，若是偶函数则利用

f(1)-f(-1)=0等求参.

跟踪训练三

1.设函数1——八——为奇函数，则