高中数学基础知识二

解析几何

1.直线的倾斜角

（1）定义：当直线/与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的

角叫做直线/的倾斜角.当直线/与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0。.

（2）范围：直线/倾斜角的范围是［0,兀）.

2.斜率公式

（1）若直线/的倾斜角aW90。，则斜率k=tana.

（2）P］（x“％）,P,（X2,竺）在直线/上，且巾金乃，则/的斜率々=及三上

X2-X\

3.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

）

点斜式y—Xo不含直线x=x0

斜截式不含垂直于X轴的直线

y—yi_x—xi不含直线x=x\（由w、2）和直线y=y

两点式

y2-y\x2—x1（）俨”）

截距式4+{=]不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

Ar+B>+C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

（储+FLO）

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.（V）

（2）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.（X）

⑶直线的倾斜角越大，其斜率就越大.（X）

⑷直线的斜率为tana,则其倾斜角为a.（X）

（5）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.（X）

（6）经过定点4（0,6）的直线都可以用方程y=fcv+b表示.（X）

（7）不经过原点的直线都可以用2+方=1表示.（X）

⑻经过任意两个不同的点尸1（片,〉1）,「2（必，”）的直线都可以用方程丁1）（必一为）=。一即）02

一yi）表示.（V）

1.圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.

2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.

3.圆的标准方程

(x—a)2+(y—如2=,(->0),其中(“，为圆心,二为半径.

4.圆的一般方程

/+/+"+£>+尸=0表示圆的充要条件是迂土史二丝泗，其中圆心为(一夕一D，半径

一。2+君2-4产

「=2

5.确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a,b,r或。、E、尸的方程组；

(3)解出〃、氏r或。、E、尸代入标准方程或一般方程.

6.点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种.

圆的标准方程(X—“尸+。一加2=/，点M(xo，y0)

(1)点在圆上：恤—")2+(口一。)2=J;

(2)点在圆外：(电一af+C-Q—力2>,；

(3)点在圆内：。一”)2+(即一

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(V)

(2)已知点A(x”yi),8(x2,72)>则以AB为直径的圆的方程是(x—xD(x—通)+。-yi)(y—竺)

—0(J)

(3)方程Ax+B^+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=CW0,B=0,D2+E^-

4AF>0.(V)

(4)方程f+2ax+)?=0一定表示圆.(X)

(5)圆f+2x+y2+y=0的圆心是(1,；)(X)

⑹若点M(xo,泗)在圆/+/+以+或+/=。外，则/+/+①0+均，0+/>0.(4)

I.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径〃的大小关系.

火广。相交；d=/0相切；相离.

>00相交;

(2)代数法：，第=0«ilW;

A=b—4ac

<00相离.

2.圆与圆的位置关系

设圆。1：（X—4|）2+（y—仇）2=片（厂|>0）,

圆。2：（X—。2—+（7-岳产=3（『2>0）.

方法代数法：联立两圆方程组

几何法：圆心距d与/•”万的关系

位置关成方程组的解的情况

外离力无解

外切d=.+.一组实数解

相交1———I<d<q+n两组不同的实数解

内切d=\r\—r^riW㈤一组实数解

内含OWdvl——嗖为#r2)无解

【知识拓展】

1.圆的切线方程常用结论

⑴过圆f+y2=J上一点p（xo，涧）的圆的切线方程为X（>r+yoy=J.

（2）过圆（x—a）2+（y—6）2=/上一点P（xo,%）的圆的切线方程为（刈一4）（了一60+（比一/?）&—〃）

=/.

（3）过圆¥+尸=/外一点M（xo，儿）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为小+如占尸

2.圆与圆的位置关系的常用结论

（1）两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：

3条:⑤外离：4条.

（2）当两圆相交时，两圆方程（f,y?项系数相同）相减便可得公共弦所在直线的方程.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）'“=1”是“直线x—y+&=0与圆x?+y2=i相交”的必要不充分条件.（X）

（2）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（X）

（3）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（X）

（4）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方

程.（*）

（5）过圆。：f+）?=/上一点2（回，儿）的圆的切线方程是邓r+wy=M.（V）

（6）过圆0：f+y2=J外一点尸（沏，％）作圆的两条切线，切点分别为A,B,则0,P,A,B

四点共圆且直线A8的方程是x（>x+yoy=/.（，）

1.椭圆的概念

平面内与两个定点尸”尸2的距离的和等于常数(大于|为巳|)的点的轨迹叫做血这两个定

点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

集合P={M||M尸il+|MBI=2a},尸iBI=2c,其中a＞0,cX),且a,c为常数：

(1)若亚，则集合P为椭圆；

(2)若口，则集合P为线段；

(3)若任，则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

22

与+:=1

标准方程1+1=1ab

(a>b>0)(a>h>0)

y

A^O

图形

—b&xWb

范围

—bWyWb一aWyW。

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

A](一〃,0),A2(tz,0)Ai(O,—a),4(0,a)

顶点

5(0,-/?),&(0,b)8](一40),B2s,0)

性

轴长轴4A2的长为额；短轴Bj&的长为功

质

焦距\F\F^=2c

离心率e='(。/)

a,b,c

»2+c2

的关系

【知识拓展】

点PQb,比)和椭圆的关系

22

⑴点尸(沏，先)在椭圆内=我十微＜1.

22

(2)点P(xo，泗)在椭圆上=我+券=1

22

(3)点尸(xo,%)在椭圆外=我+患＞1.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）平面内与两个定点厂“B的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（X）

（2）椭圆上一点P与两焦点Fi，&构成的周长为24+2c（其中a为椭圆的长半轴长,

c为椭圆的半焦距）.（V）

（3）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（X）

（4）方程Wix2+〃y2=］（%）0,小表示的曲线是椭圆.（J）

（5方十方=1（”Wb）表示焦点在y轴上的椭圆.（X）

2222

（6）3+*=1（a>fr>0）与^+5=1伍>6>0）的焦距相等.（V）

1.双曲线定义

平面内与两个定点B，F,的距离的差的绝对值等于常数（小于IQF,|）的点的轨迹叫做双曲

线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

集合P={MI|MF1L|M尸川=2。},|吊川=2。，其中a,c为常数且a>0,c>0.

⑴当2〃<|乙码时,P点的轨迹是双曲线；

⑵当2a=吗F?|时,P点的轨迹是两条射线；

⑶当2°>|竹灯时,P点不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质

2222

标准方程/一5=1(〃>0,b>0)力一京=l(a>0,Z»0)

图形

范围或xW—my£Rx£R,yW—。或>2。

对称性对称轴：坐标轴对称中心：侬,

顶点A|(-6F,0),42(〃,0)A|(0,—a),42(0,〃)

性a

渐近线y=±~x)=9

质

离心率e=%ge(j,4-QO),其中c=q〃2+/

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长肉&|=额；线段8由2叫做

实虚轴

双曲线的虚轴，它的长|8|固=%；。叫做双曲线的实半轴长，b

叫做双曲线的虚半轴长

。、b、c

c1=a2+b1(c>67>0,c>b>0)

的关系

【知识拓展】

巧设双曲线方程

2222

⑴与双曲线也一，=1(4>0,6>0)有共同渐近线的方程可表示为也一齐=，(/#0).

22

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为5+)=1(.<0).

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴平面内到点F|(O,4),F2(0,—4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(X)

22

(2)方程今一?=1(»7">0)表示焦点在x轴上的双曲线.(X)

2222

(3)双曲线方程/一〃>0,4W0)的渐近线方程是%=0,即今书=0.(V)

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于啦.(V)

(5)若双曲线会一方=1伍>0,fr>0)与5一^i=l(a>0,b>0)的离心率分别是e1，e2,则,+留=

1(此结论中两条双曲线称为共规双曲线).(V)

1.抛物线的概念

平面内与一个定点尸和一条定直线/(/不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫

做抛物线的焦点,直线/叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程与几何性质

y2=2px(p>0)y2=~2px(p>0)x2=2py(p>0)X2=-2py(p>0)

标准方程

p的几何意义：焦点产到准线/的距离

图形

顶点0(0,0)n□

对称轴y=0x=0

造,0){0,f)

焦点

离心率e=1

准线方程x2x2y=~2y=2

范围x，0,y£RxWO,yWRy20,xSR

开口方向向右向左向上向下

【知识拓展】

1.抛物线尸=2px仍>0)上一点尸(沏，刈)到焦点眠，0)的距离阳=必+多也称为抛物线

的焦半径.

2./=取的焦点坐标为g,0),准线方程为X=

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(X)

(2)方程)，="2(“#0)表示的曲线是焦点在工轴上的抛物线，且其焦点坐标是(*0),准线方

程是x=一£.(X)

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(X)

2

(4)AB为抛物线)2=2px(p>0)的过焦点啰，0)的弦，若A(x”yi),8(必经)，则'的=，，

>|>2=-〃2,弦长|AB|=M+X2+P.(J)

(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那

么抛物线》2=—2.(“>0)的通径长为2a(V)

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：a^+bx+c^

0(或ay2+by+c=0).

(1)若aWO,可考虑一元二次方程的判别式/,有

①/>0=直线与圆锥曲线相交；

②/=0。直线与圆锥曲线相切;

③/<0c直线与圆锥曲线相离.

(2)若。=0,b^Q,即得到一个一元一次方程，则直线/与圆锥曲线E相交，且只有一个交

点，

①若E为双曲线，则直线/与双曲线的渐近线的位置关系是壬立；

②若E为抛物线，则直线I与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.

2.圆锥曲线的弦长

设斜率为％(kWO)的直线/与圆锥曲线C相交于4为，乃)，8(X2,")两点，则依剧=，1不

--vi|=^l+^|>,2—^ll.

【知识拓展】

过一点的直线与圆锥曲线的位置关系

(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；

过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；

过椭圆内一点的直线与椭圆相交.

(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴

平行或重合的直线；

过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行

或重合的直线；

过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直

线.

(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和

两条与渐近线平行的直线；

过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的

直线；

过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)直线/与抛物线丁=2度只有一个公共点，则/与抛物线相切.(X)

(2)直线y=fcr(Z#O)与双曲线y2=i一定相交.(x)

(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.(J)

(4)直线与椭圆只有一个交点=直线与椭圆相切.(V)

2

(5)过点(2,4)的直线与椭圆r亍+尸=1只有一条切线.(X)

(6)满足“直线y=«x+2与双曲线丁=4只有一个公共点，，的。的值有4个.(V)

数歹IJ

1.数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的见

2.数列的分类

分类原则类型满足条件

有穷数列项数有限

按项数分类

无穷数列项数无限

按项与项间递增数列1------------%

其中

的大小关系递减数列an+\_<^_an"GN*

分类常数列an+\=an

有界数列存在正数M,使EIWM

按其他标准

从第2项起，有些项大于它的前一

分类摆动数列

项，有些项小于它的前一项的数列

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.

4.数列的通项公式

如果数列｛&｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个

数列的通项公式.

(»=!)>

5.已知数列｛斯｝的前〃项和&，

(〃22).

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

(1)所有数列的第〃项都能使用公式表达.(X)

(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(V)

(3)1,1,1,1,…，不能构成一个数列.(X)

(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(X)

(5)如果数列｛〃“｝的前"项和为S”，则对V〃WN*,都有斯+产S,,+LS“.(J)

(6)在数列｛斯｝中，对于任意正整数〃，1,若q=1,则。2=2.(V)

1.等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数

列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.

2.等差数列的通项公式

如果等差数列｛斯｝的首项为由，公差为“，那么它的通项公式是叶="+(〃-l)d.

3.等差中项

如果4=皇，那么4叫做。与b的等差中项.

4.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a„=a,„+(n—m)d(n,ZMCN").

(2)若｛斯｝为等差数列，Kk+l—m+n(k,I,m,«GN*),则4+”,=&；+&.

(3)若｛斯｝是等差数列，公差为d,则｛为“｝也是等差数列,公差为2d.

(4)若｛乩｝是等差数列，则｛pa“+qb“｝也是等差数列.

(5)若｛〃“｝是等差数列，公差为d,则a*,a*+m,4+2加，…(匕〃?eN)是公差为也义的等差数

列.

5.等差数列的前〃项和公式

设等差数列｛斯｝的公差为d,其前n项和a=幽抖或5”=〃，“+也展).

6.等差数列的前〃项和公式与函数的关系

&=舞+(，3~2)n-

数列｛%｝是等差数列。，=4“2+即(4、B为常数).

7.等差数列的前”项和的最值

在等差数列｛斯｝中，ai>0,"<0,则&存在最值；若卬<0,冷0，则S”存在最—小—

值.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数

列.(X)

(2)数列｛狐｝为等差数列的充要条件是对任意“GN”,都有2a“+i=a“+a“+2.(V)

(3)等差数列｛%｝的单调性是由公差”决定的.(V)

(4)数列｛为｝为等差数列的充要条件是其通项公式为〃的一次函数.(X)

(5)数列｛斯｝满足斯+1一斯=〃，则数列｛%｝是等差数列.(X)

(6)已知数列｛%｝的通项公式是a,,=p"+q(其中p,q为常数)，则数列｛〃“｝一定是等差数

列.(V)

1.等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列

叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母a表示3W0).

2.等比数列的通项公式

设等比数列｛”“｝的首项为勾，公比为则它的通项为=21s二.

3.等比中项

若b(“b#0),那么G叫做a与b的等比中项.

4.等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：斯=斯,•仁2(W，〃?GN*).

(2)若｛斯｝为等比数列，Kk+l=m+n｛k,I,m,"CN*),则纯4丘马20.

⑶若｛斯｝，也｝(项数相同)是等比数列，则｛断｝(2#0),唠，｛片｝，｛斯也｝，悔｝仍是等比

数列.

5.等比数列的前〃项和公式

等比数列｛%｝的公比为40WO),其前n项和为S,,,

当夕=1时，Sn=na\\

当步1时，s,=华"=『.

r\-q\—q

6.等比数列前〃项和的性质

公比不为一1的等比数列｛斯｝的前〃项和为s”则s“s2n-s„,S3”一%仍成等比数列,其

公比为d'.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)满足a.+i=W“(〃eN*,4为常数)的数列｛%｝为等比数列.(X)

(2)G为a,6的等比中项QG2=aA(X)

(3)如果数列｛〃“｝为等比数列，儿="2"-|+"2"，则数列｛乩｝也是等比数列.(X)

(4)如果数列｛斯｝为等比数列，则数列｛In斯｝是等差数列.(X)

(5)数列｛斯｝的通项公式是a“=a",则其前〃项和为二:").(X)

(6)数列｛斯｝为等比数列，则X，&-孔，&2-S8成等比数列.(X)

求数列的前”项和的方法

(1)公式法

①等差数列的前〃项和公式

5产叶卓”

②等比数列的前"项和公式

=

(i)当q=1时，Snna\\

,••、山c©(]_，)a「c1q

(11)当。去1时，S,、=]_；=LJn

(2)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.

(3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.

常见的裂项公式

「1_11

'%〃+1)=丁〃+1；

②(2〃一[)(2〃+])02〃-1-2〃+1)；

③5+/=kf・

(4)倒序相加法

把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.

(5)错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式

的推导过程的推广.

(6)并项求和法

一个数列的前〃项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如。,,=(一1)伏〃)类型，可

采用两项合并求解.

例如，5„=1002-992+982-972H---F22-l2=(100+99)+(98+97)H-----1-(2+1)=5050.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)如果数列｛斯｝为等比数列，且公比不等于1,则其前〃项和S"J)

।q

⑵当“22时,禺一*).(7)

(3)求S.=a+2“2+3/+…+/"之和时，只要把上式等号两边同时乘以。即可根据错位相减

法求得.(X)

(4)数歹!!｛/+2〃一1｝的前〃项和为/+*.(x)

(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2l°+sin220+sin23°

+•••4-sin288°+sin289°=44.5.(J)

不等式

1.两个实数比较大小的方法

。一b>00a>b

(1)作差法｛〃一匕=00〃=b(〃，bWR)；

、a—vb

(a,.

1>b

⑵作商法点=io〃=b(〃£R,/?>0).

7<l<=>6f<b

、b--------

2.不等式的基本性质

特别

性质性质内容

提醒

对称性a>b<^b<ao

传递性a>b,b>c=>a>c=>

可加性a>h^a+c>h+c<=>

a>h]

=>ac>bc注意c

c>0J

可乘性的符

a>b\

=>ac<bc号

c<Oj

同向可a>b]

)=>a+c>b+cl=>

加性c>d]

同向同正a>b>Q)[

(=>ac>bd

可乘性c>d>CJ

=>

可乘方性a>b>0=d'>b〃(neN,〃21)a,b

同为

可开方性a>b>0=>y[a>y[h(neN,〃22)

正数

3.不等式的一些常用性质

(1)倒数的性质

®a>bf

②a<O<b=>悬.

®0<a<x<b或〃4<*0=2J/

(2)有关分数的性质

若a>b>0,/n>0,贝！J

u"?b+mhb—m

①^<〃+加;->-------(b—m>0).

aa-m

a+tnaa-nt

行二请f孙

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(l)tz>/?<:>fzc2>frc2.(X)

(2„=a〈b3bW0).(X)

C3)a>b,c>d=>ac>hd.(X)

1.“三个二次”的关系

判别式A=b2-

A>0A=0A<0

4ac

二次函数的l£

y=ax2+bx+c

o怔="2£

(a>0)的图象

一元二次方程有两相等实根X]=X2=

有两相异实根X1,

2

ax+bx+c=0b没有实数根

X2(X1<X2)-2a

(a>0)的根

ax2+bx+c>0

[x|x〈Xj_或x>x”{xlxW-袅{x|x£R}

(a>0)的解集

aj3+hx+c<0

{x|X|<x<x7}00

5>0)的解集

2.常用结论

(x-a)(x—6)>0或(x—a)(x一份<0型不等式的解法

解集

不等式

a<ba=ba>b

(x-a)'(x—{小<4或(xRvb或

b)>0x>b]

(九一a>(x-

3〃<工询0{x\b<x<a}

b)<0

口诀：大于取两边，小于取中间.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

⑴若不等式以2+公+<:<0的解集为(X”X2),则必有4>0.(V)

⑵不等式泊W0的解集是［—1,2］.(X)

(3)若不等式af+bx+oO的解集是(一8,X1)U(jf2，+°°),则方程01?+法+。=0的两个根

是X］和%2-(J)

(4)若方程/+云+C=0(“#0)没有实数根，则不等式―+法+少。的解集为R.(X)

⑸不等式a?+fcc+cWO在R上恒成立的条件是“<0且/=/一4〃£<0.(X)

1.二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地，二元一次不等式Ax+By+OO在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某

一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐

标系中画不等式Ar+By+CNO所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线,则把边界直

线画成实线.

(2)由于对直线Ax+By+C^O同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,

所得的符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(xo,泗)作为测试点，由4xo

+Bvn+C的符号即可判断Ax+By+OO表示的直线是Ar+B)'+C=0哪一侧的平面区域.

2.线性规划相关概念

名称意义

约束条件由变量X,y组成的一次不等式

线性约束条件由尤，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组

目标函数欲求最大值或最小值的函数

线性目标函数关于x,y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

3.重要结论

(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)

或(1,0)来验证.

(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：

对于Ar+By+OO或Ar+B.y+C<0,则有

①当B(Ax+By+C)>0时，区域为直线Ar+By+C=0的上方；

②当8(Ar+By+O<0时，区域为直线Ar+By+C=0的下方.

(3)最优解和可行解的关系：

最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多

个.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)不等式Ax+By+OO表示的平面区域一定在直线Ax+8)，+C=0的上方.(X)

(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.(V)

⑶目标函数z=or+力(6W0)中,z的几何意义是直线or+by—z=0在)，轴上的截距.(X)

(4)不等式丫2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成

的含有y轴的两块区域.(V)

1.基本不等式/而

(1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a=E时取等号.

2.几个重要的不等式

(^a2+b2^2ab(a,Z?eR).

(2)§+号)23，b同号).

(a,R).

(4)”,少代抄(。,h&R).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

3.算术平均数与几何平均数

设a>0,b>0,则a,6的算术平均数为竽，几何平均数为股，基本不等式可叙述为两个

正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题

己知x>0,y>0,则

(1)如果积孙是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值2赤.(简记：积定和最小)

2

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,肛有最大值：(简记：和定积最大)

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)函数>=》+；的最小值是2.(X)

4JT

(2)函数«r)=cos%+£V工£(0，5)的最小值等于4(X)

⑶“x>0且y>0”是“计拄2”的充要条件.(X)

(4)若a>0,则/+/的最小值为2也.(X)

(5)不等式/+廿22"与生芋》标有相同的成立条件.(X)

立体几何

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体

①棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等的多边形.

②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.

③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.

(2)旋转体

①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到.

②圆锥可以由直角三角形绕其直免边所在直线旋转得到.

③圆台可以由直角梯形绕直鱼喳所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到,

也可由平行于底面的平面截圆锥得到.

④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.

2.空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面

图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图.

3.空间几何体的直观图

画空间几何体的直观图常用斜耳地画法，其规则是：

(1)原图形中x轴、》轴、z轴两两垂直，直观图中，一轴、y'轴的夹角为45。(或135。)，z'

轴与『轴、y'轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段

在直观图中保持原长度丕变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

4.常用结论

(1)常见旋转体的三视图

①球的三视图都是半径相等的圆.

②水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.

③水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.

④水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.

（2）斜二测画法中的“三变”与“三不变”

'坐标轴的夹角改变，

“三变”<与丫轴平行的线段的长度变为原来的一半，

.图形改变.

.平行性不改变，

，，三不变”，与x,z轴平行的线段的长度不改变，

.相对位置不改变.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（X）

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.（X）

（3）夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台.（X）

（4）正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.（X）

（5）用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.（X）

（6）菱形的直观图仍是菱形.（X）

1.多面体的表（侧）面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧

面积与底面面积之和.

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

，国片•

侧面展开图/'2总

2U险/

S国行例=兀（口+—）/

侧面积公式S网柱蒯=2兀/7S圆锥解=花/7

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

表面积体积

几何

柱体

V=Sh

S表面积=S侧+2S底

（棱柱和圆柱）

锥体

v=|s/?

S表面积=S捌+S底

（棱锥和圆锥）

（上下+

台体V=|S+S

S表面积=S侧+S上+S下

(棱台和圆台)

S上S下）fi

球5=4兀*/=轴3

4.常用结论

(1)与体积有关的儿个结论

①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.

②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.

(2)几个与球有关的切、接常用结论

a.正方体的棱长为“，球的半径为R,

①若球为正方体的外接球，则2R=0

②若球为正方体的内切球，则2R="；

③若球与正方体的各棱相切，则2/?=小”.

b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=q7铲”.

c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.(V)

(2)锥体的体积等于底面积与高之积.(X)

(3)球的体积之比等于半径比的平方.(X)

(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.(J)

(5)长方体既有外接球又有内切球.(X)

(6)圆柱的一个底面积为5,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是27ts.(X)

1.四个公理

公理1：如果一条直线上的西点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们如且只有一条过该点的公共直线.

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

2.直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

平行直线

共面直线―

相交直线

I异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点