专题11 有关三角形的综合问题（讲）-备战2019年中考数学二轮复习讲练测（原卷版）

备战2019年中考二轮讲练测专题11有关三角形的计算与证明（讲案）一讲考点——考点梳理（一）三角形中的特殊线段1.三角形的角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且交于一点，交点叫三角形的内心，内心到三角形各边的距离相等.2.三角形的中线：三角形的三条中线都在三角形的内部，且交于一点，交点叫三角形的中心，重心把中线分为1：2两部分（到顶点的距离占2份）.3.三角形的高线：三角形的三条高或高的延长线交于一点，交点叫做三角形的垂心.锐角三角形垂心在三角形的内部，直角三角形的垂心即直角三角形的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.4.三角形的中位线：三角形的三条中位线都在三角形的内部，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.（二）三角形的性质1.三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.判断三条线段是否能组成三角形时，只需要判断较短的两条线段长之和是否大于第三遍即可.2.三角形的角（1）三角形的三个内角之和为180°.（2）三角形的外角：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.（3）三角形的外角和为360°.（三）全等三角形的判定条件（1）边角边（SAS）：有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（2）角边角（ASA）：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（3）角角边（AAS）：有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等.（4）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.（5）斜边、直角边（HL）（适用于直角三角形）：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（四）等腰三角形与等边三角形一、等腰三角形1.等腰三角形的概念有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.特别的，三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等.（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（3）等腰三角形是轴对称图形.3.等腰、等边三角形的判定（1）等角对等边.（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形.（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.（五）角平分线与线段的垂直平分线1.角平分线（1）角平分线的性质：角平分线上的点到该角两边的距离相等.（2）角平分线的判定：到角两边距离相等的点在该角的平分线上.2.线段的垂直平分线（1）概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线.（2）线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等.到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.二讲题型——题型解析（一）三角形的三边关系问题例1、△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是．（二）有关角平分线的性质综合问题例2如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1（三）最短路径和最值问题例3（2017天津第11题）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．BCB．CEC．ADD．AC（四）三角形中的翻折问题例4如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2B．C．D．（五）三角形中的规律探究问题例5设△ABC的面积为1．如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=．如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=；如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=；…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CDnEnFn，其面积S=．（六）三角形中的分类讨论问题例6如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为．（七）三角形中的综合性问题例7在等边△ABC中，D为射线BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE=60°，EF⊥BC于F．（1）如图1，若点D在线段BC上，证明：∠BAD=∠EDC；（2）如图1，若点D在线段BC上，证明：①AD=DE；②BC=DC+2CF（提示：构造全等三角形）；（3）如图2，若点D在线段BC的延长线上，直接写出BC、DC、CF三条线段之间的数量关系．三讲方法——方法点睛（一）证明角或线段的关系：在几何证明与计算过程中，若看到边、角的证明，优先考虑证明三角形全等，若告诉两组对应边相等，则优先考虑利用“SAS”找出夹角证明三角形全等；若告诉两组对应角相等，则可以考虑“ASA”、“AAS”；同时，在证明直角三角形全等时，在找角相等，通常利用“同角的余角相等”.（二）对于一般三角形中的计算问题，常用到其性质：三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；内角和定理：三角形的内角和等于180°；外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；边角关系：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角.四练实题——随堂小练1.已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（）A．3B．4C．8D．92．已知：点A（2016，0）、B（0，2018），以AB为斜边在直线AB下方作等腰直角△ABC，则点C的坐标为（）A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC的中点．连接DO，DE．则下列结论中不一定正确的是（）A．DO∥AB B．△ADE是等腰三角形C．DE⊥AC D．DE是⊙O的切线4．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠，点D落在矩形ABCD内部的点D′处，则CD′的最小值是（）A．4 B．45 C．455．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为_____．6．如图，在中，边上的中点，MI//CA，且MI与鈭燘AC的平分线AI交于点I，若，则MI的长度为______.7．如图，等边三角形ABC的周长为6cm，其中BD是中线，且BD=3cm，E为BC延长线上一点，CE=CD，则△BDE的周长为_______cm.8．如图，△ABC中，AC=8，BC=10，AC＞AB.(1)用尺规作图法在△ABC内求作一点D，使点D到两点A、C的距离相等，又到边AC、BC的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）.(2)若△ACD的周长为18，求△BCD的面积.9．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，F为CE中点，连接DF，BF.(1)如图①，当点D在AC上，点E在AB上，请直接写出此时线段DF，BF的数量关系和位置关系(不用证明)；(2)如图②，将图①中△ADE绕点A逆时针旋转45°时，线段DF，BF又有怎样的数量关系和位置关系?写出你的猜想，并给予证明；五练原创——预测提升1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）A．CE=DEB．CE=DEC．CE=3DED．CE=2DE2.在△ABC中，AB=10，AC=，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10B．8C．6或10D．8或103．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则在①3.6②4，③5.5，④7，这四个数中AP长不可能是_____（填序号）4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC、BD，若S四边形ABCD＝18，则BD的最小值为_________．5．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，点D在边AC上，连接BD，过A作BD的垂线交BD的延长线于点E．（1）若M，N分别为线段AB，EC的中点，如图1，求证：MN⊥EC；（2）如图2，过点C作CF⊥EC交BD于点F，求证：AE