2021高中数学第一章预备知识3不等式 教案北师大版必修第一册

第一章预备知识

第三节不等式

3.1不等式的性质教学设计

教材分析

本节主要学习了不等式的五个基本性质，重点是不等式的基本性质，难点是不等式性质的探

索及运用，要将不等式的基本性质与等式的基本性质加以对比，弄清它们之间的相同点与不

同点，这样有助于加深理解不等式的基本性质。对于不等式的基本性质，采用通过学生自己

动手实践、观察、归纳猜想结论、验证等环节来突破的。并在理解的基础上加强练习，以期

达到学生巩固所学知识的目的.

教学目标与核心素养

教学目标：

1.探索并掌握不等式的基本性质；

2.理解不等式与等式性质的联系与区别.

二.核心素养

1.数学抽象：如何利用不等式表示不等关系

2.逻辑推理：通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨

别能力.

3.数学运算：证明不等式关系，会比较代数式的大小关系

4.直观想象：利用数轴的比较任意两数的大小关系，引出实数的大小关系，间接引出实数

不等式的5个性质

6.数学建模：通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，学会利用不等式关系

表示实际问题

教学重难点

教学重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用.

教学难点：能根据不等式的基本性质进行化简

课前准备

PPT

教学过程

L知识引入

在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数啊a,b的大小.关于实数a,b,大小的比较，

有以下基本事实：如果a-b是正数，那么如果a>b;如果a-b等于0,那么a=b;如果a-b是

负数，那么a<b­反过来也成立.

痛论总结：a>ba-b^U

a=b

a<b

2.不等式基本性质

性质1如果a>b,且b>c,那么a>c.

分析要证a>c,只需证a-c〉0.

证明因为a>b,且b>c,

a-b>0,b-c>0

从而a-c=(a-b)+(b-c)>0,即a>c.

性质2如果a>b,那么a+c>b+c.

分析要证a+c>b+c,需证(a+c)-(b+c)>0.

证明因为a>b,所以a-b>0,

所以(a+c)-(b+c)=a_b>0,EPa+c>b+c.

性质3如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc

分析：要证ac〉bc,只需证明ac-bc>0

证明因为a>b,所以a-b>0.

又因为c>0,所以(a-b)c>0即ac-bc>0,ac>bc

请同学完成c<0的情况证明

例1试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小.

解：因为(x+1)(x+5)-(x+3)2=(X2+6X+5)—(X2+6X+9)=—4<0

所以(x+1)(x+5)<(X+3)2

U+ma

例2试证明：若0<a<b,m>0,则----->一

b+mh

、.a+mah(a+m)-a(b+m)m(b-a)

lit明：--------=-------------------=--------

b+mbb(b+m)b(h+m)

m(b-a)).

因为a<b,所以b-a>0,又b>0,m>0,故”仍+m)

a+ma

----->一

因此：b+mb

性质4如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.

证明：因为於右所以>c>从c.

又因为：c>d,lAc>b^d

由不等式的性质1,得a+c>b+d.

性质5如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.;

如果a〉力0,c《d<0,那么ac<bd.

证明：因为a>b,c>0,所以ac>bc.

又因：6X),所以bc»d

由不等式的性质1,得ac>bd.

请同学们：完成c<d<0的情况证明

特殊情况：当a>b>0时，其中〃wN+，n22

例3：(1)已知a>b,ab>0,求证!<工

ab

(2)已知a>b,c〈d,求证：a-c>b-d

证明：(1)因为ab>0,所以」-〉0；

ab

因为a>b,所以有不等式的性质3,得a'->万即

ababab

(2)因为c〈d,所以-c>-d.

又因为a>b,所以有不等式性质4,得a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d

3题型归类

1.比较两数的大小

(1)比较大小：(x-3)2>(x-2)(x-4).(填写或)

(2).(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小关系为(x+1)(x+5)<(x+3)°.

(3).已知a,6为实数，则(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).(填“V”或“=”

2.判断不等关系是否成立

(1).已知a>6,则下列不等式一定正确的是(C)

A.ac'>bc~B.a">62C.a>t>'D.—<_L

ab

(2).对于任意实数&b,c,d,下列命题中正确的是(C)

A.若a>6,则B.若a>b,c>d,则

C.若ac>bc,则a>bD.若a>b,则

ab

(3).若a,b,cGR,且则下列不等式一定成立的是(B)

A.cB.Qa-b)c'2OC.ac>beD.且《b+c

aa+c

3.证明不等关系

(1)

1.已知a>b>0,eVO求证：—.

ab

2.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a—4)的大小.

证明：(1)Va>6>0,

.」>工>0,

ba

再由c<0,可得£>£.

ab

故耍证的不等式成立；

解：(2)•/(<g+3)(a-5)-(a+2)(a-4)

=a-2a-15-(--2a-8)

=-7<0,

J(A3)(a-5)<(界2)(a-4).

(2).已知&比较/+斤与9汁a+Z?-1的大小.

解：(3+6，)-{ab^a^b-1)

(2才+26-2ab-2a-2什2)

2

=2.[(甘-2a公心)+(a2-2^1)+(--2从1)]

2

=1_[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)120,当且仅当a=b=l时，两式相等

2

:./+E2aS"b-\

22

(3).设a>6>0,比较且空也的大小.

a2+b2a+b

22

【解答】解：：a>6>0,，a-6>0,才>氏a-b>0,总曲>0.

22

a+ba+b

222

两数作商a-b'a-b=(a+b)(a-b)乂a+b—(a+b)一卜2ab、1

2222

a+ba+ba+ba-ba2fb2a2^2

•a2~b2a~b

a2+b2a+b

教学反思

本节内容需要学生掌握不等式的基本性质，会判断两数的不等关系，学会利用不等式关

表示实际问题。

第一章预备知识

第三节不等式

3.2基本不等式教学设计

教材分析

本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，

作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，

研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作

用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好

素材，所以基本不等式应重点研究。

教学目标与核心素养

二.教学目标：

1.通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的儿何背景，体会数形

结合的思想；

2.借助基本不等式解决简单的最值问题，

二.核心素养

1.数学抽象：根据实际例子，抽象概括“和定积最大，积定和最小”

2.逻辑推理：本节内容进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，

组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3.数学运算：利用基本不等式求最值

4.直观想象：结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数

形结合的思想；

5.数学建模：基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推

导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式

研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积一定，周长最小；周长一定，面积最大”

等实际问题的计算中也经常涉及到。

教学重难点

难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

重点：应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式而＜上心的

2

证明过程及应用。

课前准备

PPT

教学过程

1.知识引入

对于任意实数X和y,(x-y)220总是成立的，即x2-2xy+y220,所以

上万二》孙，当且仅当x=y时，等号成立

若a20,b'O,取x=G,y=振，贝!|：当且仅当a=b时，等号成立

这个不等式称为基本不等式，其中”&称为a,b的算术平均数，疝称为a,b的几何平

2

均数，因此，基本不等式也称为均值不等式。

结论：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值

1.基本不等式的几何解释

如图1T4,AB是半圆0的直径，点C在AB上，且AC=a,

a+b

CB=b.过点C作AB的垂线交A5于点I)。,连接AD,OD,BD.显然OD=OA=;利用三

角形相似,可证得A4CO相似于ADCB，从而，8=荷

从图中可以看出OD2CD,当且仅当点C与圆心0重合时，等号成立，即“半径大于或等于半

弦”.

利用基本不等式或类似上述几何图形，还可以推出一些其他的简单不等式.

例4已知a>0,b>0,c>0,求证：a+。+c2y[ab+y[bc+y[ac

证明因为a>0,b>0,c>0,所以由基本不等式得

a+h>2\[ab,h+c>2\fbc,a+c>2\[ac

三式相加，得2a+28+2cN++

即：a+b+c>\[ab+\[bc+yfac

把一段长为16cm的细铁丝弯成形状不同的矩形，试填写表1-3,并思考当矩形的长、宽分

别为何值时，面积最大.

表1-3

方案长/cm宽/cm面积/cm?

方案1

方案2

方案3

设矩形的长为xcm,宽为ycm,则x+y=8.此时，由基本不等式得，即x+y>而

xyW16.又因为当x=y=4时,xy=16（即不等式xy<16中的等号成立），?

由此可知,边长为4cm的正方形的面积最大.

思考交流

类比上面的方法，说明：面积为16cm,的所有不同形状的矩形中，边长为4cm的正方形

的周长最小.

重点结论：当x,y均为正数时,下面的命题均成立：

（1）若x+y=s（s为定值）则当且仅当x=y时,xy取得

最大值?

了l

（2）若xy=p（p为定值）则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2&7

例5：已知x,y均为整数，试证明：若x+y=s（s为定值），则当且仅当x=y，时，xy取得

最大值二

4

证明：由基本不等式,历—中而

$2

所以xy<一

.4

V2

又因为当x二尸一时，不等式中的等号成立，所以此时xy取得最大值

2

例6如图1-16,动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其

他各面用钢筋网围成.（接头处不计）

（1）现有可围36m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、__________

宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？

（2）若使每间禽舍面积为24m2则每间禽舍的长、宽各设

计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？

解（1）设每间禽舍的长为xm,宽为ym,则

设S=xy,0<x<9.0<y<6,应用基本不等式,有

2x+3--2J2x•3y,

276W<18

27

即：5<—

2

当且仅当2x=3y时，不等式中等号成立，此时

2x=3y,

2x+3y=18,

x=45,y=3

因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为4.5m和3nl时，可使每间禽舍面积最大，最大

面积为13.5m2.

重点题型

（1）利用基本不等式求求最值

1.下列函数中，最小值是2的是（）

A.尸三」C.尸7'+7rD.注(%>0)

2x