湖北省潜江市19-20九年级上册期末数学试卷

湖北省潜江市19-20九上期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.在下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（）

2.一个不透明的袋子中装有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别.从袋中随机取出一个

球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（）

A.3个B.不足3个C.4个D.5个或5个以上

3.已知点4（1,%）,现2,丫2）在抛物线'=一。+1）2+2上，则下列结论正确的是（）

A.2>yr>y2B.2>y2>C.yx>y2>2D.y2>yi>2

4.能说明命题：“方程”2+3x-c=0有实数根”是假命题的反例是（）

A.c=0B,c=—3C.c=—2D.c=2

5.在平面直角坐标系中，抛物线y=（x+3）（x-5）经变换后得到抛物线y=（x+5）（x—3）,则这

个变换可以是（）

A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位

C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位

6.在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法正确的是（）

A.随着抛掷次数的增加，正面向上的频率越来越小

B.当抛掷的次数〃很大时，正面向上的次数一定为

C.不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同

D.连续抛掷5次硬币都是正面向上，第6次抛掷出现正面向上的概率小于1

7.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分

支的总数是57,设每个支干长出x个小分支，根据题意列出方程为（）

A.1+x+x（l+x）=57B.1+x+x2=57

C.x+x（l+%）=57D.1+2x2=57

8.如图，在△ABC中，点。是8c上的一点，BD：DC=2：3,连接40,E是AO的中点，连接

8E并延长交4c于点凡则4R尸C等于（）

E

B.z

9.如图，O。的半径为5,弦4B=8,点C在弦AB上，且=则0c

的长为()

A.2A/2B.2A/3C.V13D.4迎

10.关于X的一元二次方程。/+板+^=0有一个根是一1,若二次函数丫="2+'+：的图象的

顶点在第一象限，设t=2a+b,则，的取值范围是()

A.-1<t1<-B.-1<t<-1C.—1<t1<-D.—1<t<-1

424222

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

11.在-2,1,4,-3,0这5个数字中，任取一个数是负数的概率是.

12.若点4(a,4)与点8(—3,b)关于原点成中心对称，则a+b=.

13.扇形的半径为6c〃?，圆心角为120。，用该扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的直径

是cm.

14.现定义运算“•"，对于任意实数a,b,都有“*匕=。2一£1*6+6.如3*5=32-3乂5+5.若

x*2=5,则实数x的值为.

15.半径为R的圆内接正三角形的边长是.

16.如图，四边形。48c为正方形，点。(3,1)在A8上，把ACBO绕点C7„

cL________5

顺时针旋转90。，则点。旋转后的对应点少的坐标是.

三、解答题(本大题共9小题，共72.0分)

17.解方程：x2-2x=4

18.如图，在△ABC中，已知4B=4C,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100。，得到AADE,连接

BD,CE交于点F.

⑴求证：△4BD三ZkACE；

(2)求乙4CE的度数.

19.△ABC在边长为/的正方形网格中如图所示.

①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形使其位似比

为1：2.且△位于点C的异侧，并表示出乙的坐标.

②作出△ABC绕点、C顺时针旋转90。后的图形△C.

③在②的条件下求出点8经过的路径长.

20.已知X],%2是关于x的一元二次方程/-3x+a=0的两个实数根,且好+以=5,则a=

21.小颖用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜,

镜子与教学大楼的距离4E=24米.

当她与镜子的距离CE=3米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面

高度C0=1.6米，请你帮助小颖测量出大楼A8的高度（注：入射角=反射角）.

22.经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转.假设这三种可能性相同，现有小明和

小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率.

23.某超市销售一种进价为每件20元的计算器，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元

）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500.

（1）该超市每月销售这种计算器获得利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；

(2)如果超市想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

(3)根据物价部门规定，这种计算器的销售单价不得高于32元，那么销售单价定多少元时，每

月可获得最大利润？并求出最大利润.

24.如图，A8是00的直径，8C是O0的弦，直线MN与0。相切于点C,过点8作BD1MN于

点D.

⑴求证：乙ABC=LCBD；

(2)若BC=2近，CD=2,求。。的半径.

25.已知：如图,抛物线y=。炉+抹+<:与坐标轴分别交于点4(0,6),8(6,0),C(一2,0),点P是线

段AB上方抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当点尸运动到什么位置时，△P4B的面积有最大值？

(3)过点P作x轴的垂线，交线段A8于点。，再过点P做「5〃》轴交抛物线于点E,连结DE,

请问是否存在点P使APDE为等腰直角三角形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，说明理

由.

-------答案与解析---------

1.答案：B

解析：解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

8、是中心对称图形，故此选项正确；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

。、不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：B.

根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫

做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可.

此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义.

2.答案：D

解析：

本题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之

也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等.根据取到白球的可能性较大可以判断出白

球的数量大于红球的数量，从而得解.

解：因为袋中有4个红球，取到白球的可能性较大，

所以袋中白球的个数大于红球个数，

所以袋中白球的个数可能是5个或5个以上.

故选D.

3.答案：A

解析：

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式.

分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断.

解：由题意，当％=1时，%=-(1+1)2+2=-2;

2

当x=2时，y2=-(2+I)+2=-7.

因为2>—2>—7,所以2>y]>.

故选A.

4.答案：B

解析：解：当c=-3时，方程/+3%-c=0无实数根也成立，所以证明命题“方程产+3x-c=0

有实数根”是假命题的反例是：c=-3；

故选：B.

要证明一个命题是假命题只要举一个反例即可.

此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题是假命题只要找

到一个反例即可.

5.答案:A

解析：

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.根据

变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律.

解：y=(x+3)(%-5)=(x-I)2-16,顶点坐标是(1,-16)；

y=(x+5)(x-3)=(x+l)2-16,顶点坐标是(-1,—16).

所以将抛物线y=(x+3)(x-5),向左平移2个单位长度得到抛物线y=(x+5)(x-3).

故选A.

6.答案：B

解析：解：在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，当抛掷的次数”很大时，正面向上的次数一

定为今

故选：B.

概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会

小也有可能发生.

本题考查了概率的意义，利用概率的意义是解题关键.

7.答案：B

解析：解：由题意可得，

1+X+X-X=1+X+X2=57

故选：B.

根据题意，可以列出相应的方程，从而可以解答本题.

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.

8.答案：C

解析：

此题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是关键，过点。作OG〃B尸交

AC于点G,根据。G〃BF,8D：DC=2：3,得到FG：GC=BD-.DC=2：3,即CG=|FG,FC=|FG,

根据E是4。的中点，DG//BF,得到4F=FG,即可得到AF：FC=FG-.|FG=|.

解：如图，过点。作。G〃B尸交AC于点G,

vDG//BF,BD：DC=2：3,

•••FG：GC=BD：DC=2：3,

3

.・・CG=-FG,

2

,:FC=FG+CG,

35

.%FC=FG+-FG=-FG,

22

・・・E是AD的中点,DG//BF,

：.AF=FG,

57

AF：FC=FG：-FG=-,

25

故选c.

9.答案：C

解析：解:过点。作。。，4B于点。，连接。4,

vAB=8,AC=-AB,

4

・•・AC=2,BC=6,

・•・40=3x8=4.

2

在Rt△4。。中,

vOA=5,AD=4,

.・.OD=V52-42=3,

在RMOCD中，

vOD=3,CD=AD-AC=4-2=2,

・・.OC='OD?+CD2=J32+22=g,

故选：C.

过点。作。DLAB于点D,连接OA,先根据垂径定理求出4。的长，再由勾股定理求出。。的长,

在Rt△OCD中根据勾股定理即可得出OC的长.

本题考查的是垂径定理、勾股定理；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

10.答案：D

解析：解：•.•关于X的一元二次方程以2+必+；0有一个根是一1,

・•・二次函数y=ax2+b%+［的图象过点（一1,0）,

・•・a—力+工=0,

2

Ab=a4-t=2a+b,

2

2t-l,2t+2

则Q=，b=——

oo

•••二次函数y=a/+bx+：的图象的顶点在第一象限,

-Q。>三>3

将。=一，b=一代入上式得:

oo

2t+2

6>0,解得：-1<t<g

严

T>。，解得:V，

故：-1<t<g,

故选：D.

二次函数的图象过点(一1,0),则a-b+J=O,而t=2a+b,则。=咚L二次函数的图

z66

象的顶点在第一象限,则-q。，y>o,即可求解.

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与h的关系，以及二次函数与

方程之间的转换，根的判别式的熟练运用

IL答案：|

解析：解：任取一个数是负数的概率是：p=f,

故答案为：|.

根据概率公式：P(④=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数可得答案.

此题主要考查了概率公式，关键是掌握公式.

12.答案：-1

解析：解：•••点4(a,4)与点8(—3,b)关于原点成中心对称,

・•・a=3,b=—4,

・•・a+b=3+(-4)=-1

故答案为：—1.

直接利用关于原点对称点的性质得出小b的值，进而得出答案.

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个点关于原

点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点。的对称点是P'(-x,-y).

13.答案：4

解析：解：设此圆锥的底面半径为「，由题意，得

解得r=2cm.

所以直径为4cm

故答案为：4.

利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得.

本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形

的半径等于圆锥的母线长.本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解.

14.答案：一1或3

解析：

根据新定义，将原式转化为一元二次方程，用因式分解法解答.

本题考查了解一元二次方程，根据新定义将原式转化为一元二次方程是解题的关键.

解：根据题意得，%2—2%+2=5,

移项得，x2-2x-3=0,

因式分解得，(x+l)(x-3)=0,

解得，X1=-1,%2=3.

故答案为-1或3.

15.答案：V3/?

解析：

本题考查了正三角形和外接圆，要知道圆心既是内心也是外心，所以BO平分N4BC,根据等边三角

形的性质与圆的性质相结合，得出结论.

欲求△4BC的边长，把△ABC中8c边当弦，作BC的垂线，在中，求8。的长；根据垂径

定理知：BC=2BD,从而求正三角形的边长.

解：如图所示.过。作。DJ.BC,

在RtAB。。中，OB=R,4080=30。，

•••BD=—0B=—R<

22

•:BD=CD,

V3「

・•・BC=2BD=2x—/?=V3/?.

故它的内接正三角形的边长为遥R.

故答案为：y/3R.

16.答案：(一2,0)

解析：解:

△CBD绕点、。顺时针旋转90。得到的图形如上图所示.

••・D的坐标为(3,1),

:.OA=3,AD=1

•・•在正方形OABC中，

OA=AB,

・•・AB=3,

,BD=AB-AD=2,

・・・OD'=BD=2,

・・・。的坐标为（一2,0）,

故答案为(—2,0).

本题利用正方形的性质，确定旋转后D'的位置，再求出它到坐标轴的距离，就可以判断D'坐标.

本题考查正方形的性质和旋转变换的性质，求出。。'的长度后要注意。'的位置，正确判断出。坐标

的符号.

17.答案：解：由/-2x=4得/-2x+1=5,

即(%—1)2=5,

所以x=1+V5>

即=1—V5，x2=1+V5.

解析：本题考查了配方法解一元二次方程.

利用配方法解一元二次方程计算得结论.

18.答案：解：(1)由题意得：AB=AC,AD^AE,^BAC=^.DAE,

・•・Z.BAD=Z.CAE；

在△ABD与△4CE中,

AB=AC

乙BAD=Z-CAE,

AD=AE

•••△a80ma4CE(S4S)；

(2)-AC=AE,

/./.ACE=/-AEC,而4&4E=100。,

“L180°-100°

・•・Z-ACE=-----------40°.

2

解析：本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及其应用问题;

牢固掌握全等三角形的判定等几何知识点是解题的关键.

(1)证明乙BAD=NC4E,直接证明△28D三△4CE,即可解决问题.

(2)证明乙4CE="EC,运用4C4E=100。,即可解决问题.

19.答案：解：①如图，△&B1C为所作，点4的坐标为(3,-3)；

②如图,△4/。为所作;

③0B="2+42=y/yj,

点B经过的路径长=竺生亚=叵

解析：①延长AC到4使&C=24C,延长8c到为使BiC=2BC,则AAiBiC满足条件；

②利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点心、B2,从而得到A&B2c

③先计算出0B的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长.

本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心

和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，

得到放大或缩小的图形.也考查了旋转变换.

20.答案：2

解析：

本题考查了一元二次方程。/+以+，=09力0)的根与系数的关系：若方程的两根为X1，%2,则

X1+X2=-^,X1々2=；.也考查了一元二次方程的根的判别式・

先根据方程有实数根求出。的取值范围，根据根与系数的关系得到与+X2=3,X1-X2=a,再把*+

2-

X2=5变形得到淄+据=(%1+X2)2%1久2=9-2a=5,然后解方程，再确定满足条件的a的值.

解：•••原方程有实数根，

•••△=(-3)2-4a>0,

解得a<p4

故a的取值范围是aS4

又•.•方程两实数根分别为与、x2,

则%1+%2=3,x^%2=a,

=x2

由好4-%2(%i+2)-2%1%2=9-2a=5,

解得a=2.

故答案为2.

21.答案：解：•・,根据反射定律知：乙FEB=(FED,

・••Z-BEA=乙DEC,

•・•Z.BAE=乙DCE=90°,

•••△ABE~ACDE9

AB_AE

"CD_CE'

・・・CD=1.6米，CE=3米，AE=24米，

tAB_24

••1.6-3，

•-AB=12.8,

・•・大楼AB的高为12.8米.

解析：本题考查相似三角形性质的应用.解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例

列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.

根据反射定律和垂直定义得到匕=所以可得△ABE〜△CDE,再根据相似三角形的性质

解答.

22.答案：解：画树状图为：

左直右

/T\/1\/T\

左直右左直右左直右

共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5,

所以两人之中至少有一人直行的概率为三.

解析：画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率

公式求解.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从中选出符合

事件4或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

23.答案：解：(1)由题意，得

W=(x-20)y

=(x-20)(-10x+500)

=-10x2+700x-10000.

答：w与x之间的函数关系式为勿=-10x2+700%-10000；

(2)当W=2000时,

2000=-10/+700x-10000,

解得：Xj=30>x2=40.

答：每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元；

(3)由题意，得

VW=-10/+700%-10000.

AW=-10(%-35)2+2250.

•••销售单价不高于32元，

20<x<32.

va=-10<0,

••・抛物线的开口向下，在对称轴的左侧W随X的增大而增大，

•••对称轴为尤=35,

二x=32时，W最大，最大值为一10(32-35¥+2250=2160.

答：销售单价定32元时，每月可获得最大利润，最大利润为2160元.

解析：本题考查了销售问题的数量关系利润=每件利润x销售量的运用，由函数值求自变量的值的运

用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键.

(1)根据利润=每件利润x销售量就可以得出结论；

(2)当w=2000时，代入(1)的解析式求出x的值即可；

(3)将(1)的解析式转化为顶点式，由抛物线的性质就可以求出结论.

24.答案：(1)证明：连接OC,

・•・MN为。。的切线，

AOC1MN,

■：BD1MN,

・•.OC//BD,

・•・乙CBD=Z.BCO.

又•・•OC=OB,

:.Z.BCO-Z-ABC,

・♦・乙CBD=Z.ABC；

(2)解：连接AC,

在RMBCD中，BC=2后CD=2,

・•・BD=VBC2-CD2=4,

・・,AB是O。的直径，

・•・乙ACB=90。，

・・・Z,ACB=乙CDB=90°,

•••Z-ABC=乙CBD,

*t•△ABC^is.CBD,

ABCBH|.AB2V5

BCBD2\/54

:*AB=5，

.•・。。的半径是I,

解析：本题考查了切线的性质和圆周角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作出辅

助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键.

(1)连接。C,由切线的性质可得0C1MN,即可证得OC〃BO,由平行线的性质和等腰三角形的性

质可得NCBO=乙BCO=^ABC,即可证得结论：

(2)连接AC,由勾股定理求得B。，然后通过证得△ABCSACB。，求得直径AB,从而求得半径.

25.答案：(1)抛物线解析式为、=一#+2x+6；(2)当t=3时，P位于(3多，APAB的面积有最

大值；(3)点P(4,6).

解析：［分析］

(1)利用待定系数法进行求解即可得；

(2)作PM10B与点M,交AB于点M作AG1PM,先求出直线AB解析式为y=-x+6,设

P(t,-+2t+6),则N(t,T+6),由SAPAB=ShPAN+=\PN-AG+\PN-BM=\PN-OB

列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；

(3)由PH1OB^ADH//AO,据此由。4=0B=6得4BDH=Z.BAO=45°,结合NDPE=90。知若△

PDE为等腰直角三角形，则ZEDP=45°,从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出

答案.

［详解］

解：⑴•••抛物线过点8(6,0)、C(-2,0),

二设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2),

将点4(0,6)代入，得：-12a=6,

解得：a=一|,

所以抛物线解析式为y=-1(x-6)(%+2)=-1x2+2x+6；

(2)如图1,过点P作PM1OB与点M,交AB于点N