机械振动理论：有阻尼单自由度系统受迫振动

2024年5月13日1机械振动理论(n5)2024年5月13日22.7有阻尼单自由度系统受迫振动

本节只讨论简谐激振的响应如图2-24所示系统:设质体质量为m；位移为，其方向向下为正；速度为,加速度；在质量m上作用激振力为弹簧恢复力为–kx；阻尼力为。根据牛顿第二定律建立振动微分方程式：2024年5月13日3令，,代入式（2-70）中，得：

方程式为——二阶线性常系数非齐次微分方程。

通解为——

齐次微分方程式的通解

及非齐次微分方程式的特解之和即：2024年5月13日4式中：

代表有阻尼自由振动，

小阻尼时：

为衰减振动，

在振动开始阶段有意义，

随时间的增加将衰减掉。

当研究受迫振动等幅振动时，可以略去。

表示系统的受迫振动，称为系统的稳态解。

由于微分方程式非齐次项是正弦函数，

可知特解的形式亦为正弦函数，

稳态解的频率与激振频率相同。解的形式：2024年5月13日5因此，可以设此特解为：

式中：B——

受迫振动的振幅；

——

位移落后与激振力的相位角。

将及其一阶、二阶导数代入方程式(2-71)中，

将(a)式右端加以变换：2024年5月13日6方程（c）对于任意时刻均成立，要求：可解出B与：将（b）代入（a），整理后得：2024年5月13日7令：,,（74）（75）式写成：总结：具有粘性阻尼的系统受到简谐激振力作用时——

受迫振动也是一个简谐运动；

其频率和激振频率相同；其振幅、相位角与初始条件无关；

系统本身的性质（质量M、弹簧刚度k、粘性阻尼系数r）。取决于激振力的性质（力幅、频率），体现在公式中的哪些参数？2024年5月13日8影响振幅的因素：、z、（1）的影响：

受迫振动的振幅B与激振力幅值成正比。

改变激振力的幅值，即可改变受迫振动的振幅。

例如：电磁振动给料机

——调节电流参数，

——便改变了电磁激振器激振力，

——以便调节给料箱的振幅。2024年5月13日9（2）z的影响：

令：——激振力幅值静作用在弹簧上产生的静变形。

则振幅比为：或称振幅放大因子。

对于不同的值绘出一族曲线——幅频响应曲线。

当z很小时——

振幅几乎与[激振力幅值引起的]弹簧静变形相等。

[因为激振频率很小，激振力的作用接近于静力作用效果；

阻尼几乎不起作用。]

2024年5月13日10

当z>>1时,趋于零，振幅B很小。

[质体由于惯性而跟不上激励的快速变化；

阻尼几乎不起作用。]

当

在较小的情况下，

振幅B可以很大，（即比大很多倍）。

在即没有阻尼的情况下，

振幅B就会变成无限大（共振）。

[振动状况与阻尼大小有关]2024年5月13日11（3）的影响。

在时，其幅频响应曲线在曲线族的最上方，

——

这说明阻尼的存在使得振幅变小。

当z<<1或z>>1时，

阻尼对衰减振幅的作用不大，

因此在，时，

——

计算振幅可不计阻尼影响。

在的区域内，

系统的振幅随着阻尼的增加明显减小，

——

这时必须计入阻尼。

当时，幅频响应曲线变成了一平坦的曲线。

——这说明阻尼对共振振幅有明显的抑制作用。2024年5月13日12将振幅表达式（76）对z求导，并使之等于零，

可即求解出最大振幅发生点。*

——可见：最大振幅所对应频率比[最大振幅发生点]

随的增大而左移。当较小时，（=0.05-0.2）

——可近似的认为：共振[z=1]时的振幅就是最大振幅。共振时的振幅：最大振幅发生点求解：[计算见下页]2024年5月13日132024年5月13日14由公式（77）看出：相位角和阻尼比成正比，*

[说明了什么？]当=0时，相位角与频率比z的关系如图中折线所示：当z<1的低频范围内，，

当z>1时，；

当z=1时，共振点前后相位角突然变化。相频响应曲线——

相位角与z和的关系曲线

（图2-26）2024年5月13日15由公式（77）看出：相位角和阻尼比成正比，*

[阻尼越大响应相对激励滞后得越多。]当=0时，相位角与频率比z的关系如图中折线所示：当z<1的低频范围内，，

当z>1时，；

当z=1时，共振点前后相位角突然变化。相频响应曲线——

相位角与z和的关系曲线

（图2-26）2024年5月13日16当阻尼很小时，

在z«1的低频范围内，，

即位移与激振力Q接近同相；

在z»1的高频范围内，，

即位移与激振力Q接近异相。

上述情况表明：

阻尼很小时，它对相位角的影响也很小；

阻尼增大时，

相位角随z增加而增大；

当z=1（即共振）时，

相位角，与阻尼大小无关，

这是共振时一个重要特征。2024年5月13日17例1旋转机械的偏心质量引起的受迫振动

图2-27为弹簧（刚度为k）

和阻尼器（阻尼系数为r）

支承的旋转机械力学模型。

旋转机械的总质量为M

，

转子的质量为m,【大小关系？】

偏心距为e,

转动角速度为。2024年5月13日18例1旋转机械的偏心质量引起的受迫振动

图2-27为弹簧（刚度为k）

和阻尼器（阻尼系数为r）

支承的旋转机械力学模型。

旋转机械的总质量为M

，

转子的质量为m,

偏心距为e,

转动角速度为。M含m2024年5月13日19只考虑机器在垂直方向的振动，

机器位移表示为x,

偏心质量m的位移为。

系统的振动方程可写成：

整理后：

方程式的稳态解为：

质量不要重复计算2024年5月13日一定要取绝对坐标2024年5月13日20以、代入方程(78)解得振幅、相角：从式（79）可以看出：偏心质量引起的受迫振动，

其振幅B与偏心质量、偏心距成正比。原理应用——转子平衡试验：离心式通风机对离心式水泵转动部件（转子）作平衡试验离心式压缩机

——使其质量均匀分布,减小偏心质量、偏心距,

——减小振动。2024年5月13日21将（79）式作如下变换：以为纵坐标，为横坐标，对于不同的值画出曲线图——即为该旋转机的幅频响应曲线（图2-28）。

幅频响应曲线[偏心质量引起受迫振动所对应的]2024年5月13日22当时，激振力幅值很小，振幅