江西省萍乡市湖上中学高三数学理下学期期末试卷含解析

江西省萍乡市湖上中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若实数x，y满足，则的最大值是（

）A．3

B．8

C．14

D．15参考答案：C作出不等式组对应的平面区域如图

由得，平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，此时，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

2.已知△ABC的三内角A,B,C所对边的长依次为a,b,c，M为该三角形所在平面内的一点，若a＋b＋c＝，则M是△ABC的A．内心

B．重心

C．垂心

D．外心参考答案：【知识点】平面向量及应用．F2A

解析：M是三角形ABC的内心．理由如下：已知a+b+c=，延长CM交AB于D，根据向量加法得：=+，=+，代入已知得：a（+）+b（+）+c=，因为与共线，所以可设=k，上式可化为（ka+kb+c）+（a+b）=，由于与共线，与、不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，a+b）=，由a+b=可知：与的长度之比为，所以由内角平分线定理的逆定理可得CD为∠ACB的平分线，同理可证AM，BM的延长线也是角平分线．故M为内心．故选A．【思路点拨】延长CM交AB于D，根据向量加法得：=+，=+，代入已知得：a（+）+b（+）+c=，由两不共线的向量的和为零向量的结论：已知，不共线，若x+y=，则x=y=0，再由内角平分线的判定定理的逆定理，得到CD为角平分线，同理可得AM，BM的延长线也是角平分线．即可判断M为内心．3.下列各命题中正确的命题是（

）①命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题；②命题“”的否定是“”；③“函数的最小正周期为错误！未找到引用源。”是“”的必要不充分条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”。A．②③ B．①②③

C．①②④ D．③④参考答案：A4.已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A.(1，+∞) B．(－∞，3) C．(1，3) D．(－∞,－1)∪(3,+∞)参考答案：C由“”是真命题，则为真命题，也为真命题，若为真命题，则不等式恒成立，，∴．若为真命题，即，所以．即.故选C.5.已知直线（为参数）与圆（为参数），则直线的倾斜角及圆心的直角坐标分别是

A.

B.

C.

D.参考答案：C直线消去参数得直线方程为，所以斜率，即倾斜角为。圆的标准方程为，圆心坐标为，所以选C.6.已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时成立（其中的导函数），若，，则的大小关系是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.在三棱锥S-ABC中，底面△ABC是直角三角形，其斜边AB=4，平面ABC，且，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A.25π B.20π C.16π D.13π参考答案：A根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于，且是直角三角形，平面，长方体的对角线长为，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为，故选A.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.8.已知向量，若，则实数的值为（

）A．-5

B．

C．

D．5参考答案：D9.已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点F1关于双曲线渐近线的对称点P满足∠OPF2＝∠POF2（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：B10.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（） A．y=±2x B． y=±x C． y=±x D． y=±x参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于

参考答案：24由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图12.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：.则它们相交所得弦长等于_______.参考答案：略13.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间[－M,M]。例如，当，时，，。现有如下命题：①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；②函数的充要条件是有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且，，则④若函数

（，）有最大值，则。其中的真命题有__________________.（写出所有真命题的序号）参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．【答案解析】①③④解析：解：（1）对于命题①“”即函数值域为R，“，，”表示的是函数可以在R中任意取值，

故有：设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“，，”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．∴-≤≤．例如：函数满足-2＜＜5，则有-5≤≤5，此时，无最大值，无最小值．∴命题②“函数的充要条件是有最大值和最小值．”是假命题；

（3）对于命题③若函数，的定义域相同，且∈A，∈B，

则值域为R，∈（-∞，+∞），并且存在一个正数M，使得-≤g（x）≤．∴+∈R．则+?B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数（x＞-2，a∈R）有最大值，

∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，→+∞，∴→+∞，则→+∞．与题意不符；

假设a＜0，当x→-2时，→，→-∞，∴→+∞，则→+∞．与题意不符．∴a=0．

即函数=（x＞-2）

当x＞0时，x+≥2，∴，即0＜≤；

当x=0时，=0；

当x＜0时，x+≤?2，∴?≤＜0，即?≤＜0．

∴?≤≤．即．故命题④是真命题．

故答案为①③④．【思路点拨】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．14.设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的_________条件．参考答案：充要15.已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为

．参考答案：试题分析：解：，则，若直线对任意都不是曲线的切线，则直线的斜率为-1，与直线没有交点，又抛物线开口向上则必在直线的上面，即最小值大于直线斜率，当时取最小值，，解得，故实数的取值范围是．考点：1、导数的计算；2、导数的几何意义．16.已知是函数图象上的任意一点，该图象的两个端点，点满足，（其中是轴上的单位向量），若(为常数)在区间上恒成立，则称在区间上具有“性质”.现有函数：①;

②；

③；

④.则在区间上具有“性质”的函数为_____________.参考答案：①③④略17.已知函数，则满足不等式的的取值范围是

.参考答案：当时，函数，且单调递增。所以由可得或者，即或，所以或，即或，所以，即满足不等式的的取值范围是。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程；（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…19.某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πx

Asin（ωx+φ）05

﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）050﹣50且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．20.(12分)点是边长为的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角．（1）求的大小；（2）求二面角的余弦值．参考答案：（1）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则，．

因为二面角D－AC－B为直二面角，

又在中，，．．…..6分

（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．∴就是二面角的平面角．…..9分在RtEGM中，，，，∴,所以，二面角的余弦值为。…..12分略21.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图所示,为圆的切线,为切点,，的角平分线与和圆分别交于点和.（I）求证

（II）求的值.参考答案：（1）∵为圆的切线,又为公共角,……4分

（2）∵为圆的切线,是过点的割线,又∵又由（1）知,连接,则，

------10分22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（Ⅰ）写出曲线C1，C2的普通方程；（Ⅱ）过曲线C1的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线C2于A，B两点，求|AB|．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线C1，C2的普通方程；（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），将其代入曲线C2整理可得：，利用参数的几何运用求|AB|．