2019-2020学年广东省深圳市南山区八年级（上）期末数学试卷

2019-2020学年广东省深圳市南山区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共36分）

1.（3分）（2019秋•南山区期末）下列各数中，最小的是（）

A.0B.2C.-72D.-5/3

2.（3分）（2019秋•南山区期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角直角

三角形的是（）

A.3、4、5B.5、12、13C.9、14、15D.12、16、20

3.（3分）（2019•长沙）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成

绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能

否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

4.（3分）（2019秋•建平县期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（3,4）,点P

与点。关于y轴对称，则点。的坐标是（）

A.（3,4）B.（-3,4）C.（3,-4）D.（-3,-4）

5.（3分）（2020•五华区校级一模）估算加7+2的值是在（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

6.（3分）（2018•常德）若一次函数y=（A-2）x+l的函数值y随x的增大而增大，则（）

A.k<2B.k>2C.k>0D.k<0

7.（3分）（2019秋•南山区期末）如图，直线a,人被直线c所截，下列条件中，不能判定

a//b的是（）

a

X

A.N2=N5B.Z1=Z3C.Z5=Z4D.Zl+Z5=180°

8.（3分）（2019秋•大田县期末）如图，AB=4C,则数轴上点C所表示的数为（）

,人5」

-2-101C23’

A.Vs+lB.V5-1C.-Vs+lD.-V5-1

9.（3分）（2019秋•南山区期末）两条直线yi=or-8与”=bx-。在同一坐标系中的图象

可能是图中的（）

10.（3分）（2019秋•永安市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线A：y=x+3与直线/2：

交于点A（-1,b），则关于x、y的方程组］产'+3的解为（）

12.（3分）（2019秋•南山区期末）如图①，在正方形ABCO中，点P沿边D4从点。开始

向点A以lcm/s的速度移动，同时点Q沿边AB,BC从点A开始向点C以2cMs的速度

移动，当点P移动到点A时，P、。同时停止移动.设点P出发x秒时，△%。的面积

为"川，y与x的函数图象如图②，则下列四个结论，其中正确的有（）

①当点尸移动到点A时，点。移动到点C

②正方形边长为6cm

③当4P=4。时，△以。面积达到最大值

④线段EF所在的直线对应的函数关系式为y=-3x+18

二、填空题（每小题3分，共12分）

13.（3分）（2020•贵州三模）亚的平方根是.

14.（3分）（2020春•瑞安市期末）甲、乙两人各进行10次射击比赛，平均成绩均为9环，

方差分别是：S甲2=2,S乙2=%则射击成绩较稳定的是（选填“甲”或“乙”）.

15.（3分）（2008•临沂）已知x、y满足方程组则的值为_______.

{x+2y=4

16.（3分）（2019秋•南山区期末）如图,放置的△OABi,△B1A1B2,△BM2B3,…都是边

长为2的等边三角形，边40在），轴上，点Bi、82、83…都在直线y=&上，则点A2019

17.（7分）（2019秋•南山区期末）计算:

⑵％返._4加

Vs

（3）（V3-2）（后2）-|3^^--n°|-（-->''

3

18.（6分）（2019秋•南山区期末）解下列方程：

⑴-x-y=30

（x-2y=-10

三二1

（2）34.

,3x-4y=2

19.（6分）（2019秋•南山区期末）如图，已知点D,E分别是△ABC的边BA和BC延长线

上的点，作ND4c的平分线AF,若AF〃BC.

（1）求证：△A8C是等腰三角形；

（2）作NACE的平分线交4尸于点G,若NB=40°,求/AGC的度数.

D

20.（6分）（2019•双流区模拟）为了提高学生阅读能力，我区某校倡议八年级学生利用双

休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，

并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：

（1）将条形统计图补充完整；被调查的学生周末阅读时间众数是小时，中位数

是小时；

（2）计算被调查学生阅读时间的平均数；

（3）该校八年级共有500人，试估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数.

21.（9分）（2019秋•南山区期末）某水果店11月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，

其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克.12月份，这两种水果的进价上调为：甲

种水果10元/千克，乙种水果20元/千克.

（1）若该店12月份购进这两种水果的数量与11月份都相同，将多支付货款300元，求

该店11月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？

（2）若12月份将这两种水果进货总量减少到120千克，设购进甲种水果“千克，需要

支付的货款为卬元，求卬与a的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若甲种水果不超过90千克，则12月份该店需要支付这两种水

果的货款最少应是多少元？

22.（9分）（2019秋•南山区期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平

方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.

•特例感知

①等腰直角三角形勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；

②如图1,已知△48C为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是AB边上的高.若

BD=2AD=2,试求线段CO的长度.

■深入探究

如图2,已知aABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA>CB,CO是AB边上的

高.试探究线段4。与的数量关系，并给予证明；

•推广应用

如图3,等腰4ABC为勾股高三角形，其中AB=AC>BC,CO为AB边上的高，过点。

向8c边引平行线与AC边交于点E.若CE=a,试求线段OE的长度.

23.（9分）（2019秋•南山区期末）如图（1）,在平面直角坐标系中，直线），=-殳计4交坐

3

标轴于A、8两点，过点。（-4,0）作CO交48于。，交y轴于点且△COEd

BOA.

图(1)图⑵

(1)求8点坐标为；线段0A的长为；

(2)确定直线CD解析式，求出点。坐标；

(3)如图2,点M是线段CE上一动点(不与点C、£重合)，0NL0M交AB于点N,

连接MM

①点M移动过程中，线段0M与0N数量关系是否不变，并证明；

②当△0MN面积最小时，求点M的坐标和面积.

2019-2020学年广东省深圳市南山区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分）

1.（3分）（2019秋•南山区期末）下列各数中，最小的是（）

A.0B.2C.-A/2D.-V3

【考点】22：算术平方根；2A：实数大小比较.

【专题】511：实数；61：数感.

【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值

大的反而小，据此判断即可.

【解答】解：：-73<-V2<0<2,

.•.所给的各数中，最小的数是-我.

故选：D.

【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确:

正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小.

2.（3分）（2019秋•南山区期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角直角

三角形的是（）

A.3、4、5B.5、12、13C.9、14、15D.12、16、20

【考点】KS：勾股定理的逆定理.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；68：模型思想.

【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【解答】解：A、32+42=52,能组成直角三角形，故此选项不符合题意；

B、52+122=132,能组成直角三角形，故此选项不符合题意；

C、92+142^152,不能组成直角三角形，故此选项符合题意；

D,122+162=202,能组成直角三角形，故此选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角

形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

3.（3分）（2019•长沙）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，II名参赛同学的成

绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能

否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【考点】WA：统计量的选择.

【专题】542：统计的应用.

【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可.

【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，

故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.

故选：B.

【点评】本题考查了中位数意义.解题的关键是正确的求出这组数据的中位数.

4.（3分）（2019秋•建平县期末）在平面直角坐标系中，已知点尸的坐标是（3,4）,点P

与点。关于y轴对称，则点。的坐标是（）

A.（3,4）B.（-3,4）C.（3,-4）D.（-3,-4）

【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标.

【分析】根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案.

【解答】解：由题意，得

点P的坐标是（3,4）,点P与点。关于），轴对称，则点。的坐标是（-3,4）,

故选：B.

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标

规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐

标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

5.（3分）（2020•五华区校级一模）估算加7+2的值是在（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

【考点】2B：估算无理数的大小.

【专题】1：常规题型.

【分析】首先得出扬的取值范围，进而得出答案.

【解答】解：：每

-'-5<V27<6'

•••&V+2的值是在：7和8之间.

故选：C.

【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出最接近的有理数是解题关键.

6.（3分）（2018•常德）若一次函数y=（Z-2）x+l的函数值），随x的增大而增大，则（）

A.k<2B.k>2C.k>0D.k<G

【考点】F5：一次函数的性质.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】根据一次函数的性质，可得答案.

【解答】解：由题意，得

h2>0,

解得”>2,

故选：B.

【点评】本题考查了一次函数的性质，），=入+4当人>0时，函数值y随x的增大而增大.

7.（3分）（2019秋•南山区期末）如图，直线”，。被直线c所截，下列条件中，不能判定

a//h的是（）

A.N2=/5B.Z1-Z3C./5=/4D.Nl+/5=180°

【考点】J9：平行线的判定.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可.

【解答】解：；/2=/5,

：.a//b,

VZ4=Z5,

:.allb.

VZl+Z5=180°,

：.a//bf

故选：B.

【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

8.（3分）（2019秋•大田县期末）如图，AB=AC,则数轴上点C所表示的数为（)

C.-V^+iD.-V5-1

【分析】根据勾股定理列式求出4B的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答.

【解答】解：由勾股定理得，AB=6%»=遍,

•••点A表示的数是-1,

点C表示的数是依-1.

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴，是基础题，熟记定理并求出4B的长是解题

的关键.

9.（3分）（2019秋•南山区期末）两条直线yi=or-/?与*=6x-“在同一坐标系中的图象

可能是图中的（）

【考点】F3：一次函数的图象.

【专题】532：函数及其图像；67：推理能力.

【分析】根据一次函数图象的性质加以分析即可，一次项系数决定直线的走向，常数项

决定直线与y轴的交点位置.

【解答】解：根据一次函数的图象与性质分析如下：

A.y\=ax-h：a>0,bVO；yi=hx-a：〃V0,h<0.A错误；

B.y\=ax-b：4>0,Z?<0；yi=bx-a：a>0,Z?<0.B正确；

C.yi=(7x-b：a>0,Z?>0；yi—bx-a：a<0,b<0.C错误；

D.y\—ax-b：a>0,b>0；yi—bx-a-.a>0.b<0.。错误;

故选：B.

【点评】本题主要考查一次函数的图象与性质，需要注意的是，一般情况下一次函数解

析式往往是），=履+6的形式，而在本题中是类似于尸=丘-6的形式，因此，在判断两个

一次函数解析式中常数项的正负性时需多加注意.熟练掌握一次函数图象与性质是解决

此类问题的关键.

10.（3分）（2019秋•永安市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线/”）=x+3与直线/2：

y=,nr+〃交于点A（-1,b）,则关于x、y的方程组［丫=>+3的解为（）

【考点】FE：一次函数与二元一次方程（组）.

【分析】首先将点A的横坐标代入），=x+3求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解.

【解答】解：,直线/i：y=x+3与直线/2：y="?x+"交于点4（-1,b）,

，当冗=-1时，b=-1+3=2,

，点A的坐标为（-1,2）,

...关于X、y的方程组产X+3的解是［x=-l,

ty=mx+n［y=2

故选：C.

【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解

与函数图象的交点坐标的关系.

11.（3分）（2019秋•南山区期末）如图，把aABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示.若

NA=60°,Zl=85°,则N2的度数为()

B'

'E

-------------

A.24°B.25°C.30°D.35°

【考点】K7：三角形内角和定理；PB：翻折变换（折叠问题）.

【分析】首先根据三角形内角和定理可得//^尸+/4户为=120°,再根据邻补角的性质可

得NFEB+NEFC=360°-120°=240°,再根据由折叠可得：ZB'EF+ZEFC'=/

FEB+ZEFC^240Q,然后计算出/1+N2的度数，进而得到答案.

【解答】解：•••/4=60°,

AZAEF+ZAFE=ISO0-60°=120°,

；.NFEB+/EFC=360°-120°=240°,

:由折叠可得：ZB'EF+ZEFC=NFEB+NEFC=240°,

.,.Zl+Z2=240°-120°=120°,

VZ1=85°,

.\Z2=120°-85°=35°,

故选：D.

【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是根据题意得到翻折以后，哪些角是对应相等

的.

12.（3分）（2019秋•南山区期末）如图①，在正方形ABC。中，点尸沿边D4从点。开始

向点A以\cmls的速度移动，同时点Q沿边AB,BC从点A开始向点C以2cm/s的速度

移动，当点P移动到点A时，P、。同时停止移动.设点P出发x秒时，△玄。的面积

为层，y与x的函数图象如图②，则下列四个结论，其中正确的有（）

①当点P移动到点A时，点Q移动到点C

②正方形边长为6cm

③当AP=A。时，△外。面积达到最大值

④线段EF所在的直线对应的函数关系式为y=-3x+18

BC

D.4个

【考点】E7：动点问题的函数图象.

【专题】25：动点型；532：函数及其图像；67：推理能力.

［分析】①当点P移动到点A时-，点Q移动到点C

②正方形边长为6cm

③当。时，△以。面积达到最大值

④线段E尸所在的直线对应的函数关系式为y=-3x+18

【解答】解：①：点P沿边DA从点D开始向点A以\cmls的速度移动,

同时点。沿边A8,BC从点A开始向点C以2cmis的速度移动，

当点P移动到点4时，P、。同时停止移动.

当点P移动到点4时，点。移动到点C.

所以①正确；

②根据函数图象可知：

当AP=A。时，△勿。面积达到最大值正方形边长为6cm

当2Ap=4。时，△以。面积达到最大值为9,

设正方形的边长为“，

■:PD=x,贝ijAP=a-x,AQ=2x,

.".2Ca-x）—lx,解得x=_La,

2

即当x=L时，y=9,

2

22

-^—+J—=9

42

解得“=±6（-6舍去）

所以正方形的边长为6cvm

所以②正确；

③当2AP=AQ时，△附Q面积达到最大值，

所以③错误；

④；当x=3时，y—9,当x=6,时，y—0,

代入、=丘+人中，

解得k=-3,h=18,

所以线段EF所在的直线对应的函数关系式为y=-3x+18.

所以④正确.

所以正确的结论有3个.

故选：C.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合两个图形的关系进行

分析.

二、填空题（每小题3分，共12分）

13.（3分）（2020•贵州三模）病的平方根是±3.

【考点】21：平方根.

【分析】根据平方根、算术平方根的定义即可解决问题.

【解答】解：V781=9,9的平方根是±3,

的平方根是±3.

故答案为±3.

【点评】本题考查算术平方根、平方根的定义，解题的关键是记住平方根的定义，正数

有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0,负数没有平方根，属于基础题，中考

常考题型.

14.（3分）（2020春•瑞安市期末）甲、乙两人各进行10次射击比赛，平均成绩均为9环，

方差分别是：S甲2=2,S%2=4,则射击成绩较稳定的是甲（选填“甲”或“乙”）.

【考点】W7：方差.

【专题】I：常规题型.

【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越

小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

【解答】解：因为甲的方差最小，所以射击成绩较稳定的是甲；

故答案为：甲

【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表

明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组

数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

15.（3分）（2008•临沂）已知x、y满足方程组（2*切=5,则厂丫的值为1

[x+2y=4

【考点】98：解二元一次方程组.

【专题】36：整体思想.

【分析】一般解法是求得方程组的解，把x,y的值代入到代数式求值，但观察方程组未

知数的系数特点，把两方程分别看作整体，直接相减，即可求得x-y的值.

【解答】解：在方程组打哼中，

[x+2y=4

①-②得：x-y=l.

故答案为：1.

【点评】此题考查解二元一次方程组，注意此题的简便方法.

16.（3分）（2019秋•南山区期末）如图,放置的△OABi,△B1A1B2,△BM2B3,…都是边

长为2的等边三角形，边A。在y轴上，点劭、&、&…都在直线）=率：上，则点A2019

的坐标为（2019、耳，2021）.

【考点】D2：规律型：点的坐标；F8：一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】533：一次函数及其应用；66：运算能力；67：推理能力.

【分析】由己知分别求出A\（如,3）,B\（百，I）,B2（2«,2）,42（2如，4）,

&（373.3）,A2（3«,5）,…，B”（小后，〃），A”（〃«,〃+2）,找到规律即可求解.

【解答】解：..•边长为2的等边三角形，

（0,2）,

•.•直线

3

：.B\（如，I）,

曲」x轴，

；.Ai（我，3）,

同理可求：&（2愿，2）,A2（2愿，4）,&（3«,3）,A2（3日，5）,…，Bn3啦,

"）,An（"J^,n+2）,

.•.点42019的坐标为（2019时,2021）,

故答案为（2019我，2021）.

【点评】本题考查一次函数和点的坐标规律；理解题意，结合一次函数的图象与正三角

形的特点，得到点的坐标规律是解题的关键.

三、解答题（共52分）

17.（7分）（2019秋•南山区期末）计算：

⑴g-后需

⑵病*-4加

圾

⑶（V3-2）（后2）-|3^^-n°|-（-A）

3

【考点】2C：实数的运算；4F：平方差公式；6E：零指数累；6F：负整数指数基.

【专题】514：二次根式；66：运算能力.

【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案.

（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案.

（3）根据二次根式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：（1）原式=2次-后返=2返.

__33

（2）原式=§近乂3^-4&

2V2

=]0匠4加

=6&.

（3）原式=3-4-|-3-1|-（-3）

=-1-4+3

=-2.

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基

础题型.

18.（6分）（2019秋•南山区期末）解下列方程:

⑴14x-y=30

（x-2y=-10

3x-4y=2

【考点】98：解二元一次方程组.

【专题】11：计算题；521：一次方程（组）及应用.

【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；

（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可.

【解答】⑴华-丫=30①

lx-2y=-10②

解：①X2-②得7x=70,

解得：x=10,

将x=10代入②得10-2y=-10,

解得：y=10,

则原方程组的解为［x=l°：

ly=10

（2）方程组整理得：［4x-3y=12①，

3x-4y=2②

解：①X4-②X3得7x=42,

解得：x=6,

把x=6代入①得：y=4,

则方程组的解为［x=6.

ly=4

【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知

数系数化为1,求出解.

19.（6分）（2019秋•南山区期末）如图，已知点。，E分别是△48C的边BA和8c延长线

上的点，作ND4c的平分线A尸，若A尸〃BC.

（1）求证：AABC是等腰三角形；

（2）作NACE的平分线交4F于点G,若/3=40°,求NAGC的度数.

【考点】JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】（1）根据角平分线定义得到ND4F=NCAF,根据平行线的性质得到/D4^=

ZB,ZCAF^ZACB,于是得到结论：

（2）根据三角形的内角和得到N8AC=100°,由三角形的外角的性质得到NACE=/

BAC+NB=140。，根据角平分线定义得到NACG=1N4CE=70°,根据平行线的性质

即可得到结论.

【解答】（1）证明：：AF平分/D4C,

：.ZDAF^ZCAF,

'CAF//BC,

:・/DAF=NB,ZCAF=ZACB,

:・/B=/ACB,

•••△ABC是等腰三角形；

（2）解：VAB=AC,ZB=40°,

AZACB=ZB=40°,

：.ZBAC=\OO°,

ZACE=ZBAC+ZB=140°,

YCG平分NACE,

•••NACG=]NACE=70。，

\'AF//BC,

：.ZAGC=180°-ZBCG=180°-40°-70°=70°.

D

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练

掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键.

20.（6分）（2019•双流区模拟）为了提高学生阅读能力，我区某校倡议八年级学生利用双

休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，

并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：

（1）将条形统计图补充完整；被调杳的学生周末阅读时间众数是1.5小时,中位数是

1.5小时；

(2)计算被调查学生阅读时间的平均数；

(3)该校八年级共有500人，试估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数.

【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；

W5：众数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】(1)根据统计图可以求得本次调查的学生数，从而可以求得阅读时间1.5小时的

学生数，进而可以已将条形统计图补充完整；由补全的条形统计图可以得到抽查的学生

阅读时间的众数、中位数.

(2)根据补全的条形统计图可以求得所有被调查同学的平均阅读时间.

(3)用总人数乘以样本中周末阅读时间不低于1.5小时的人数占总人数的比例即可得.

【解答】解：(1)由题意可得，本次调查的学生数为：30+30%=100,

阅读时间1.5小时的学生数为：100-12-30-18=40,

由补全的条形统计图可知，抽查的学生阅读时间的众数是1.5小时，中位数是1.5小时,

故答案为：1.5,1.5；

（2）所有被调查同学的阅读劳动时间为：-1_X（12XO.5+3OX1+40X1.5+18X2）=

100

L32小时,

即所有被调查同学的平均阅读时间为1.32小时.

（3）估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数为500*义±坦=29（）（人）.

100

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、中位数、众数，解题的关键

是明确题意，利用数形结合的思想解答问题.

21.（9分）（2019秋•南山区期末）某水果店11月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，

其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克.12月份，这两种水果的进价上调为：甲

种水果10元/千克，乙种水果20元/千克.

（1）若该店12月份购进这两种水果的数量与11月份都相同，将多支付货款300元，求

该店11月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？

（2）若12月份将这两种水果进货总量减少到120千克，设购进甲种水果“千克，需要

支付的货款为w元，求卬与“的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若甲种水果不超过90千克，则12月份该店需要支付这两种水

果的货款最少应是多少元？

【考点】CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用.

【专题】521：一次方程（组）及应用;533：一次函数及其应用.

【分析】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价=单

价义购进数量，即可得出关于腔y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120-.）千克,

根据总价=单价X购进数量，即可得出w关于a的函数关系式；

（3）根据甲种水果不超过90千克，可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可

解决最值问题.

【解答】解：（1）设该店11月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，

根据题意得：俨+1断17°°,

110x+20y=1700+300

解得（x=100,

ly=50

答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克；

（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120-a）千克,

根据题意得：w=10a+20(120-a)=-10a+2400；

（3）根据题意得，a<90,由（2）得，w=-10a+2400,

V-10<0,卬随a的增大而减小，

.•.a=90时，w有最小值卬显小=-10X90+2400=1500（元）.

答：12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）

找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a

的函数关系式.

22.（9分）（2019秋•南山区期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平

方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.

•特例感知

①等腰直角三角形是勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）：

②如图1,已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，以》是AB边上的高.若

80=240=2,试求线段CO的长度.

•深入探究

如图2,已知△A8C为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且C4>C2,CO是A8边上的

高.试探究线段AD与C8的数量关系，并给予证明；

■推广应用

如图3,等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB=AC>BC,CO为AB边上的高，过点。

向8c边引平行线与AC边交于点E.若CE=a,试求线段OE的长度.

【考点】KY：三角形综合题.

【专题】2：创新题型.

【分析】•特例感知：①根据勾股高三角形的定义即可判断；

②如图1,根据勾股定理可得：CB2=C£>2+4,CA2=CD2+],于是CO2=(CD2+4)-

(CO2+1)=3,即可解决问题；

•深入探究：由C82=CZ)2可得：CA2-CD2^CB2,而CA?-。£>2=4。2,即可推

出A£>2=CB2；

•推广应用：过点A向E£>引垂线，垂足为G,只要证明△4GD也ACOB(A45),即可

解决问题；

【解答】解：•特例感知：

①一等腰直角三角形是勾股高三角形.

故答案为是.

②如图1中，根据勾股定理可得：CB2=CD2+4,CA2=CD2+1,

于是C£>2=(C£>2+4)-(CD2+1)=3,

.*.CD=V3.

■深入探究：

如图2中，由CA?-CB2=CD2可得：CA1-CD2=CB2,而CA2-CD2=AD2,

.\AD2=CB2,

即AQ=CB；

・推广应用：

过点A向引垂线，垂足为G,

:“勾股高三角形"ZiABC为等腰三角形，S.AB=AC>BC,

只能是AC?-BC2=CD2,由上问可知AD=BC①.

又ED"BC,：.Z\=ZB...②.

而/AGO=/CZ)B=90°...③，

A/XAGD^^CDB(A4S),

：.DG=BD.

易知△4OE与aABC均为等腰三角形，

根据三线合一原理可知ED=2DG=2BD.

又AB=ACfAD=AE,

***BD=EC=a,

:,ED=2a.

【点评】本题考查三角形综合题、勾股定理、全等三角形的判定和性质、勾股高三角形

的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题

目.

23.（9分）（2019秋•南山区期末）如图（1）,在平面直角坐标系中，直线y=-£+4交坐

3

标轴于A、8两点，过点C（-4,0）作CD交A3于。，交y轴于点£且△COEgA

BOA.

（1）求B点坐标为（0,4）；线段OA的长为3；

（2）确定直线CD解析式，求出点。坐标；

（3）如图2,点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ONLOM交AB于点、N,

连接MN.

①点M移动过程中，线段OM与。N数量关系是否不变，并证明;

②当△OMN面积最小时，求点M的坐标和△OMN面积.

【考点】FI：一次函数综合题.

【专题】15：综合题；533：一次函数及其应用；537：函数的综合应用；67：推理能力.

【分析】（1）根据直线y=-幺+4交坐标轴于A、B两点，点A在x轴上，点8在y轴

3

上，可以求得点8的坐标和0A的长；

（2）根据△COE丝△804,可以得到0E=04,再根据点4的坐标可以的大点E的坐标

即可求得直线CE的解析式，然后与直线y=-£+4联立方程组，即可求得点D的坐标;

3

（3）①根据题目中的条件，可以证明△OMEgaONA,即可得到0M和ON的数量关

系；

②要求△0MN面积最小值，由0M=0MOMA.ON,可知当0M取得最小值时即可，

当OMLCE时，。例取得最小值，然后根据勾股定理和等积法可以求得0M的长，即可

求得点M的坐标，本题得以解决.

【解答】解：（1）•・•直线y=-&+4交坐标轴于A、B两点,

3

工当y=0时，x=3,当x=0时，y=4,

・••点A的坐标为（3,0）,点3的坐标为（0,4）,

・・・OA=3；

故答案为：（0,4）,3；

（2）•・•过点C（-4,0）作CD交A3于。，交y轴于点£且△COE丝△304,

・・・OC=4,OC=OB,OE=OA,

•・•点A（3,0）,

：.OA=3f

：.OE=3,

・••点E的坐标为（0,3）,

设过点。（-4,0）,点E（0,3）的直线解析式为》=自+4

（3

14k+b=0,得也

Ib=3|b=3

直线CE的解析式为>=当+3,

4

即直线CD的解析式为y=Zr+3,

312

yqx+3x在

由《,得<

4,_84‘

y==+4

Oy25

即点。的坐标为（丝，丝）；

2525

（3）①线段与ON数量关系是OM=ON保持不变,

证明：•.,△COE丝△BOA,

：.OE=OA,N0EM=40AN,

•.'/BOA=90°,0N10M,

:.NMON=NBOA=90°,

NMOE+NEON=ZEON+ZNOA,

：.4M0E=4N0A,

在△MOE和△NOA中，

"ZM0E=ZN0A

<OE=OA，

,Z0EM=Z0AN

:.△MOEQXNOA（SAS）,

OM=ON,

即线段OM与。N数量关系是OM=ON保持不变;

②由①知0M=0N,

：OM_LOM

9

...△OMN面积是：OM»ON=OM）

22

.•.当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值,

VOC=4,OE=3,ZCOE=90°,

：.CE=5,

•..当OM_LCE时，OM取得最小值，

,•--O-M---C-E-=-O-C-'-O-E-,

22

•.--0-M--X--5-=4X3，

22

解得，OM=丝，

5

（£）2

...△OMN面积取得最小值是：二——=』2,

225

当取得最小值时，设此时点M的坐标为（a,&«+3）,

4

入2+（%3）2=（卷产，

解得，“=-36,

25

.•&+3=组

425

...点M的坐标为（/0,至），

2525

由上可得，当△OMN面积最小时，点M的坐标是（/殳，望）和△OMN面积是22

252525

【点评】本题是一道一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积的最值、

勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性

质和数形结合的思想解答.

考点卡片

1.平方根

(1)定义：如果一个数的平方等于“，这个数就叫做。的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

(2)求一个数“的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数。的正的平方根表示为“«”，负的平方根表示为“

正数a的正的平方根，叫做〃的算术平方根，记作4.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

I.平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0;负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，

0的立方根是0.

2.算术平方根

(1)算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于"，即那么这个正数

x叫做a的算术平方根.记为4.

(2)非负数a的算术平方根。有双重非负性：①被开方数4是非负数；②算术平方根。本

身是非负数.

(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

3.实数与数轴

(1)实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴

上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.

(2)在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数«

的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

(3)利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左

边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

4.实数大小比较

实数大小比较

（1）任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负

实数，两个负实数绝对值大的反而小.

（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比

左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

5.估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法.

思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值.

6.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

I.运算法则：乘方和开方运算、睡的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

7.平方差公式

（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

（a+b）（a-/＞）=a2-b2

（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数：

②右边是相同项的平方