专题14 图形的相似 综合检测过关卷（解析版）

专题14图形的相似综合过关检测（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分）1．下列四条线段中，不是成比例线段的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查线段成比例的知识，可以根据定义判定，也可以计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．【详解】解：A、，，，故四条线段是成比例线段，不符合题意；B、，，，故四条线段是成比例线段，不符合题意；C、，，，故四条线段不是成比例线段，符合题意；D、，，，故四条线段是成比例线段，不符合题意．故选：C．2．在比例尺为的地图上量得两地的图上距离，则两地的实际距离为（

）mA． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了比例尺，根据比例尺等于图上距离除以实际距离，那么用图上距离除以比例尺即可求出实际距离，据此求解即可．【详解】解：，故选B．3．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．设雕像的下部高为，由黄金分割的定义可列出等式求解即可．【详解】解：设雕像的下部高为，雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为，即该雕像的下部设计高度约是，故选B．4．如图，正五边形的几条对角线的交点分别为，它们分别是所在对角线的黄金分割点．若，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，首先根据正五边形的相关性质判定四边形为平行四边形，进而求出的长度，再根据黄金分割点进行计算即可得到的长.黄金分割点等相关内容，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键【详解】解：∵五边形为正五边形∴，,∴同理可得∴∵∴同理可证明∴四边形为平行四边形∴,，同理：，∵、为的黄金分割点∴，∴，∴，故选：A．5．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握，计算即可．【详解】解：设，四边形是正方形，，矩形是黄金矩形，，，解得：，经检验：是原方程的根，，故选：D．6．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（）

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根据等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；三角形相似的判定，勾股定理证明判断即可．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，故①正确；∵是等边三角形，∴，，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，故②正确；∵，∴，∵，∴，∵，∴，故④正确；在中，，∴，，∴，故③错误；设，则，根据勾股定理得：，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故⑤正确．综上分析可知，正确的结论有4个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键．7．如图，的边上有两点、，且是正三角形，则下列条件不一定能使与相似的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由是正三角形，所以，，再根据相似三角形的判定方法逐项分析即可．【详解】解：∵是正三角形，∴，∴选项A，当时，，∵，∴，∴，选项C，由，∴∵∴又∵，∴，选项D，由，，∴，∵∴，选项B条件不足以证明与，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和等边三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是关键．8．如图，，则图中相似三角形共有（

）对．

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】因为是公共角，，所以可得；易得，所以，可得；所以共有4对．【详解】∵∴，∴，∴；∴共有4对．故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定：有两组对应角相等的三角形相似．9．如图，平行四边形，是延长线上的一点．交、于点、，则图中相似三角形共有（

）

A．对 B．对 C．对 D．对【答案】B【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．【详解】解：四边形为平行四边形，，，由，得：，，由，得：，，，四边形为平行四边形，是对角线，，，综上所述，相似三角形有共有对，故选：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，注意找全相似三角形是解答本题的关键．10．如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么的积等于（

）A．4 B．1 C． D．【答案】B【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，设的重心是，连接，延长交于，由三角形的重心的性质可得，再结合矩形的性质和平行线分线段成比例及余角的性质证明，即可推出．【详解】解：设的重心是，连接，延长交于，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故选：B．二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分）11．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．如图所示的五角星中，，且C，D两点都是AB的黄金分割点，若，则的长是．【答案】【分析】本题主要考查了黄金分割点，在C，D两点中任意选一个黄金分割点，选C为黄金分割点时，根据黄金分割点的定义得出，设，则，列出关于x的一元二次方程求解x，进而即可求出．【详解】解：根据题意得：∵C点是的黄金分割点，∴,即，∵，∴设，则，∴，整理得：，解得：,∴，（舍去）．∴.故答案为：．12．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对折后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB=．【答案】或2【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，进行计算即可求解．【详解】∵ABFE是正方形，∴AB=EF=AE，∵矩形GFCH和矩形EGHD全等，∴EG=DH=GF=HC，设ED=，EG=，∴AD=，AB=，∵矩形ABCD和矩形EGHD相似，∴或，①当时，∴，解得：，∴AD：AB=，②当时，，解得：，∴AD：AB=，故答案为：2或．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键．13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，，为小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是．【答案】【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用两边比值以及夹角相等的两个三角形相似即可证明．【详解】解：，由题意可知：，，∴，，∵，∴，故答案为：．14．如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有．【答案】乙和丁【详解】．【易错点分析】容易误认为，条件中，是，是，不是两个三角形的对应边成比例，所以不能判定．15．如图，点P是矩形边上的任意一点（不包括点），点分别是的重心，若矩形的面积是8，则的面积是．【答案】【分析】本题考查了三角形重心的性质，掌握三角形重心的性质是解题的关键．连接并延长交于点，连接并延长交于点，交于点，双向延长，分别交于点，根据三角形的重心的性质得出：的底为，高为，进而即可求解．【详解】解：连接并延长交于点，，连接并延长交于点，交于点，双向延长，分别交于点，如图，∵点分别是的重心，同理可得：，∴的底为，高为，设，∵矩形的面积是8，∴．∴的面积．故答案为：．16．如图，在中，，点是的重心，联结，如果，那么的余切值为．【答案】【分析】延长交于F，过G作于G，直线交于E，证明，得，同理可得，即有，根据G为的重心，，得，设，根据勾股定理列式计算可得答案．【详解】解：过G作于G，延长交于点，如图：∵，∴，，∵，∴，∴，∵G为的重心，∴，∵，∴，∴，则在直角三角形中，，故答案为：【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．17．如图，在中，是边上的中线，为的重心，过点作交于点，那么的面积是．【答案】/【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据中线分出的两个三角形的面积相等得到，然后根据平行得到，进而得到计算是解题的关键．【详解】解：∵是边上的中线，∴，又∵为的重心，，∴，∴，∴，故答案为：．18．已知中，，中线交于点，，，则．【答案】【分析】根据题意利用三角形重心的性质求出，再利用相似三角形判定得到，再利用相似三角形性质即可得到本题答案．【详解】解：∵中，，中线交于点，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴解得：，故答案为：．【点睛】本题考查三角形重心问题，相似三角形判定及性质，直接开方法解一元二次方程．19．如图，的中线和中线相交于点G，如果，那么图中阴影部分的面积是．【答案】4【分析】本题主要考查了重心的性质、三角形面积的计算；熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键．根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，即可得出结果．【详解】解：连接并延长交于，则为的中线，的三条中线、，交于点，，，，，，．故答案为：4．20．如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为m，树的顶端在水中的倒影距自己m远，淇淇的身高为m，则树高为m．

【答案】【分析】本题考查相似三角形的应用，由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，可得两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：如图所示：

∵入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴树高为m．故答案为：三、解答题（本题共3题，共40分）21(12分)．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．(1)黄金矩形的长；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接，求点到线段的距离．【答案】(1)(2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析(3)点D到线段AE的距离为【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．（1）根据，，即可求解；（2）先求出，再求出的值，即可得出结论；（3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，故答案为：；（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：由（1）知，∴，∴，故矩形为黄金矩形；（3）解：连接，，过D作于点G∵，，∴，在中，，即，则，解得，∴点D到线段的距离为．22（14分）．如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处．(1)求证：点恰为线段的黄金分割点；(2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键．（1）先运用勾股定理得到，然后在和中，运用解题计算即可证明；（2）先对折矩形，然后再折叠，使得点落在第一次的折痕上，即可得到角．【详解】（1）证明：如图，连接，设正方形的边长为，则．在中，，则．设，则，在和中，有，即，解得，即点P是的黄金分割点()；（2）方法如图所示:第一步：对折矩形纸片ABCD,使与重合，得到折痕，把纸片展平；第二步：再一次折叠纸片，使点