专题13 特殊的四边形（讲义）（原卷版）

专题13特殊的四边形核心知识点精讲1.会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.中心、轴对称图形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．

图1图2图3图4图5

【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【题型1：矩形的应用】【典例1】如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在内部．若，且，则的度数为（

）A． B． C． D．1．如图，矩形纸片中，，．现将其沿对折，使得点在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（

）A． B． C． D．2．如图，现有一张矩形纸片，其中，点E是的中点．将纸片沿直线折叠，使点B落在点，则，C两点之间的距离是（

）A． B． C． D．3．如图，在中，，，连接，相交于点，为的中点，若，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．4．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，则的度数是（

）A． B． C． D．【题型2：菱形的应用】【典例2】已知如图，菱形中，对角线与相交于点O，于E，交于点F，若，则一定等于（

）A． B． C． D．1．如图，菱形中，，，，，垂足分别为E、F．则的周长是（

）

A． B． C． D．2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，固定点，把菱形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，若，，则点的坐标为（

）

A． B． C． D．3．如图，四边形是菱形，连接交于点O，过点A作，交于点E，若，则的长度是（

）A． B． C． D．4．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则的长为（

）A． B．2 C． D．【题型3：正方形的应用】【典例3】如图，在边长为8的正方形纸片中，E是边上的一点，，连接，将正方形纸片折叠，使点D落在线段上的点G处，折痕为，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．51．如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（

）A．3 B．6 C． D．2．如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是（

）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，将一张边长为6分米的正方形纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平后在上找一点G，将该纸片沿着折叠，使点C恰好落在上，记为点，则的长为（）

A．5.5分米 B．分米C．分米 D．分米4．如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿折叠至，延长交于点，连接，，则的面积为（

）A．2 B． C． D．【题型4：梯形的应用】【典例4】如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝（）A． B． C． D．1．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，BC=，∠B=45°．直角三角板含45度角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于．2．如图，梯形中，ABCD，，，于，且，那么梯形的周长为，面积为．3．如图，在中，于点，分别为的中点．，则的周长是．1．如图，在菱形中，，对角线，相交于点，以，为边作矩形，则的度数为（

）A． B． C． D．2．河南省博物院镇馆之宝之一的云纹铜禁是由禁体和12条龙形附兽、12条龙形座兽组成．禁体从上面看为一个矩形（如图2所示）．这个矩形的对角线与交于点O，则下列说法一定正确的是（

）A． B．矩形既是轴对称图形也是中心对称图形C． D．3．如图，长方形中，，，点是边上的动点，现将沿直线折叠，使点落在点处，则点到点的最短距离为（

）A．5 B．4 C．3 D．24．如图，矩形的对角线与相交于点O，，，则等于（

）

A．4 B．5 C．10 D．81．如图，已知点D，E，F分别是的中点，的周长为，则的周长是（

）A．6 B．7 C．8 D．2．在如图所示的中，点D，E在边AB上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则的周长为（

）A．10 B．12 C．18 D．203．在中，已知点D、E、F分别是的中点，且，则（）．A． B． C． D．4．如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为（）A．4 B．5 C．6 D．85．如图，是的中位线，点F是的中点，的延长线交于点G，若的面积为2，则的面积为（

）

A．18 B．16 C．14 D．12二、填空题6．如图直角梯形中，，，，，，，则的面积为．

7．如图，矩形纸片中，，，点、分别在、上，将、分别沿、翻折，翻折后点与点重合，点与点重合当、、、四点在同一直线上时，线段长为．8．如图，在一张矩形纸片中，点分别在上，将纸片沿直线折叠，点落在上的点处，点落在点处，连接，．若，则．9．如图，为长方形纸片的边上一点，将，分别沿，向上折叠，点落在点处，点恰好落在边上的处，．下列说法：；；若平分，则；若，则．其中一定正确的结论有（填序号即可）．10．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为．11．如图，矩形纸片的对角线，相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边上，则的长为．

12．如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为．13．如图菱形的边长为4，，将菱形沿折叠，顶点C恰好落在边的中点G处，则．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C，则k的值为8，菱形OABC的面积为．15．如图，在菱形中，对角线和的长分别是和，以为斜边向菱形外作等腰直角三角形，连接，则的长是．16．如图，矩形中，，，过对角线的中点的直线分别交，边于点，.当四边形是菱形时，则的长为.17．如图，在菱形中，，则菱形的高．

18．如图，点A在双曲线（，）上，点B在直线l：上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，则k的值为．

19．如图，在菱形中，点分别在边上，，则的长为．20．已知，如图，菱形的边长为2，，将菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为.

21．如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为．

22．如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，求折痕．

23．小贤家有一个中国结挂饰，他利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，．若过点O的直线交边，于点E，F，则的长为cm．

三、解答题24．如图1，已知为等边三角形，点D和E分别是直线和边上的动点，连接和相交于点F．(1)如图1，点E为中点，点D为三等分点且，若，求；(2)如图2，已知，点H为中点，连接交于点Q，连接并延长交于点M，若，探究之间的数量关系并说明理由；25．如图1所示：在中，点D、E分别是AB，AC的中点，(1)直接写出DE与BC之间的关系：________________．理由：____________________________．(2)如图2，点D、E、F分别是三边中点，图中有______个平行四边形，求证：；(3)如图3，点P、Q、R、S分别是四边形ABCD的中点，问题1，图中是否有平行四边形，有请指出并证明你所指出的四边形是平行四边形．问题2、猜想四边形ABCD和四边形PQRS之间的面积关系．并证明你的猜想．1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是(

)

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，163．（202