广东省广州市天河区新都学校2022-2023学年八下期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广州市新都学校八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.任何实数【答案】B【解析】【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得：，解得：，故选：．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．2.在平行四边形中，的结果可能是（）A.1：3：1：3 B.1：3：3：1 C.1：1：3：3 D.1：2：3：4【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的对角相等，容易得出结论．【详解】解：四边形是平行四边形，，，A选项符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．3.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的加减法和乘法，二次根式的性质分别计算即可判断．【详解】解：A．与不能合并，故错误，不符合题意；B．，故错误，不符合题意；C．，故错误，符合题意；D．，故正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的加减法和乘法，二次根式的性质，熟练掌握相应的运算法则是解决问题的关键．4.下列式子中，属于最简二次根式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．5.点（3,-1）到原点的距离为（）A. B.3 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】直接利用两点间的距离公式计算即可．【详解】解：点（3，-1）到原点的距离=．

故选D．【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=.6.如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝3，BO＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C．则OC的长为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理求出AB，结合题意可得AC=5，从而求出结论．【详解】解：∵AO⊥OB，线段AO＝3，BO＝4，∴在Rt△AOB中，AB==5，由题意可知：AC=AB=5，∴OC=AC－AO=2，故选择D．【点睛】此题考查的是勾股定理，垂线定义，线段和差，掌握利用勾股定理解直角三角形是解题关键．7.某车间20名工人日加工零件数如表所示：日加工零件数45678人数26543这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是（）A.5、6 B.5、5 C.6、5 D.6、6【答案】A【解析】【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得．【详解】解：因为5出现的次数最多，所以众数是5，将这组数据按从小到大进行排序后，第9个数和第10个数的平均数即为中位数，所以中位数是，故选：A．【点睛】本题考查了众数和中位数，熟记定义是解题关键．8.如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，AB=3，AD=5，则EF的长为（）A.1 B.1.5 C.2 D.2.5【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知∠AEB＝∠EBC，又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE＝3，同理可证FD＝3，继而可求得EF＝AE+DE﹣AD．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3，同理可证：DF＝DC＝AB＝3，则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．9.如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于的方程的解为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，两函数图象交点的横坐标就是关于x的方程的解．【详解】解：当时，，解得，则，当时，，关于的方程的解为，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图形找出两函数图象交点的横坐标是解题的关键．10.如图，M、N是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点E，连接交于点F，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值是（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据正方形的性质证明≌，可得，再证明≌，可得，然后说明，再取的中点O，连接、，可求，根据勾股定理求出，最后根据三角形的三边关系，可知当O、F、C三点共线时，的长度最小，进而求出答案．【详解】在正方形中，，，，在和中，，∴≌（HL），∴，在和中，，∴≌（SAS），∴，∴.∵，∴，∴.取的中点O，连接、，则，在中，，根据三角形的三边关系，，∴当O、F、C三点共线时，的长度最小，最小值．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等，确定最小值的位置是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11.计算：___．【答案】【解析】【详解】解：根据二次根式的乘法法则计算：．故答案为：．12.命题“对角线相等的四边形是矩形”的逆命题是_____________．【答案】矩形的对角线相等【解析】【分析】根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，原命题的条件是对角线相等，结论是矩形，互换即可得解.【详解】原命题的条件是：对角线相等的四边形，结论是：矩形；则逆命题为矩形的对角线相等.【点睛】此题主要考查对逆命题的理解，熟练掌握，即可解题.13.在中，，则的面积等于___________．【答案】30【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再利用面积公式求解．【详解】解：，，，即，为直角三角形，直角边为，，根据三角形的面积公式有：故答案为：30．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，需要学生利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形的和直角三角形的面积公式结合求解．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．14.已知平行四边形ABCD的周长是18，若△ABC的周长是14，则对角线AC的长是______．【答案】5【解析】【详解】∵平行四边形ABCD的周长是18，∴AB+BC=18÷2=9，∵△ABC的周长是14，∴AC=14-（AB+AC）=5，故答案为5．15.如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时,∠BAE的大小可以是__．【答案】15°或165°【解析】【分析】利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性质和已知条件即可求出当BE=DF时，∠BAE的大小，应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．【详解】解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，∴，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠FAD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAE=30°，∴∠BAE=∠FAD=15°，②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．如图2，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，∴，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠FAD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAE=360°﹣60=300°，∴∠BAE=∠FAD=165°故答案为15°或165°．16.观察下列式子：；；；…，根据此规律，若，则的值为______．【答案】181【解析】【分析】由，，，可得，还发现每个式子的两个因数是连续的整数，可得：，利用完全平方公式变形，代入计算即可得解．【详解】解：由题意得，，∴，∴，∴．故答案为：181．【点睛】此题考查了数字类的变化规律题，还考查了完全平方公式，认真观察已知条件，总结规律是解题的关键．三．解答题（共9小题，满分72分）17.计算（1）；（2）．【答案】（1）0（2）3【解析】【分析】（1）化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）按照二次根式的乘除法则进行即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．【点睛】本题考查了二次根式的运算，涉及二次根式的加减混合运算、乘除混合运算，掌握运算法则是关键．18.先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．19.某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮次，现对甲、乙两名队员在五天中投进球的个数统计如表：甲乙参考公式：（1）求甲、乙两名队员投进球个数的平均数；（2）如果从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选哪名队员？请说明理由．【答案】（1）甲的平均数为，乙的平均数为；（2）选择乙参加比赛，理由是乙的方差较小，稳定性更好；【解析】【分析】（1）根据平均数的定义及平均数的计算公式即可解答；（2）根据方差的定义及方差的计算公式得到乙的方差小于甲的方差，方差越小波动越小进行解答；【小问1详解】解：根据题意可得，甲的平均数为，乙平均数为，答：甲、乙两名队员投进球个数的平均数都为；【小问2详解】解：由（1）可知甲、乙两名队员投进球个数的平均数为；∴甲的方差为，乙的方差为，∴，∴乙的波动较小，乙的稳定性比甲的稳定性高，∴应该选择乙去参加定点投篮比赛．【点睛】本题考查了方差的定义，平均数的定义，方差和平均数的计算公式，理解方差的定义及平均数的定义是解题的关键．20.已知一次函数．（1）若该函数的图像经过点，求的值；（2）若它的图像与两条坐标轴围成的图形的面积等于9，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将点代入求解即可；（2）用表示一次函数与坐标轴的交点，根据横纵坐标的绝对值积的一半为9，列式计算即可．【小问1详解】解：将点代入得，解得：；【小问2详解】解：令，则，一次函数与轴的交点坐标为，令，则，解得：，一次函数与轴的交点坐标为，，解得：．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形的面积，能够表示出直线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．21.如图，已知在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E、F是对角线BD上两点，且BE=DF．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再证△ABE≌△CDF，即可证明AE=CF．【详解】证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴ABCD．∴∠ABE=∠CDF．又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）．∴AE=CF．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．22.（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，①作线段的垂直平分线交于点；②连接并延长，在延长线上截取；③连接，．（2）证明所作的四边形是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）按作线段垂直平分线的步骤进行，再按题意进行即可；（2）由直角三角形斜边上中线的性质可得，再由矩形的判定即可得证．【详解】（1）解：所作的图如下：（2）由作法知，点O是的中点，即，又，∴四边形是平行四边形又∵，∴，∵，∴∴平行四边形是矩形．【点睛】本题考查了作图：作线段的垂直平分线，直角三角形斜边上的中线性质，矩形的判定等知识，把握矩形的判定的关键．23.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；（2）求线段CD对应的函数表达式；（3）在轿车行进过程，轿车行驶小时，两车相距15千米．【答案】（1）轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；（2）线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；（3）在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．【解析】【分析】（1）由图象易得货车的速度为60千米/小时，然后问题可求解；（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，然后把点C（2.5，80），点D（4.5，300）代入求解即可；（3）由题意易得当x＝2.5时，两车之间的距离为70千米，由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，然后可得|60x﹣（110x﹣195）|＝15，进而问题可求解．【小问1详解】解：由图象可得，货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；【小问2详解】解：设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），∴，解得，即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；【小问3详解】解：当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，∵70＞15，∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，解得x＝3.6或x＝4.2，∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，答：轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．24.我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．（1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是（填序号）；（2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．①求证：四边形是“神奇四边形”；②如图2，点M、N、P、Q分别是、、、的中点．试判断四边形是不是“神奇四边形”；（3）如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长．【答案】（1）④（2）①见解析；②四边形是“神奇四边形”，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论；（2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出，，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论；（3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题．【小问1详解】平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形是“神奇四边形”，故答案为：；小问2详解】①证明：四边形是正方形，，，，，，在和中，，，，又，四边形是“神奇四边形”；四边形是“神奇四边形”，理由如下：，为，的中点，为的中位线，，，同理：，，，，，，，，四边形为平行四边形，，，平行四边形为菱形，，，，，，四边形为正方形，四边形是“神奇四边形”；【小问3详解】如图，延长交于S，由翻折的性质可知，，，，，四边形是正方形，边长