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文档简介

陕西省咸阳市礼泉县2024年高考临考冲刺数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知是偶函数,在上单调递减,,则的解集是A. B.C. D.2.《九章算术》中记载,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵中,,,当阳马体积的最大值为时,堑堵的外接球的体积为()A. B. C. D.3.方程在区间内的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.104.已知无穷等比数列的公比为2,且,则()A. B. C. D.5.已知函数f(x)=sin2x+sin2(x),则f(x)的最小值为()A. B. C. D.6.已知,复数,,且为实数,则()A. B. C.3 D.-37.为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示.劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等.记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积,将称为基尼系数.对于下列说法:①越小,则国民分配越公平;②设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则.其中正确的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④8.若,则下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.9.已知椭圆:的左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为()A. B. C. D.10.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示:根据该折线图可知,下列说法错误的是()A.该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B.该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C.该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D.该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元11.已知双曲线的焦距为,过左焦点作斜率为1的直线交双曲线的右支于点,若线段的中点在圆上,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.12.已知数列是公差为的等差数列,且成等比数列,则()A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知变量(m>0),且,若恒成立,则m的最大值________.14.已知函数,若函数有个不同的零点,则的取值范围是___________.15.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,,则球的表面积为__________.16.已知是抛物线上一点,是圆关于直线对称的曲线上任意一点,则的最小值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,均为正数,且.证明:(1);(2).18.(12分)某中学准备组建“文科”兴趣特长社团,由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查,问卷共100道题,每题1分,总分100分,该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位:分)进行统计,将数据按照,,,,分成5组,绘制的频率分布直方图如图所示,若将不低于60分的称为“文科方向”学生,低于60分的称为“理科方向”学生.理科方向文科方向总计男110女50总计(1)根据已知条件完成下面列联表,并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关?(2)将频率视为概率,现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中“文科方向”的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列、期望和方差.参考公式:,其中.参考临界值:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)设点,直线与曲线交于两点,求的值.20.(12分)已知函数.(1)若,证明:当时,;(2)若在只有一个零点,求的值.21.(12分)团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式,不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务,市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况,从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查,他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.(1)从所调查的50家商家中任选两家,求他们加入团购网站的数量不相等的概率;(2)从所调查的50家商家中任取两家,用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望;(3)将频率视为概率,现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家,记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为,试求事件“”的概率.22.(10分)已知,,函数的最小值为.(1)求证:;(2)若恒成立,求实数的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

先由是偶函数,得到关于直线对称;进而得出单调性,再分别讨论和,即可求出结果.【详解】因为是偶函数,所以关于直线对称;因此,由得;又在上单调递减,则在上单调递增;所以,当即时,由得,所以,解得;当即时,由得,所以,解得;因此,的解集是.【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式,熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可,属于常考题型.2、B【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解.【详解】由题意易得平面,所以,当且仅当时等号成立,又阳马体积的最大值为,所以,所以堑堵的外接球的半径,所以外接球的体积,故选:B【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.3、C【解析】

画出函数和的图像,和均关于点中心对称,计算得到答案.【详解】,验证知不成立,故,画出函数和的图像,易知:和均关于点中心对称,图像共有8个交点,故所有解之和等于.故选:.【点睛】本题考查了方程解的问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,确定函数关于点中心对称是解题的关键.4、A【解析】

依据无穷等比数列求和公式,先求出首项,再求出,利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。【详解】因为无穷等比数列的公比为2,则无穷等比数列的公比为。由有,,解得,所以,,故选A。【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。5、A【解析】

先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为,再求最值.【详解】已知函数f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因为,所以f(x)的最小值为.故选:A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.6、B【解析】

把和代入再由复数代数形式的乘法运算化简,利用虚部为0求得m值.【详解】因为为实数,所以,解得.【点睛】本题考查复数的概念,考查运算求解能力.7、A【解析】

对于①,根据基尼系数公式,可得基尼系数越小,不平等区域的面积越小,国民分配越公平,所以①正确.对于②,根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线,由图得,均有,可得,所以②错误.对于③,因为,所以,所以③错误.对于④,因为,所以,所以④正确.故选A.8、B【解析】

根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【详解】选项A:由于,即,,所以,所以,所以成立;选项B:由于,即,所以,所以,所以不成立;选项C:由于,所以,所以,所以成立;选项D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故选:B.【点睛】本题考查不等关系和不等式,属于基础题.9、C【解析】

根据等差数列的性质设出,,,利用勾股定理列方程,结合椭圆的定义,求得.再利用勾股定理建立的关系式,化简后求得离心率.【详解】由已知,,成等差数列,设,,.由于,据勾股定理有,即,化简得;由椭圆定义知的周长为,有,所以,所以;在直角中,由勾股定理,,∴离心率.故选:C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法,考查椭圆的定义,考查等差数列的性质,属于中档题.10、D【解析】

用收入减去支出,求得每月收益,然后对选项逐一分析,由此判断出说法错误的选项.【详解】用收入减去支出,求得每月收益(万元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A选项说法正确;月收益最低,B选项说法正确;月总收益万元,月总收益万元,所以前个月收益低于后六个月收益,C选项说法正确,后个月收益比前个月收益增长万元,所以D选项说法错误.故选D.【点睛】本小题主要考查图表分析,考查收益的计算方法,属于基础题.11、C【解析】

设线段的中点为,判断出点的位置,结合双曲线的定义,求得双曲线的离心率.【详解】设线段的中点为,由于直线的斜率是,而圆,所以.由于是线段的中点,所以,而,根据双曲线的定义可知,即,即.故选:C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法,考查直线和圆的位置关系,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.12、A【解析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由成等比数列得,即,已知,解得.故选:.【点睛】本题考查了等差数列,等比数列的基本量的计算,意在考查学生的计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

在不等式两边同时取对数,然后构造函数f(x)=,求函数的导数,研究函数的单调性即可得到结论.【详解】不等式两边同时取对数得,即x2lnx1<x1lnx2,又即成立,设f(x)=,x∈(0,m),∵x1<x2,f(x1)<f(x2),则函数f(x)在(0,m)上为增函数,函数的导数,由f′(x)>0得1﹣lnx>0得lnx<1,得0<x<e,即函数f(x)的最大增区间为(0,e),则m的最大值为e故答案为:e【点睛】本题考查函数单调性与导数之间的应用,根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数,是解决本题的关键14、【解析】

作出函数的图象及直线,如下图所示,因为函数有个不同的零点,所以由图象可知,,,所以.15、【解析】

如图所示,将三棱锥补成长方体,球为长方体的外接球,长、宽、高分别为,计算得到,得到答案.【详解】如图所示,将三棱锥补成长方体,球为长方体的外接球,长、宽、高分别为,则,所以,所以球的半径,则球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,意在考查学生的计算能力和空间想象能力,将三棱锥补成长方体是解题的关键.16、【解析】

由题意求出圆的对称圆的圆心坐标,求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值,减去半径即可得到的最小值.【详解】假设圆心关于直线对称的点为,则有,解方程组可得,所以曲线的方程为,圆心为,设,则,又,所以,,即,所以,故答案为:.【点睛】该题考查的是有关动点距离的最小值问题,涉及到的知识点有点关于直线的对称点,点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径,属于中档题目.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)见解析【解析】

(1)由进行变换,得到,两边开方并化简,证得不等式成立.(2)将化为,然后利用基本不等式,证得不等式成立.【详解】(1),两边加上得,即,当且仅当时取等号,∴.(2).当且仅当时取等号.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.18、(1)列联表见解析,有;(2)分布列见解析,,.【解析】

(1)由频率分布直方图可得分数在、之间的学生人数,可得列联表.根据列联表计算的值,结合参考临界值表可得到结论;(2)从该校高一学生中随机抽取1人,求出该人为“文科方向”的概率.由题意,求出分布列,根据公式求出期望和方差.【详解】(1)由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为,在之间的学生人数为,所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为理科方向文科方向总计男8030110女405090总计12080200又,所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人,则该人为“文科方向”的概率为.依题意知,所以(),所以的分布列为0123P所以期望,方差.【点睛】本题考查独立性检验,考查离散型随机变量的分布列、期望和方差,属于中档题.19、(1)直线普通方程:,曲线直角坐标方程:;(2).【解析】

(1)消去直线参数方程中的参数即可得到其普通方程;将曲线极坐标方程化为,根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程;(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程,根据参数的几何意义可知,利用韦达定理求得结果.【详解】(1)由直线参数方程消去可得普通方程为:曲线极坐标方程可化为:则曲线的直角坐标方程为:,即(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程,整理可得:设两点对应的参数分别为:,则,【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义的应用;求解距离之和的关键是能够明确直线参数方程中参数的几何意义,利用韦达定理来进行求解.20、(1)见解析;(2)【解析】

分析:(1)先构造函数,再求导函数,根据导函数不大于零得函数单调递减,最后根据单调性证得不等式;(2)研究零点,等价研究的零点,先求导数:,这里产生两个讨论点,一个是a与零,一个是x与2,当时,,没有零点;当时,先减后增,从而确定只有一个零点的必要条件,再利用零点存在定理确定条件的充分性,即得a的值.详解:(1)当时,等价于.设函数,则.当时,,所以在单调递减.而,故当时,,即.(2)设函数.在只有一个零点当且仅当在只有一个零点.(i)当时,,没有零点;(ii)当时,.当时,;当时,.所以在单调递减,在单调递增.故是在的最小值.①若,即,在没有零点;②若,即,在只有一个零点;③若,即,由于,所以在有一个零点,由(1)

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