高中数学选修21讲义第二章22椭圆

第1课时椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．问题1：若动点P满足PA＋PB＝6，设P的坐标为(x，y)，则x，y满足的关系式是什么？提示：由两点间距离公式得eq\r(x＋22＋y2)＋eq\r(x－22＋y2)＝6，化简得eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.问题2：若动点P满足PC＋PD＝6，设P的坐标为(x，y)，则x、y满足什么关系？提示：由两点间距离公式得eq\r(x2＋y－22)＋eq\r(x2＋y＋22)＝6，化简得eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)焦点坐标(±c,0)(0，±c)a、b、c的关系c2＝a2－b21．标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a，b，c三者之间a最大，b，c大小不确定，且满足a2＝b2＋c2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x轴上时，含x项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a>b>0这个条件．[例1]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))；(2)过点(eq\r(3)，－eq\r(5))，且与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同的焦点．[思路点拨](1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)，直接求A，B.(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(eq\r(3)，－eq\r(5))代入，即可求出a，b，则标准方程易得．[精解详析](1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,8)，,\f(1,b2)＝\f(1,4).))所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)＝\f(1,8)，,\f(1,a2)＝\f(1,4).))即a2＝4，b2＝8，则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(eq\r(3)，－eq\r(5))在椭圆上，所以eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(5)))2,a2)＋eq\f(\r(3)2,b2)＝1，即eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.[一点通]求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)经过两点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))).解：(1)由已知得：c＝4，a＝5.b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)设椭圆方程为Ax2＋By2＝1.(A>0，B>0，A≠B)由已知得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)A＋\f(1,9)B＝1，,\f(1,4)B＝1，))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B＝4，,A＝5，))故所求椭圆方程为eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1.2．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(22,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1，))故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36，∴所求椭圆的标准方程是eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,36)＝1.[例2]已知方程x2·sinα－y2·cosα＝1(0≤α≤2π)表示椭圆．(1)若椭圆的焦点在x轴上，求α的取值范围．(2)若椭圆的焦点在y轴上，求α的取值范围．[思路点拨](1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)可由m，n的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．[精解详析]将椭圆方程x2·sinα－y2·cosα＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为eq\f(x2,\f(1,sinα))＋eq\f(y2,\f(1,－cosα))＝1(0≤α≤2π)．(1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则eq\f(1,sinα)>－eq\f(1,cosα)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，,tanα>－1，))所以eq\f(3,4)π<α<π.即α的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，2π)).(2)若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则－eq\f(1,cosα)>eq\f(1,sinα)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，,tanα<－1，))所以eq\f(π,2)<α<eq\f(3π,4).即α的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).[一点通]对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．解析：由于椭圆的焦点在x轴上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2>a＋6，,a＋6>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2a－3>0,a>－6.))解得a>3或－6<a<－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)4．已知方程eq\f(x2,k－5)＋eq\f(y2,3－k)＝－1表示椭圆，求k的取值范围．解：方程eq\f(x2,k－5)＋eq\f(y2,3－k)＝－1可化为eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1，由椭圆的标准方程可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－k>0，,k－3>0，,5－k≠k－3，))得3<k<5，且k≠4.所以满足条件的k的取值范围是{k|3<k<5，且k≠4}.[例3]如图所示，已知椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．[思路点拨]根据椭圆的标准方程知PF1＋PF2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF1和PF2的关系求解．[精解详析]由已知a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(4－3)＝1，F1F2＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理，得PFeq\o\al(2,2)＝PFeq\o\al(2,1)＋F1Feq\o\al(2,2)－2PF1·F1F2cos120°，即PFeq\o\al(2,2)＝PFeq\o\al(2,1)＋4＋2PF1.①由椭圆定义，得PF1＋PF2＝4，即PF2＝4－PF1.②②代入①解得PF1＝eq\f(6,5).∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)PF1·F1F2·sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),5)，即△PF1F2的面积是eq\f(3\r(3),5).[一点通]在椭圆中，由三条线段PF1，PF2，F1F2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF1＋PF2＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点F1(－1,0)、F2(1,0)，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．解析：∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴F1F2＝2.∵F1F2是PF1与PF2的等差中项，∴2F1F2＝PF1＋PF2，即PF1＋PF2＝4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a＝4，a＝2，c＝1，∴b2＝3.∴椭圆的方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝16．设F1，F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△F1PF2的面积等于________．解析：由eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，得a＝3，b＝2，∴c2＝a2－b2＝5.∴c＝eq\r(5).∴F1F2＝2eq\r(5).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PF1＋PF2＝6，,PF1∶PF2＝2∶1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PF1＝4，,PF2＝2.))∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2).∴△F1PF2为直角三角形．∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝4.答案：47．如图，已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1的两个焦点．(1)若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于15，那么点P到另一个焦点F2的距离是多少？(2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．解：由椭圆的标准方程可知a2＝100，所以a＝10.(1)由椭圆的定义得PF1＋PF2＝2a＝20，又PF1＝15，所以PF2＝20－15＝5，即点P到焦点F2的距离为5.(2)△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋BF1)＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)．由椭圆的定义可知AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，故AB＋AF2＋BF2＝4a＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．课时达标训练（七）1．若椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义知，a＝5，P到两个焦点的距离之和为2a＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是________．解析：椭圆的标准方程为eq\f(x2,\f(1,25))＋eq\f(y2,\f(1,16))＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝eq\f(1,16)，b2＝eq\f(1,25)，所以c2＝a2－b2＝eq\f(1,16)－eq\f(1,25)＝eq\f(9,400)，故c＝eq\f(3,20).所以该椭圆的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(3,20))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(3,20)))3．已知方程(k2－1)x2＋3y2＝1是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是________．解析：方程(k2－1)x2＋3y2＝1可化为eq\f(x2,\f(1,k2－1))＋eq\f(y2,\f(1,3))＝1.由椭圆焦点在y轴上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－1>0，,\f(1,k2－1)<\f(1,3).))解之得k>2或k<－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F1，F2为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.解析：由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.答案：85．已知P为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(4y2,75)＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．解析：在△F1PF2中，F1Feq\o\al(2,2)＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2cos60°，即25＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－PF1·PF2.①由椭圆的定义，得10＝PF1＋PF2.②由①②，得PF1·PF2＝25，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2sin60°＝eq\f(25\r(3),4).答案：eq\f(25\r(3),4)6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；(2)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过M(2，eq\r(6))．解：(1)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.∴所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1.(2)法一：由9x2＋5y2＝45，得eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1，c2＝9－5＝4，所以其焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由点M(2，eq\r(6))在椭圆上，所以MF1＋MF2＝2a，即2a＝eq\r(2－02＋\r(6)－22)＋eq\r(2－02＋\r(6)＋22)＝4eq\r(3)，所以a＝2eq\r(3)，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝8，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,8)＝1.法二：由法一知，椭圆9x2＋5y2＝45的焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2)，则设所求椭圆方程为eq\f(y2,λ＋4)＋eq\f(x2,λ)＝1(λ＞0)，将M(2，eq\r(6))代入，得eq\f(6,λ＋4)＋eq\f(4,λ)＝1(λ＞0)，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,8)＝1.7．如图，设点P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且MD＝eq\f(4,5)PD，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．解：设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)，由已知易得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xP＝x，,yP＝\f(5,4)y.))∵P在圆上，∴x2＋(eq\f(5,4)y)2＝25.即轨迹C的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.8．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M的半径为r，则|MA|＝r，|MB|＝8－r，∴|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6，∴动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M的轨迹方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1.第2课时椭圆的几何性质建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．以方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)为例，试着完成下列问题：问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？提示：由eq\f(y2,b2)＝1－eq\f(x2,a2)≥0，得－a≤x≤a.同理－b≤y≤b.问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x＝0，得y＝±b；令y＝0，得x＝±a；与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)，与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0<e<1，e越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．(2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例．(3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例．[例1]求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．[思路点拨]本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a，b，c，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析]椭圆的方程可化为x2＋eq\f(y2,81)＝1，∴a＝9，b＝1，∴c＝eq\r(81－1)＝eq\r(80)＝4eq\r(5)，∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦点在y轴上，故其焦点坐标为F1(0，－4eq\r(5))，F2(0,4eq\r(5))，顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4\r(5),9).[一点通]求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a，b的值，进而求出c，写出椭圆的几何性质参数．1．若椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的离心率为eq\f(1,3)，则m的值为________．解析：当m>4时，由c2＝a2－b2＝m－4，得eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,3).解得m＝eq\f(9,2).当m<4时，由c2＝a2－b2＝4－m，得eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,3)，解得m＝eq\f(32,9).答案：eq\f(9,2)或eq\f(32,9)2．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：椭圆方程变形为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2eq\r(5)，焦点坐标为F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长为20，离心率等于eq\f(4,5)；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨]先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a、b、c，得到椭圆的标准方程．[精解详析](1)∵2a＝20，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，∴a＝10，c＝8，b2＝a2－c2＝36.由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1或eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,36)＝1.(2)设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知a＝2b，①且椭圆过点(2，－6)，从而有eq\f(22,a2)＋eq\f(－62,b2)＝1或eq\f(－62,a2)＋eq\f(22,b2)＝1.②由①②得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,148)＋eq\f(y2,37)＝1或eq\f(y2,52)＋eq\f(x2,13)＝1.[一点通]在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．3．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq\f(\r(3),2)，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________________．解析：由题意得2a＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝6，c＝3eq\r(3)，b＝3.故椭圆方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝14．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；(2)离心率为eq\f(5,13)，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝eq\r(32＋2＋22)＋eq\r(32＋2－22)＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,13)，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,144)＝1或eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1.[例3]已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.P是椭圆M上的任一点，且PF1·PF2的最大值的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c2，3c2))，其中c2＝a2－b2，求椭圆的离心率的取值范围．[思路点拨]由P是椭圆上一点，知PF1＋PF2＝2a，进而设法求出PF1·PF2的最大值，再由已知的范围求出离心率e的范围．[精解详析]∵P是椭圆上一点，∴PF1＋PF2＝2a，∴2a＝PF1＋PF2≥2eq\r(PF1·PF2)，即PF1·PF2≤a2，当且仅当PF1＝PF2时取等号．∴eq\f(1,2)c2≤a2≤3c2，∴eq\f(1,3)≤eq\f(c2,a2)≤2，∴eq\f(1,3)≤e2≤2，∴eq\f(\r(3),3)≤e≤eq\r(2).∵0<e<1，∴eq\f(\r(3),3)≤e<1，∴椭圆的离心率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).[一点通]1．椭圆的离心率的求法：(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq\r(1－\f(b2,a2))，求出eq\f(b,a)后求e.(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于eq\f(c,a)(e)的方程求e.2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则由已知得2a＋2c＝4b.即a＋c＝2b，又a2＝b2＋c2，解得a＝eq\f(5,4)b，c＝eq\f(3,4)b，e＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)6．椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且·的最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝eq\r(a2－b2)，则椭圆M的离心率e的取值范围是________．解析：设P(x，y)、F1(－c,0)、F2(c,0)，则＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，·＝x2＋y2－c2，又x2＋y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2＋y2)max＝a2，(·)max＝b2，所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即eq\f(1,4)≤e2≤eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)≤e≤eq\f(\r(2),2).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))[例4]某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是eq\f(1,15)R、eq\f(1,3)R，求此宇宙飞船运行的轨道方程．[思路点拨]根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．[精解详析]如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x轴建立坐标系，且令地心F2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在x轴上的椭圆的标准方程，不妨设为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则地心F2的坐标为(c,0)，其中a2＝b2＋c2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c＝R＋\f(R,15)，,a＋c＝R＋\f(R,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,5)R，,c＝\f(2,15)R.))∴b2＝a2－c2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)R))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,15)R))2＝eq\f(64,45)R2.∴此宇宙飞船运行的轨道方程为eq\f(x2,\f(36,25)R2)＋eq\f(y2,\f(64,45)R2)＝1.[一点通]解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a，b，c的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：(1)椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；(2)最后要将数学模型还原回实际问题作答．7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5h的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1700km，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200km，月球的半径约是1800km，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．解析：可设小椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，由已知得2a＝1700＋2×1800＋200，∴a＝2750.又a＋2c＝1700＋1800，∴c＝375.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(375,2750)＝eq\f(3,22).答案：eq\f(3,22)8．已知某荒漠上F1、F2两点相距2km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1、F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；(2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F1(－1,0)，F2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)，则由已知得PF1＋PF2＝4.由椭圆定义知点P在以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a＝2，c＝1，则b＝eq\r(3).∴P点的轨迹方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)，同理Q点轨迹方程同上．(2)S▱PF1QF2＝F1F2·|yP|≤2c·b＝2eq\r(3)(km2)，所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2eq\r(3)km2.1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y轴上进行讨论．课时达标训练（八）1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．解析：法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝eq\r(3)m，故离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(\r(3)m,2m＋m)＝eq\f(\r(3),3).法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±eq\f(b2,a)，所以|PF2|＝eq\f(b2,a).又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|，故2c＝eq\r(3)·eq\f(b2,a)，变形可得eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得eq\r(3)(1－e2)＝2e，解得e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍去)．答案：eq\f(\r(3),3)2．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq\f(1,2)，则C的方程是________________________________________________________________________．解析：依题意，设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝4，b2＝3.答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝13．曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与曲线eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)解析：c2＝25－k－(9－k)＝16，c＝4.故两条曲线有相同的焦距．答案：焦距4．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率是eq\f(\r(6),3)，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－eq\f(b2x2,a2)，yeq\o\al(2,1)＝b2－eq\f(b2x\o\al(2,1),a2).所以k1·k2＝eq\f(y－y1,x－x1)·eq\f(y＋y1,x＋x1)＝eq\f(y2－y\o\al(2,1),x2－x\o\al(2,1))＝－eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2,a2)－1＝e2－