椭圆人教A版数学选择性教师

课题：椭圆知识点一、椭圆的定义1.第一定义：（1）文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹（或集合）叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．（2）代数式形式：集合①若，则动点P的轨迹为椭圆；②若，则动点P的轨迹P为线段F1F2；③若，则动点P的轨迹P为空集．2.第二定义：（1）若动点P（x,y）和定点F（c,0）的距离与它到定直线:的距离的比是常数（0<c<a）,则动点P的轨迹是椭圆.（2）椭圆的标准方程：焦点在轴，；焦点在轴，．满足条件：（3）离心率：椭圆焦距与长轴长之比：.（）知识点二：椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程（）（）横、纵坐标取值范围，，顶点，，，轴长短轴长＝，长轴长＝短半轴长=a长半轴长=b焦点坐标焦距半焦距=c对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点【三对称图形】离心率，当越接近1时，越接近，椭圆越扁；当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；知识点三：求椭圆标准方程常用结论1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）3、椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为，或者设为（A＞0，B＞0且A≠B），可以避免讨论和繁杂的计算。知识点四：直线与椭圆的位置关系1、直线与椭圆的位置关系：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2、直线与椭圆的相交弦：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）（1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：弦长弦长这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：；（2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，两式相减得：，即，故结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：（3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，．求：的面积（用、、表示）．设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：·①由椭圆定义知：②，则得故题型一：利用椭圆的定义与几何性质求值典型例题例题1．设是椭圆上任意一点，则m的取值范围是_________．【答案】由题可知：例题2．直线与椭圆的位置关系是（）A．相离

B．相切

C．相交

D．无法确定【答案】C联立，则所以直线与椭圆相交故选：C例题3．椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于A，B两点．若，则的值为（）A．10

B．12

C．16

D．18【答案】B由题可知：|AF1|+|BF1|+|AB|=4a=20，所以|AF1|+|BF1|=12故选：B例题4．若椭圆的离心率为，则（）A．3B．C．D．2【答案】D试题分析：由椭圆的离心率为，即，所以，所以，故选D．举一反三1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为,离心率等于,则C的方程是（）A.B.C.D.【答案】D试题分析：由题意可知，所以椭圆方程为2．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据点与椭圆的位置关系即可求解.，所以故选：B.3．直线和曲线的位置关系为_____.【答案】相交【解析】曲线为：可得直线恒过，由知定点在椭圆内部，所以直线与椭圆的位置关系为相交.故答案为：相交.题型二：求椭圆的标准方程典型例题例题1．根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上，长轴长等于20，离心率等于；（2）焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点；（3）在轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.【答案】（1）（2）（3）（1）由题意知2a＝20，e＝，所以a＝10，c＝8，从而b＝6.又因为焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意知焦点在y轴上，所以b＝3.又因为长轴长是短轴长的3倍，所以a＝9，从而椭圆的标准方程为；（3）设椭圆的标准方程为（a>b>0），短轴的两顶点分别为A1，A2，则△A1FA2为等腰直角三角形，所以b＝c＝4，从而a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的标准方程为.例题2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1），，焦点在y轴上；（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点（3）经过两点【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由，，得，焦点在y轴上，其标准方程为．（2）椭圆的焦点坐标为，椭圆过点，，，椭圆的标准方程为．（3）设所求的椭圆方程为．把两点代入，得，解得，椭圆方程为．举一反三1．求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆有相同的焦点，且经过点；（2）经过两点．【答案】（1）；（2）【解析】（1）椭圆的焦点坐标为，因为椭圆过点，所以，所以，所以椭圆的标准方程为．（2）设所求的椭圆方程为．把两点代入，得，解得，所以椭圆方程为．2．（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求离心率，焦点在x轴，且经过点的双曲线标准方程.【答案】（1）；（2）.（1）设椭圆的标准方程为.由题意知：；..所以椭圆的标准方程为.（2）设双曲线的标准方程为.则所以双曲线的标准方程为.题型三：利用椭圆的常见结论求离心率、标准方程等典型例题例题1．若椭圆的离心率为，则（）A．3B．C．D．2【答案】D试题分析：由椭圆的离心率为，即，所以，所以，故选D．例题2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为,离心率等于,则C的方程是（）A.B.C.D.【答案】D试题分析：由题意可知，所以椭圆方程为例题3．、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且∠，则Δ的面积为（）A.B.C.D.【答案】C试题分析：由题：，则：又：，∠,可得；，解得；，则：．例题4．椭圆的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为的周长为12，根据椭圆的定义可得，解得，则，所以，则椭圆的离心率为.故答案为：A.例题5．椭圆的左右焦点分别为，是上一点，轴，，则椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令椭圆的半焦距为c，因是上一点，轴，，在中，，，由椭圆定义知，则，所以椭圆的离心率等于.故答案为：A例题6．设椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，令，则，，所以，所以，在中，，则由余弦定理得，所以，所以，令，由，可得，则，所以当，即时，取得最小值，所以的最小值为。故答案为：A例题7．已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是.【答案】【解析】【解答】设右焦点为，连接，.因为，即，可得四边形为矩形.在中，，.由椭圆的定义可得，所以，所以离心率.故答案为：.例题8．已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B设直线交双曲线于点、，则，由已知得，两式作差得，所以，，即直线的斜率为，故直线的斜率为，即.经检验满足题意故选：B.例题9．已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A设点，依题意，，相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为，又为线段的中点，则，，因此有，即，所以椭圆的离心率.故选：A举一反三1．若椭圆的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得2b=2×2c，则b=2c，则，则.故答案为：C2．设椭圆（）的左、右焦点分别为，，是上的点，，，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D试题分析：由题意得，设，因为，，所以，又，所以，所以椭圆的离心率为，故选D．3．已知椭圆上的点到左焦点的距离为3，为的中点，为坐标原点，则__________.【答案】试题分析：因为椭圆的实轴长为，所以，由椭圆的定义得，而是的中位线，所以.4．已知D是椭圆C：的上顶点，F是C的一个焦点，直线DF与椭圆C的另一个交点为点E，且，则C的离心率为【答案】【解析】由题意，，不妨设F是C的右焦点，所以，设，，则，因为，所以，，，解得，代入椭圆方程可得，即，所以。故答案为：。5．椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．【答案】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，设中点坐标为，则，所以，两式相减可得，，即，由于在椭圆内部，由得，所以时，即直线与椭圆相切，此时由解得或，所以，所求得轨迹方程为．故答案为：．6．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点且线段的中点为，则直线的斜率为________.【答案】解：由题意可得，整理可得，设，则，两式相减可得，的中点为，，则直线斜率.故答案为：.题型四：求椭圆的离心率的取值范围典型例题例题1．设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先设出点的坐标，再由题目条件得到，利用两点间的距离公式列出式子，借助化简式子，得到关于离心率的式子，结合离心率的范围解出不等式即可.【详解】设点，因为线段的中垂线过点，所以，即，化简得，因为，所以，即，所以，又因为，所以，解得.故选：D.例题2．已知椭圆的左，右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点（其中在第一象限），若四点都在一个圆上，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和圆的性质得到以为直径的圆与椭圆C有公共点，得到c和b的关系，结合椭圆的定义，得到关于的不等关系，求解即可得到答案．【详解】设椭圆的半焦距为c，半长轴为a,半短轴为b,由椭圆的中心对称性和四点共圆，则四边形为矩形，所以以为直径的圆与椭圆C有公共点，则，所以，故，故选∶C．例题3．设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆外存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______．【答案】设点，易知，，则，故点的轨迹为圆，由题意可知，圆与椭圆相交，由图可知，即，可得，又因为，故．故答案为：．例题4．椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是_________【答案】如图示，由椭圆定义可得,则的周长为4a,设，设内切圆半径为，的内切圆的周长是，故，由题意得，得，由于，故，所以由可得，故答案为：举一反三1．已知点、为椭圆的长轴顶点，为椭圆上一点，若直线，的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A由题得：，所以故选：A．2．已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．.【答案】B由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，所以，可得，即，又，所以.故选：B3．已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A因为是的中点，是的中点，所以，因为平分，所以，因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是．故选：A．4．设是椭圆的离心率，若，则的取值范围是_________.【答案】解：当时，，所以，所以.当时，，所以，所以.所以的取值范围是.故答案为：课后练习1．已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C解：因为椭圆的离心率为，所以，解得，则椭圆的离心率.故选：C.2．已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意椭圆：的离心率为得，椭圆的长轴长与焦距之和为6，，解得，，则，所以椭圆的标准方程为：，故选D．3．已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，过作直线交于两点，的周长为8，则的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程，由的周长为，即，即，椭圆的标准方程为，故选D.4．过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（

）A．B．C．D．【答案】A依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，则有，两式相减得：，而，且，即有，又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，所以椭圆的方程为.故选：A5．已知椭圆的一个顶点为，直线与椭圆交于两点，若的左焦点为的重心，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B解：设，，，，椭圆的左焦点为，点，且椭圆左焦点恰为的重心，，，①，，两式相减得：将①代入得：，即直线的斜率为，直线过中点，直线的方程为所以直线的方程为.故选：B6．将上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C，若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB中点坐标为M（1，），那么直线l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A设点为曲线C上任一点，其在上对应在的点为，则，得，所以，所以曲线C的方程为，设，则，两方程相减整理得，因为AB中点坐标为M（1，），所以，即，所以，所以，所以直线l的方程为，即，故选：A7．已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】设弦的两个端点分别为，，则，①﹣②得：，即，所以．故以点为中点的弦所在的直线方程为y，整理得：.故选：C.8．已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设点，依题意，，相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为，又为线段的中点，则，，因此有，即，所以椭圆的离心率.故选：A9．已知直线与椭圆：（）相交于，两点，且线段的中点在直线：上，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】将直线代入椭圆方程得，，即，设，，，，则，即中点的横坐标是，纵坐标是，由于线段的中点在直线上，则，又，则，，即椭圆的离心率为.故选：A10．已知分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆上两点，线段经过点，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得，结合勾股定理列方程，化简求得椭圆的离心率.【详解】依题意线段经过点，且，设，则，，，在直角三角形中，有，整理得，解得或（舍去），所以，在直角三角形中，有，.故选：C11．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用结论建立不等式即可求解.【详解】根据题意作图如下：由图可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时，最大，要满足椭圆C上存在点（）使得，则，∴，即：，整理得：，又，∴得到：，∴，∴椭圆离心率的取值范围为，故选:B．12．已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出点坐标后将用坐标表示，结合在椭圆上，将点坐标代入椭圆方程，二者联立后化简即可得出离心率的取值范围.【详解】设，在椭圆上，，，两边都乘以化简后得：，，，又因为椭圆离心率，.故选：A.13．椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合题干条件得到，表达出，，利用椭圆定义得到关系，结合的范围求出离心率的最小值.【详解】连接，由题知点A､关于原点对称，，，，则，，又，即，，由得